Архимедова группа
Тип классификации в алгебре

В абстрактной алгебре , разделе математики , архимедова группа — это линейно упорядоченная группа , для которой выполняется архимедово свойство : любые два положительных элемента группы ограничены целыми кратными друг друга. Множество R действительных чисел вместе с операцией сложения и обычным отношением упорядочения между парами чисел является архимедовой группой. Согласно результату Отто Гёльдера , каждая архимедова группа изоморфна подгруппе этой группы. Название «архимедов» происходит от Отто Штольца , который назвал архимедово свойство после его появления в трудах Архимеда . [ 1]

Определение

Аддитивная группа состоит из набора элементов, операции ассоциативного сложения, которая объединяет пары элементов и возвращает один элемент, единичного элемента (или нулевого элемента), сумма которого с любым другим элементом является другим элементом, и обратной аддитивной операции, такой что сумма любого элемента и его обратного равна нулю. [2] Группа является линейно упорядоченной группой , когда, кроме того, ее элементы могут быть линейно упорядочены способом, совместимым с групповой операцией: для всех элементов x , y и z , если x  ≤  y, то x  +  z  ≤  y  +  z и z  +  x  ≤  z  +  y .

Обозначение na (где n — натуральное число ) обозначает групповую сумму n копий a . Архимедова группа ( G , +, ≤) — это линейно упорядоченная группа, подчиняющаяся следующему дополнительному условию — свойству Архимеда: для любых a и b из G , которые больше 0, можно найти натуральное число n, для которого выполняется неравенство b  ≤  na . [3]

Эквивалентное определение состоит в том, что архимедова группа — это линейно упорядоченная группа без каких-либо ограниченных циклических подгрупп : не существует циклической подгруппы S и элемента x, для которого x больше , чем все элементы в S. [4] Легко видеть, что это эквивалентно другому определению: свойство Архимеда для пары элементов a и b — это просто утверждение, что циклическая подгруппа, порожденная a, не ограничена  b .

Примеры архимедовых групп

Множества целых чисел, рациональных чисел и действительных чисел вместе с операцией сложения и обычным упорядочением (≤) являются архимедовыми группами. Каждая подгруппа архимедовой группы сама является архимедовой, поэтому следует, что каждая подгруппа этих групп, например аддитивная группа четных чисел или двоично -рациональных чисел , также образует архимедову группу.

Наоборот , как показал Отто Гёльдер , каждая архимедова группа изоморфна (как упорядоченная группа) подгруппе действительных чисел. [5] [6] [7] [8] Из этого следует, что каждая архимедова группа обязательно является абелевой группой : ее операция сложения должна быть коммутативной . [5]

Примеры неархимедовых групп

Группы, которые не могут быть линейно упорядочены, такие как конечные группы , не являются архимедовыми. Для другого примера см. p -адические числа , систему чисел, обобщающую рациональные числа иным способом по отношению к действительным числам.

Неархимедовы упорядоченные группы также существуют; упорядоченная группа ( G , +, ≤), определяемая следующим образом, не является архимедовой. Пусть элементы G будут точками евклидовой плоскости , заданными их декартовыми координатами : парами ( x ,  y ) действительных чисел. Пусть операция сложения группы будет поточечным (векторным) сложением, и упорядочим эти точки в лексикографическом порядке : если a  = ( u ,  v ) и b  = ( x ,  y ), то a  +  b  = ( u  +  x ,  v  +  y ), и a  ≤  b точно тогда, когда либо v  <  y , либо v  =  y и u  ≤  x . Тогда это дает упорядоченную группу, но не архимедову. Чтобы увидеть это, рассмотрим элементы (1, 0) и (0, 1), оба из которых больше нулевого элемента группы ( начала координат ). Для каждого натурального числа n из этих определений следует, что n  (1, 0) = ( n , 0) < (0, 1), поэтому не существует n , удовлетворяющего свойству Архимеда. [9] Эту группу можно рассматривать как аддитивную группу пар действительного числа и бесконечно малого , где — единичная бесконечно малая: но для любого положительного действительного числа . Неархимедовы упорядоченные поля могут быть определены аналогично, и их аддитивные группы являются неархимедовыми упорядоченными группами. Они используются в нестандартном анализе и включают гиперреальные числа и сюрреальные числа . ( х , у ) = х ϵ + у , {\displaystyle (x,y)=x\epsilon +y,} ϵ {\displaystyle \epsilon} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ϵ < у {\displaystyle \epsilon <y} у > 0 {\displaystyle у>0}

