Плоскость трансляции
Специальный тип проективной плоскости

В математике плоскость трансляции — это проективная плоскость , которая допускает определенную группу симметрий (описанную ниже). Наряду с плоскостями Хьюза и плоскостями Фигероа, плоскости трансляции являются одними из наиболее хорошо изученных из известных недезарговых плоскостей , и подавляющее большинство известных недезарговых плоскостей являются либо плоскостями трансляции, либо могут быть получены из плоскости трансляции посредством последовательных итераций дуализации и/или вывода . [1]

В проективной плоскости пусть P представляет точку, а l представляет прямую. Центральная коллинеация с центром P и осью l — это коллинеация, фиксирующая каждую точку на l и каждую прямую, проходящую через P . Она называется элацией , если P лежит на l , в противном случае она называется гомологией . Центральные коллинеации с центром P и осью l образуют группу. [2] Прямая l в проективной плоскости Π является прямой переноса , если группа всех элаций с осью l действует транзитивно на точки аффинной плоскости, полученной удалением l из плоскости Π , Π l (аффинная производная Π ). Проективная плоскость с прямой переноса называется плоскостью переноса.

Аффинная плоскость, полученная путем удаления линии трансляции, называется аффинной плоскостью трансляции. Хотя часто проще работать с проективными плоскостями, в этом контексте некоторые авторы используют термин плоскость трансляции для обозначения аффинной плоскости трансляции. [3] [4]

Алгебраическая конструкция с координатами

Каждая проективная плоскость может быть скоординирована по крайней мере одним плоским тернарным кольцом . [5] Для плоскостей трансляции всегда возможно скоординировать с квазиполем . [6] Однако некоторые квазиполя удовлетворяют дополнительным алгебраическим свойствам, и соответствующие плоские тернарные кольца координируют плоскости трансляции, которые допускают дополнительные симметрии. Некоторые из этих специальных классов:

Учитывая квазиполе с операциями + (сложение) и (умножение), можно определить плоское тернарное кольцо для создания координат для плоскости переноса. Однако более типично создавать аффинную плоскость непосредственно из квазиполя, определяя точки как пары, где и являются элементами квазиполя, а линии являются множествами точек, удовлетворяющими уравнению вида , так как и изменяются по элементам квазиполя, вместе с множествами точек, удовлетворяющими уравнению вида , так как изменяется по элементам квазиполя. [7] ⋅ {\displaystyle \cdot} ( а , б ) {\displaystyle (а,б)} а {\displaystyle а} б {\displaystyle б} ( х , у ) {\displaystyle (x,y)} у = м ⋅ х + б {\displaystyle y=m\cdot x+b} м {\displaystyle м} б {\displaystyle б} ( х , у ) {\displaystyle (x,y)} х = а {\displaystyle х=а} а {\displaystyle а}

Геометрическая конструкция с растяжками (Брук/Бозе)

Плоскости трансляции связаны с разворотами нечетномерных проективных пространств конструкцией Брука-Боуза. [8] Разворот PG (2 n +1, K ) , где — целое число, а K — тело, является разбиением пространства на попарно непересекающиеся n -мерные подпространства. В конечном случае разворот PG (2 n +1, q ) является набором из q n +1 + 1 n -мерных подпространств, из которых нет двух пересекающихся. н ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}

При наличии распространения S из PG(2 n +1, K ) конструкция Брука-Боуза создает плоскость трансляции следующим образом: вложим PG(2 n +1, K ) как гиперплоскость PG (2 n +2, K ) . Определим структуру инцидентности A ( S ) с «точками», точками PG(2 n +2, K ), не лежащими на , и «линиями» ( n +1) -мерных подпространств PG(2 n +2, K ), встречающимися в элементе S . Тогда A ( S ) является аффинной плоскостью трансляции. В конечном случае эта процедура создает плоскость трансляции порядка q n +1 . Σ {\displaystyle \Сигма} Σ {\displaystyle \Сигма} Σ {\displaystyle \Сигма}

Обратное утверждение почти всегда верно. [9] Любая плоскость трансляции, которая координируется квазиполем, конечномерным над своим ядром K ( K обязательно является телом ), может быть сгенерирована из распространения PG(2 n +1, K ) с использованием конструкции Брука-Боуза, где ( n +1) — размерность квазиполя, рассматриваемого как модуль над своим ядром. Непосредственным следствием этого результата является то, что каждая конечная плоскость трансляции может быть получена из этой конструкции.

