Гипотеза Баума–Конна

В математике , в частности в операторной K-теории , гипотеза Баума–Конна предполагает связь между K-теорией редуцированной C*-алгебры группы и K-гомологиями классифицирующего пространства собственных действий этой группы. Гипотеза устанавливает соответствие между различными областями математики, при этом K-гомологии классифицирующего пространства связаны с геометрией, дифференциальной теорией операторов и теорией гомотопии , в то время как K-теория редуцированной C*-алгебры группы является чисто аналитическим объектом.

Гипотеза, если она верна, будет иметь некоторые более старые известные гипотезы в качестве следствий. Например, часть сюръективности подразумевает гипотезу Кадисона–Капланского для дискретных групп без кручения , а инъективность тесно связана с гипотезой Новикова .

Гипотеза также тесно связана с теорией индекса , поскольку карта сборки является своего рода индексом и играет важную роль в программе некоммутативной геометрии Алена Конна .${\displaystyle \мю}$

Истоки этой гипотезы восходят к теории Фредгольма , теореме Атьи–Зингера об индексе и взаимодействию геометрии с операторной К-теорией, выраженному в работах Брауна, Дугласа и Филлмора, а также ко многим другим мотивирующим темам.

Пусть Γ — локально компактная группа , удовлетворяющая второй аксиоме счетности (например, счетная дискретная группа ). Можно определить морфизм

${\displaystyle \mu :RK_{*}^{\Gamma }({\underline {E\Gamma }})\to K_{*}(C_{r}^{*}(\Gamma )),}$

называемое отображением сборки , из эквивариантных K-гомологий с -компактными носителями классифицирующего пространства собственных действий в K-теорию редуцированной C*-алгебры Γ. Нижний индекс _* может быть 0 или 1.${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle {\underline {E\Гамма}}}$

Пол Баум и Ален Конн выдвинули следующую гипотезу (1982) об этом морфизме:

Гипотеза Баума-Конна. Отображение сборки является изоморфизмом .${\displaystyle \мю}$

Поскольку левая часть, как правило, более доступна, чем правая, поскольку общих структурных теорем α -алгебры практически не существует, гипотезу обычно рассматривают как «объяснение» правой части.${\displaystyle С^{*}}$

Первоначальная формулировка гипотезы была несколько иной, поскольку в 1982 году понятие эквивариантных K-гомологий еще не было общепринятым.

В случае дискретности и отсутствия кручения левая часть сводится к неэквивариантным K-гомологиям с компактными носителями обычного классифицирующего пространства .${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle B\Гамма}$${\displaystyle \Гамма}$

Существует также более общая форма гипотезы, известная как гипотеза Баума–Конна с коэффициентами, где обе стороны имеют коэффициенты в виде -алгебры , на которой действует -автоморфизмами. Она говорит на языке КК , что отображение сборки${\displaystyle С^{*}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle С^{*}}$

${\displaystyle \mu _{A,\Gamma}:RKK_{*}^{\Gamma }({\underline {E\Gamma }},A)\to K_{*}(A\rtimes _{\lambda } \Гамма ),}$

является изоморфизмом, содержащим случай без коэффициентов как случай${\displaystyle A=\mathbb {C} .}$

Однако контрпримеры к гипотезе с коэффициентами были найдены в 2002 году Найджелом Хигсоном , Винсентом Лаффоргом и Жоржем Скандалисом . Однако гипотеза с коэффициентами остается активной областью исследований, поскольку она, как и классическая гипотеза, часто рассматривается как утверждение, касающееся конкретных групп или класса групп.

Пусть будут целыми числами . Тогда левая часть — это K-гомологии , которые являются окружностью. -алгебра целых чисел посредством коммутативного преобразования Гельфанда–Наймарка, которое в этом случае сводится к преобразованию Фурье , изоморфна алгебре непрерывных функций на окружности. Таким образом, правая часть — это топологическая K-теория окружности. Затем можно показать, что отображение сборки — это KK-теоретическая двойственность Пуанкаре , как определено Геннадием Каспаровым, которая является изоморфизмом.${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle B\mathbb {Z} }$${\displaystyle С^{*}}$

Гипотеза без коэффициентов все еще остается открытой, хотя эта область привлекает большое внимание с 1982 года.

Гипотеза доказана для следующих классов групп:

• Дискретные подгруппы и .${\displaystyle SO(n,1)}$${\displaystyle SU(n,1)}$
• Группы со свойством Хаагерупа , иногда называемые aT-подчиненными группами . Это группы, которые допускают изометрическое действие на аффинном гильбертовом пространстве , которое является собственным в том смысле, что для всех и всех последовательностей элементов группы с . Примерами aT-подчиненных групп являются подчинимые группы , группы Коксетера , группы, действующие надлежащим образом на деревьях , и группы, действующие надлежащим образом на односвязных кубических комплексах.${\displaystyle H}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}\xi \to \infty }$${\displaystyle \xi \in H}$${\displaystyle g_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}\to \infty }$${\displaystyle КОШКА(0)}$
• Группы, допускающие конечное представление только с одним отношением.
• Дискретные кокомпактные подгруппы действительных групп Ли действительного ранга 1.
• Кокомпактные решетки в или . С первых дней гипотезы существовала давняя проблема — раскрыть единственное бесконечное свойство T-группы , которое удовлетворяет ей. Однако такая группа была дана В. Лаффоргом в 1998 году, когда он показал, что кокомпактные решетки в обладают свойством быстрого распада и, таким образом, удовлетворяют гипотезе.${\displaystyle SL(3,\mathbb {R} ),SL(3,\mathbb {C} )}$${\displaystyle SL(3,\mathbb {Q} _{p})}$${\displaystyle SL(3,\mathbb {R} )}$
• Гиперболические группы Громова и их подгруппы.
• Среди недискретных групп гипотеза была доказана в 2003 году Ж. Шабертом, С. Эхтерхоффом и Р. Нестом для обширного класса всех почти связных групп (т. е. групп, имеющих кокомпактную связную компоненту), и всех групп -рациональных точек линейной алгебраической группы над локальным полем характеристики ноль (например ). Для важного подкласса действительных редуктивных групп гипотеза уже была доказана в 1987 году Энтони Вассерманном . ^[1]${\displaystyle к}$ ${\displaystyle к}$${\displaystyle k=\mathbb {Q} _{p}}$

Инъективность известна для гораздо большего класса групп благодаря методу Дирак-дуал-Дирак. Он восходит к идеям Майкла Атьи и был разработан в большой общности Геннадием Каспаровым в 1987 году. Инъективность известна для следующих классов:

• Дискретные подгруппы связных групп Ли или виртуально связных групп Ли.
• Дискретные подгруппы p-адических групп .
• Болические группы (некоторое обобщение гиперболических групп).
• Группы, допускающие податливое действие на некотором компактном пространстве.

Простейшим примером группы, для которой неизвестно, удовлетворяет ли она гипотезе, является .${\displaystyle SL_{3}(\mathbb {Z})}$

• Мислин, Гвидо и Валетт, Ален (2003), Правильные групповые действия и гипотеза Баума – Конна , Базель: Биркхойзер, ISBN 0-8176-0408-1.
• Валетт, Ален (2002), Введение в гипотезу Баума-Конна , Базель: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-6706-0.

• О гипотезе Баума-Конна Дмитрия Мацнева.