Хотя неархимедовы упорядоченные группы не могут быть вложены в действительные числа, их можно вложить в степень действительных чисел с лексикографическим порядком по теореме Хана о вложении ; приведенный выше пример представляет собой двумерный случай.

Дополнительные свойства

Каждая архимедова группа обладает свойством, что для каждого сечения Дедекинда группы и каждого элемента группы ε > 0 существует другой элемент группы x с x на нижней стороне сечения и x  + ε на верхней стороне сечения. Однако существуют неархимедовы упорядоченные группы с тем же свойством. Тот факт, что архимедовы группы абелевы, можно обобщить: каждая упорядоченная группа с этим свойством абелева. [10]

Обобщения

Архимедовы группы можно обобщить до архимедовых моноидов , линейно упорядоченных моноидов , которые подчиняются свойству Архимеда . Примерами служат натуральные числа, неотрицательные рациональные числа и неотрицательные действительные числа с обычной бинарной операцией и порядком . С помощью доказательства, аналогичного доказательству для архимедовых групп, можно показать, что архимедовы моноиды коммутативны . + {\displaystyle +} < {\стиль_отображения <}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Марвин, Стивен (2012), Словарь научных принципов, John Wiley & Sons, стр. 17, ISBN 9781118582244.
  2. ^ Аддитивная запись для групп обычно используется только для абелевых групп , в которых операция сложения коммутативна . Определение здесь не предполагает коммутативности, но, как окажется, она следует из свойства Архимеда.
  3. ^ Alajbegovic, J.; Mockor, J. (1992), Аппроксимационные теоремы в коммутативной алгебре: классические и категориальные методы, NATO ASI Series. Серия D, Поведенческие и социальные науки, т. 59, Springer, стр. 5, ISBN 9780792319481.
  4. ^ Белеградек, Олег (2002), «Полирегулярные упорядоченные абелевы группы», Логика и алгебра , Contemp. Math., т. 302, Amer. Math. Soc., Providence, RI, стр.  101–111 , doi :10.1090/conm/302/05049, MR  1928386.
  5. ^ ab Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Модули над не-нётеровыми областями, Математические обзоры и монографии, т. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 61, ISBN 978-0-8218-1963-0, г-н  1794715
  6. ^ Фукс, Ласло (2011) [1963]. Частично упорядоченные алгебраические системы . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. С.  45–46 . ISBN 978-0-486-48387-0.
  7. ^ Копытов, В. М.; Медведев, Н. Я. (1996), Правоупорядоченные группы, Сибирская школа алгебры и логики, Springer, стр.  33–34 , ISBN 9780306110603.
  8. ↑ Доказательство для абелевых групп см. в Ribenboim , Paulo (1999), The Theory of Classical Valuations, Monographs in Mathematics, Springer, стр. 60, ISBN 9780387985251.
  9. ^ Крупка, Деметер (2000), Введение в глобальную вариационную геометрию, Математическая библиотека Северной Голландии, т. 13, Elsevier, стр. 8, ISBN 9780080954202.
  10. ^ Виноградов, А.А. (1967), "Упорядоченные алгебраические системы", Алгебра, Топология, Геометрия, 1965, АН СССР, Ин-т научно-технической информации, Москва, стр.  83–131 , МР  0215761. Переведено на английский язык в Филиппов, НД, ред. (1970), Десять статей по алгебре и функциональному анализу, American Mathematical Society Translations, Серия 2, т. 96, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, стр.  69–118 , ISBN 9780821896662, МР  0268000.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Archimedean_group&oldid=1210555147"