Алгебраическая конструкция с разворотами (Андре)

Андре [10] дал более раннее алгебраическое представление (аффинных) плоскостей переноса, которое в основе своей совпадает с Бруком/Бозе. Пусть V будет 2 n -мерным векторным пространством над полем F . Распространение V есть множество S n -мерных подпространств V , которые разделяют ненулевые векторы V . Члены S называются компонентами распространения, и если V i и V j являются различными компонентами, то V i ⊕ V j = V . Пусть A будет структурой инцидентности , точки которой являются векторами V , а линии — смежными классами компонентов, то есть множествами вида v + U , где v — вектор V , а U — компонент распространения S . Тогда: [11]

A — аффинная плоскость, а группа трансляций x → x + w для w в V — группа автоморфизмов, действующая регулярно в точках этой плоскости.

Конечный случай

Пусть F = GF( q ) = F q , конечное поле порядка q и V — 2 n -мерное векторное пространство над F, представленное как:

В = { ( х , у ) : х , у ∈ Ф н } . {\displaystyle V=\{(x,y)\colon x,y\in F^{n}\}.}

Пусть M 0 , M 1 , ..., M q n - 1 будут матрицами n × n над F со свойством , что M i – M j невырождена, когда i ≠ j . Для i = 0, 1, ..., q n – 1 определим,

В я = { ( х , х М я ) : х ∈ Ф н } , {\displaystyle V_{i}=\{(x,xM_{i})\двоеточие x\in F^{n}\},}

обычно называемые подпространствами " y = xM i ". Также определяют:

В д н = { ( 0 , у ) : у ∈ Ф н } , {\displaystyle V_{q^{n}}=\{(0,y)\colon y\in F^{n}\},}

подпространство " x = 0 ".

Множество { V 0 , V 1 , ..., V q n } представляет собой спред V .

Набор матриц M i , используемый в этой конструкции, называется спредом , и этот набор матриц можно использовать непосредственно в проективном пространстве для создания спреда в геометрическом смысле. П Г ( 2 н − 1 , д ) {\displaystyle PG(2n-1,q)}

Регули и регулярные спреды

Пусть — проективное пространство PG(2 n +1, K ) для целого числа, а K — тело. Регулюс [12] R in — это набор попарно непересекающихся n -мерных подпространств со следующими свойствами: Σ {\displaystyle \Сигма} н ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} Σ {\displaystyle \Сигма}

  1. R содержит не менее 3 элементов
  2. Каждая линия, пересекающая три элемента R , называемая трансверсалью , пересекает каждый элемент R.
  3. Каждая точка трансверсали к R лежит на некотором элементе R

Любые три попарно непересекающихся n -мерных подпространства в лежат в уникальном регулусе. [13] Спред S из является регулярным, если для любых трех различных n -мерных подпространств S все элементы уникального регулуса, определяемого ими, содержатся в S . Для любого деления K с более чем 2 элементами, если спред S из PG(2 n +1, K ) является регулярным, то плоскость трансляции, созданная этим спредом с помощью конструкции Андре/Брука-Бозе, является плоскостью Муфанг . Имеет место немного более слабое обратное утверждение: если плоскость трансляции является папповской , то ее можно сгенерировать с помощью конструкции Андре/Брука-Бозе из регулярного спреда. [14] Σ {\displaystyle \Сигма} Σ {\displaystyle \Сигма}

В конечном случае K должно быть полем порядка , а классы плоскостей Муфанг, Дезарга и Паппа идентичны, поэтому эту теорему можно уточнить, заявив, что спред S из PG(2 n +1, q ) является регулярным тогда и только тогда, когда плоскость трансляции, созданная этим спредом с помощью конструкции Андре/Брука-Боуза, является дезарговой . д > 2 {\displaystyle д>2}

В случае, когда K — поле , все распространения PG(2 n +1, 2) тривиально регулярны, поскольку регулус содержит только три элемента. В то время как единственная плоскость трансляции порядка 8 является дезарговой, известно, что существуют недезарговы плоскости трансляции порядка 2 e для каждого целого числа . [15] Г Ф ( 2 ) {\displaystyle ГФ(2)} е ≥ 4 {\displaystyle e\geq 4}

Семейства недезарговых плоскостей трансляции

  • Плоскости Холла — построены с помощью Брука/Бозе из регулярного распространения, где один регулятор заменен набором поперечных линий к этому регулятору (называемых противоположным регулятором ). П Г ( 3 , д ) {\displaystyle PG(3,q)}
  • Субрегулярные плоскости — построены с помощью Брука/Боуза из регулярного распространения, в котором набор попарно непересекающихся регулярных фигур заменен их противоположными регулярными фигурами. П Г ( 3 , д ) {\displaystyle PG(3,q)}
  • Андре самолеты
  • Самолеты ближнего поля
  • Полуполевые плоскости

Конечные плоскости трансляции малого порядка

Хорошо известно, что единственные проективные плоскости порядка 8 или меньше являются дезарговыми, и нет известных недезарговых плоскостей простого порядка. [16] Конечные плоскости трансляции должны иметь порядок простой степени. Существует четыре проективных плоскости порядка 9, из которых две являются плоскостями трансляции: дезаргова плоскость и плоскость Холла . Следующая таблица подробно описывает текущее состояние знаний:

