Объединяющие теории в математике

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Unifying theories in mathematics" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2022) (Learn how and when to remove this message)

В истории было несколько попыток достичь единой теории математики . Некоторые из наиболее уважаемых математиков в академических кругах высказывали мнение, что весь предмет должен быть вписан в одну теорию (примерами служат программа Гильберта и программа Ленглендса ).

Объединение математических тем называется математической консолидацией : ^[1] «Под консолидацией двух или более концепций или теорий T _i мы подразумеваем создание новой теории, которая включает элементы всех T _i в одну систему, которая достигает более общих выводов, чем те, которые можно получить из любой отдельной T _i ».

Процесс объединения можно рассматривать как помощь в определении того, что представляет собой математика как дисциплина.

Например, механика и математический анализ обычно объединялись в один предмет в 18 веке, объединенные концепцией дифференциального уравнения ; в то время как алгебра и геометрия считались в значительной степени отдельными. Теперь мы рассматриваем анализ, алгебру и геометрию, но не механику, как части математики, потому что они в первую очередь являются дедуктивными формальными науками , в то время как механика, как и физика, должна исходить из наблюдения. Нет никакой значительной потери содержания, поскольку аналитическая механика в старом смысле теперь выражается в терминах симплектической топологии , основанной на более новой теории многообразий .

Термин «теория» неформально используется в математике для обозначения самосогласованного корпуса определений , аксиом , теорем , примеров и т. д. (Примерами являются теория групп , теория Галуа , теория управления и К-теория .) В частности, здесь нет коннотации гипотетического . Таким образом, термин «объединяющая теория» больше похож на социологический термин, используемый для изучения действий математиков. Он может не предполагать ничего предположительного, что было бы аналогично неоткрытой научной связи. На самом деле в математике нет родственных понятий таким понятиям, как Протомир в лингвистике или гипотеза Геи .

Тем не менее, в истории математики было несколько эпизодов, когда наборы отдельных теорем оказывались частными случаями единого объединяющего результата, или когда единая точка зрения на то, как следует действовать при развитии какой-либо области математики, могла быть плодотворно применена к нескольким ветвям этого предмета.

Известным примером было развитие аналитической геометрии , которая в руках таких математиков, как Декарт и Ферма, показала, что многие теоремы о кривых и поверхностях специальных типов могут быть сформулированы на алгебраическом языке (тогда новом), каждая из которых затем может быть доказана с использованием тех же методов. То есть, теоремы были очень похожи алгебраически, даже если геометрические интерпретации были различны.

В 1859 году Артур Кейли инициировал объединение метрических геометрий посредством использования метрик Кейли-Клейна . Позднее Феликс Клейн использовал такие метрики для создания основы неевклидовой геометрии .

В 1872 году Феликс Клейн заметил, что многие разделы геометрии, которые были разработаны в 19 веке ( аффинная геометрия , проективная геометрия , гиперболическая геометрия и т. д.), можно рассматривать единообразно. Он сделал это, рассмотрев группы , в которых геометрические объекты были инвариантны. Это объединение геометрии известно под названием Эрлангенской программы . ^[2]

Общая теория угла может быть объединена с инвариантной мерой площади . Гиперболический угол определяется в терминах площади, очень близкой к площади, связанной с натуральным логарифмом . Круговой угол также имеет интерпретацию площади , когда относится к кругу с радиусом, равным квадратному корню из двух. Эти площади инвариантны относительно гиперболического вращения и кругового вращения соответственно. Эти аффинные преобразования осуществляются элементами специальной линейной группы SL(2,R) . Проверка этой группы выявляет сдвиговые отображения , которые увеличивают или уменьшают наклоны, но разности наклонов не изменяются. Третий тип угла, также интерпретируемый как площадь, зависящая от разностей наклонов, инвариантен из-за сохранения площади сдвигового отображения. ^[3]

В начале 20-го века многие разделы математики начали рассматриваться путем описания полезных наборов аксиом и последующего изучения их следствий. Так, например, исследования « гиперкомплексных чисел », такие как те, которые рассматривались Обществом кватернионов , были поставлены на аксиоматическую основу как разделы теории колец (в данном случае, с особым значением ассоциативных алгебр над полем комплексных чисел). В этом контексте концепция фактор-кольца является одним из самых мощных унификаторов.

Это было общее изменение методологии, поскольку потребности приложений до этого времени означали, что большая часть математики преподавалась с помощью алгоритмов (или процессов, близких к алгоритмическим). Арифметика до сих пор преподается таким образом. Это было параллельно развитию математической логики как самостоятельной ветви математики. К 1930-м годам сама символическая логика была адекватно включена в математику.

В большинстве случаев изучаемые математические объекты можно определить (хотя и неканонически) как множества или, более неформально, как множества с дополнительной структурой, такой как операция сложения. Теория множеств теперь служит языком общения для разработки математических тем.

Группа математиков Бурбаки всерьез занялась аксиоматическим развитием . Доведенное до крайности, это отношение, как считалось, требовало развития математики в ее наибольшей общности. Начинали с самых общих аксиом, а затем специализировались, например, вводя модули над коммутативными кольцами и ограничиваясь векторными пространствами над действительными числами только в случае крайней необходимости. История развивалась в этом ключе, даже когда специализациями были теоремы, представлявшие основной интерес.

