Проблема Плато

Часть серии статей о
Исчисление
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
Основная теорема Пределы Непрерывность Теорема Ролля Теорема о среднем значении Теорема об обратной функции
Дифференциал Определения Производные  ( обобщения ) Дифференциал бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявная дифференциация Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и идентичности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило Лопиталя Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
Интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Интегральное правило Лейбница Определения Первообразный Интегральный  ( несобственный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл обратных функций Интеграция по Части Диски Цилиндрические оболочки Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

В математике задача Плато заключается в том, чтобы показать существование минимальной поверхности с заданной границей, проблема, поднятая Жозефом -Луи Лагранжем в 1760 году. Однако она названа в честь Жозефа Плато , который экспериментировал с мыльными пленками . Задача считается частью вариационного исчисления . Задачи существования и регулярности являются частью геометрической теории меры .

Были решены различные специализированные формы проблемы, но только в 1930 году Джесси Дуглас и Тибор Радо независимо друг от друга нашли общие решения в контексте отображений (погружений) . Их методы были совершенно разными; работа Радо основывалась на предыдущей работе Рене Гарнье и была справедлива только для спрямляемых простых замкнутых кривых, тогда как Дуглас использовал совершенно новые идеи, и его результат был справедлив для произвольной простой замкнутой кривой. Оба опирались на постановку задач минимизации; Дуглас минимизировал ныне названный интеграл Дугласа, в то время как Радо минимизировал «энергию». Дуглас был награжден медалью Филдса в 1936 году за свои усилия.

Расширение проблемы на более высокие размерности (то есть для -мерных поверхностей в -мерном пространстве) оказывается гораздо более сложным для изучения. Более того, в то время как решения исходной задачи всегда регулярны, оказывается, что решения расширенной задачи могут иметь особенности, если . В случае гиперповерхности , когда , особенности возникают только для . Примером такого особого решения задачи Плато является конус Саймонса, конус над в , который был впервые описан Джимом Саймонсом и, как было показано Бомбьери , Де Джорджи и Джусти, является минимизатором площади . ^[1] Для решения расширенной задачи в некоторых особых случаях были разработаны теория периметров ( Де Джорджи ) для коразмерности 1 и теория выпрямляемых токов ( Федерер и Флеминг) для более высокой коразмерности. Теория гарантирует существование решений коразмерности 1, которые являются гладкими вдали от замкнутого множества размерности Хаусдорфа . В случае более высокой коразмерности Альмгрен доказал существование решений с сингулярным множеством размерности не более в своей теореме о регулярности . С. К. Чанг, ученик Альмгрена, основываясь на работе Альмгрена, показал, что сингулярности двумерной области, минимизирующие интегральные токи (в произвольной коразмерности), образуют конечное дискретное множество. ^{[2] [3]}${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k\leq n-2}$${\displaystyle k=n-1}$${\displaystyle n\geq 8}$${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ ${\displaystyle n-8}$${\displaystyle k-2}$

Аксиоматический подход Дженни Харрисон и Харрисона Пью ^[4] рассматривает широкий спектр специальных случаев. В частности, они решают анизотропную проблему Плато в произвольной размерности и коразмерности для любого набора спрямляемых множеств, удовлетворяющих комбинации общих гомологических, когомологических или гомотопических условий охвата. Другое доказательство результатов Харрисона-Пью было получено Камилло Де Леллисом , Франческо Жиральдином и Франческо Маджи. ^[5]

Физические мыльные пленки точнее моделируются -минимальными множествами Фредерика Альмгрена , но отсутствие теоремы о компактности затрудняет доказательство существования минимизатора площади. В этом контексте постоянно открытым вопросом было существование мыльной пленки с наименьшей площадью. Эрнст Роберт Райфенберг решил такую ​​"универсальную проблему Плато" для границ, которые гомеоморфны одиночным вложенным сферам.${\displaystyle (M,0,\Delta )}$

• Гипотеза двойного пузыря
• принцип Дирихле
• Законы Плато
• Метод растянутой сетки
• Проблема Бернштейна

• Дуглас, Джесси (1931). «Решение проблемы Плато». Trans. Amer. Math. Soc . 33 (1): 263–321. doi : 10.2307/1989472 . JSTOR  1989472.
• Райфенберг, Эрнст Роберт (1960). «Решение проблемы {Плато} для m-мерных поверхностей различного топологического типа». Acta Mathematica . 104 (2): 1–92. doi : 10.1007/bf02547186 .
• Фоменко, AT (1989). Проблема плато: Исторический обзор . Уиллистон, VT: Gordon & Breach. ISBN 978-2-88124-700-2.
• Морган, Фрэнк (2009). Геометрическая теория меры: руководство для начинающих . Academic Press. ISBN 978-0-12-374444-9.
• О'Нил, TC (2001) [1994], «Геометрическая теория меры», Энциклопедия математики , EMS Press
• Радо, Тибор (1930). «О проблеме Плато». Ann. of Math . 2. 31 (3): 457–469. Bibcode : 1930AnMat..31..457R. doi : 10.2307/1968237. JSTOR  1968237.
• Струве, Майкл (1989). Проблема Плато и вариационное исчисление . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08510-4.
• Альмгрен, Фредерик (1966). Проблема Плато, приглашение к варифолдной геометрии . Нью-Йорк-Амстердам: Benjamin. ISBN 978-0-821-82747-5.

• Харрисон, Дженни; Пью, Харрисон (2016). Открытые проблемы в математике (проблема Плато) . Springer. arXiv : 1506.05408 . doi : 10.1007/978-3-319-32162-2. ISBN 978-3-319-32160-8.

В данной статье использованы материалы из книги Plateau's Problem на PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .