Выпрямляемый набор

В математике спрямляемое множество — это множество, которое является гладким в определенном смысле теории меры . Это расширение идеи спрямляемой кривой на более высокие измерения; грубо говоря, спрямляемое множество — это строгая формулировка кусочно-гладкого множества. Как таковое, оно обладает многими желательными свойствами гладких многообразий , включая касательные пространства, которые определены почти всюду . Спрямляемые множества являются основным объектом изучения в геометрической теории меры .

Борелевское подмножество евклидова пространства называется -спрямляемым множеством, если имеет размерность Хаусдорфа , и существует счетный набор непрерывно дифференцируемых отображений${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle м}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle м}$${\displaystyle \{f_{i}\}}$

${\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

такой, что - мера Хаусдорфа${\displaystyle м}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{м}}$

${\displaystyle E\setminus \bigcup _{i=0}^{\infty }f_{i}\left(\mathbb {R} ^{m}\right)}$

равен нулю. Обратная косая черта здесь обозначает разность множеств . Эквивалентно, можно считать непрерывным по Липшицу без изменения определения. ^{[1] [2] [3]} Другие авторы дают другие определения, например, не требуя, чтобы было -мерным, но вместо этого требуя, чтобы было счетным объединением множеств, которые являются образом отображения Липшица из некоторого ограниченного подмножества . ^[4]${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle м}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Множество называется чисто -неспрямляемым , если для каждого (непрерывного, дифференцируемого) выполняется${\displaystyle E}$${\displaystyle м}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\left(E\cap f\left(\mathbb {R} ^{m}\right)\right)=0.}$

Стандартным примером чисто 1-неспрямляемого множества в двух измерениях является декартово произведение множества Смита–Вольтерра–Кантора на само себя.

Федерер (1969, стр. 251–252 ) дает следующую терминологию для m -спрямляемых множеств E в общем метрическом пространстве X.

1. E спрямляемо , если существует липшицево отображение для некоторого ограниченного подмножества на .${\displaystyle м}$${\displaystyle f:K\to E}$${\displaystyle К}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{м}}$${\displaystyle E}$
2. E счетно${\displaystyle м}$ спрямляемо , когда E равно объединению счетного семейства спрямляемых множеств.${\displaystyle м}$
3. E счетно${\displaystyle (\phi ,m)}$ спрямляемо , когда — мера на X и существует счетно спрямляемое множество F такое, что .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \phi (E\setminus F)=0}$
4. E выпрямляемо , когда E счетно выпрямляемо и${\displaystyle (\phi ,m)}$${\displaystyle (\phi ,m)}$${\displaystyle \phi (E)<\infty }$
5. E является чисто невыпрямляемым${\displaystyle (\phi ,m)}$ , когда является мерой на X и E не содержит выпрямляемого множества F с .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \phi (F)>0}$

Определение 3 с и наиболее близко к приведенному выше определению для подмножеств евклидовых пространств.${\displaystyle \phi ={\mathcal {H}}^{m}}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$

• Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 153, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xiv+676, ISBN. 978-3-540-60656-7, МР  0257325
• TCO'Neil (2001) [1994], "Геометрическая теория меры", Энциклопедия математики , EMS Press
• Саймон, Леон (1984), Лекции по геометрической теории меры , Труды Центра математического анализа, т. 3, Канберра : Центр математики и ее приложений (CMA), Австралийский национальный университет , стр. VII+272 (неполные опечатки), ISBN 0-86784-429-9, ЗБЛ  0546.49019

• Выпрямляемое множество в Encyclopedia of Mathematics