В частности, эта точка зрения придавала мало значения областям математики (таким как комбинаторика ), объекты изучения которых очень часто являются специальными или встречаются в ситуациях, которые лишь поверхностно могут быть связаны с более аксиоматическими разделами предмета.

Теория категорий — это объединяющая теория математики, которая была первоначально разработана во второй половине 20-го века. ^{[ требуется цитата ]} В этом отношении она является альтернативой и дополнением к теории множеств. Ключевой темой с «категориальной» точки зрения является то, что математика требует не только определенных видов объектов ( группы Ли , банаховы пространства и т. д.), но и отображений между ними, которые сохраняют их структуру.

В частности, это проясняет, что именно означает для математических объектов считаться одинаковыми . (Например, все ли равносторонние треугольники одинаковы или размер имеет значение?) Сондерс Маклейн предположил, что любая концепция с достаточной «повсеместностью» (встречающаяся в различных разделах математики) заслуживает изоляции и изучения сама по себе. Теория категорий, возможно, лучше приспособлена для этой цели, чем любой другой современный подход. Недостатками опоры на так называемую абстрактную бессмыслицу являются определенная скучность и абстракция в смысле отрыва от корней в конкретных проблемах. Тем не менее, методы теории категорий неуклонно продвигались в принятии во многих областях (от D-модулей до категориальной логики ).

В менее крупном масштабе сходства между наборами результатов в двух различных областях математики поднимают вопрос о том, существует ли объединяющая структура, которая могла бы объяснить параллели. Мы уже отметили пример аналитической геометрии, и в более общем плане область алгебраической геометрии тщательно разрабатывает связи между геометрическими объектами ( алгебраическими многообразиями или, в более общем плане, схемами ) и алгебраическими объектами ( идеалами ); пробирным камнем здесь является результат Гильберта Nullstellensatz , который, грубо говоря, показывает, что между двумя типами объектов существует естественное взаимно-однозначное соответствие.

Можно рассматривать другие теоремы в том же свете. Например, фундаментальная теорема теории Галуа утверждает, что существует взаимно-однозначное соответствие между расширениями поля и подгруппами группы Галуа поля . Гипотеза Таниямы–Шимуры для эллиптических кривых (теперь доказанная) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между кривыми, определенными как модулярные формы , и эллиптическими кривыми, определенными над рациональными числами . Область исследований, иногда называемая Monstrous Moonshine, разработала связи между модулярными формами и конечной простой группой, известной как Monster , начав исключительно с неожиданного наблюдения, что в каждой из них довольно необычное число 196884 возникало бы очень естественно. Другая область, известная как программа Ленглендса , также начинает с, по-видимому, случайных сходств (в данном случае между результатами теории чисел и представлениями определенных групп) и ищет конструкции, из которых оба набора результатов были бы следствиями.

Краткий список таких теорий может включать:

Известным примером является гипотеза Таниямы-Шимуры , теперь теорема о модулярности , которая предполагала, что каждая эллиптическая кривая над рациональными числами может быть переведена в модулярную форму (таким образом, чтобы сохранить связанную с ней L-функцию ). Существуют трудности в идентификации этого с изоморфизмом, в любом строгом смысле этого слова. Было известно, что некоторые кривые являются как эллиптическими кривыми ( рода 1), так и модулярными кривыми , до того, как гипотеза была сформулирована (около 1955 г.). Удивительной частью гипотезы было ее распространение на факторы якобианов модулярных кривых рода > 1. Вероятно, не казалось правдоподобным, что будет «достаточно» таких рациональных факторов, до того, как гипотеза была сформулирована; и на самом деле численные доказательства были незначительными примерно до 1970 г., когда таблицы начали ее подтверждать. Случай эллиптических кривых с комплексным умножением был доказан Шимурой в 1964 году. Эта гипотеза оставалась верной в течение десятилетий, прежде чем была доказана в общем виде.

На самом деле программа (или философия) Ленглендса гораздо больше похожа на сеть объединяющих гипотез; она действительно постулирует, что общая теория автоморфных форм регулируется L-группами, введенными Робертом Ленглендсом . Его принцип функториальности относительно L-группы имеет очень большую объяснительную ценность относительно известных типов подъема автоморфных форм (теперь более широко изучаемых как автоморфные представления ). Хотя эта теория в каком-то смысле тесно связана с гипотезой Таниямы-Шимуры, следует понимать, что гипотеза на самом деле работает в противоположном направлении. Она требует существования автоморфной формы, начиная с объекта, который (очень абстрактно) лежит в категории мотивов .

Другим важным связанным моментом является то, что подход Ленглендса стоит в стороне от всего развития, вызванного чудовищным лунным светом (связями между эллиптическими модулярными функциями как рядами Фурье и групповыми представлениями группы Монстров и других спорадических групп ). Философия Ленглендса не предвещала и не могла включить это направление исследований.

Другой случай, который пока менее разработан, но охватывает широкий спектр математики, — это предположительная основа некоторых частей K-теории . Гипотеза Баума–Конна , которая теперь является давней проблемой, была объединена с другими в группу, известную как гипотезы изоморфизма в K-теории. К ним относятся гипотеза Фаррелла–Джонса и гипотеза Боста.

• Философия математики
• Основы математики