ЗаказЧисло недезарговских

Плоскости перевода

91
167 [17] [18]
2520 [19] [20] [21]
276 [22] [23]
32≥8 [24]
491346 [25] [26]
64≥2833 [27]

Примечания

  1. ^ Эрик Мурхаус провел обширные компьютерные поиски, чтобы найти проективные плоскости. Для порядка 25 Мурхаус нашел 193 проективные плоскости, 180 из которых могут быть получены из плоскости трансляции путем итерационного вывода и/или дуализации. Для порядка 49 известные 1349 плоскостей трансляции дают более 309 000 плоскостей, которые можно получить с помощью этой процедуры.
  2. ^ Geometry Translation Plane Получено 13 июня 2007 г.
  3. ↑ Хьюз и Пайпер 1973, стр. 100.
  4. ^ Джонсон, Джа и Билиотти 2007, стр. 5
  5. ^ Холл 1943
  6. ^ Существует много способов координировать плоскость трансляции, которые не дают квазиполя, поскольку плоское тройное кольцо зависит от четырехугольника, на котором выбираются координаты. Однако для плоскостей трансляции всегда есть некоторая координация, которая дает квазиполе.
  7. ^ Дембовски 1968, стр. 128. Обратите внимание, что квазиполя технически являются либо левыми, либо правыми квазиполями, в зависимости от того, распределяет ли умножение слева или справа (полуполя удовлетворяют обоим законам дистрибуции). Определение квазиполя в Википедии — это левое квазиполе, в то время как Дембовски использует правые квазиполя. Обычно это различие опускается, поскольку использование хирально «неправильного» квазиполя просто создает двойственную плоскость трансляции.
  8. ^ Брук и Бозе 1964
  9. ^ Брук и Бозе 1964, стр. 97
  10. ^ Андре 1954
  11. ^ Мурхаус 2007, стр. 13
  12. ^ Это понятие обобщает понятие классического регулуса, который является одним из двух семейств направляющих линий на однополостном гиперболоиде в трехмерном пространстве.
  13. ^ Брук и Бозе 1966, стр. 163
  14. ^ Брук и Бозе 1966, стр. 164, Теорема 12.1
  15. ^ Кнут 1965, стр. 541
  16. ^ "Проективные плоскости малого порядка". ericmoorhouse.org . Получено 2020-11-08 .
  17. ^ "Проективные плоскости порядка 16". ericmoorhouse.org . Получено 2020-11-08 .
  18. ^ Рейфарт 1984
  19. ^ "Проективные плоскости порядка 25". ericmoorhouse.org . Получено 2020-11-08 .
  20. ^ Дувр 2019
  21. ^ Червински и Окден 1992
  22. ^ "Проективные плоскости порядка 27". ericmoorhouse.org . Получено 2020-11-08 .
  23. ^ Демпвольф 1994
  24. ^ "Проективные плоскости порядка 32". ericmoorhouse.org . Получено 2020-11-08 .
  25. ^ Матон и Ройл 1995
  26. ^ "Проективные плоскости порядка 49". ericmoorhouse.org . Получено 2020-11-08 .
  27. ^ Маккей и Ройл 2014. Это полный подсчет двумерных недезарговых плоскостей трансляции; известно, что существует множество плоскостей более высокой размерности.

Ссылки

  • Андре, Йоханнес (1954), «Über nicht-Desarguessche Ebenen mit Transitiver Translationsgruppe», Mathematische Zeitschrift , 60 : 156–186 , doi : 10.1007/BF01187370, ISSN  0025-5874, MR  0063056, S2CID  123661471
  • Ball, Simeon; John Bamberg; Michel Lavrauw; Tim Penttila (2003-09-15), Symplectic Spreads (PDF) , Политехнический университет Каталонии , получено 2008-10-08
  • Брук, Р. Х. (1969), Р. К. Боуз и Т. А. Доулинг (ред.), «Проблемы построения конечных проективных плоскостей», Комбинаторная математика и ее приложения , Издательство Университета Северной Каролины, стр.  426–514
  • Брук, Р. Х.; Бозе, Р. К. (1966), «Линейные представления проективных плоскостей в проективных пространствах» (PDF) , Журнал алгебры , 4 : 117–172 , doi :10.1016/0021-8693(66)90054-8
  • Брук, Р. Х.; Бозе, Р. К. (1964), «Построение плоскостей трансляции из проективных пространств» (PDF) , Журнал алгебры , 1 : 85–102 , doi :10.1016/0021-8693(64)90010-9
  • Червински, Терри; Оукден, Дэвид (1992). «Плоскости трансляции порядка двадцать пять». Журнал комбинаторной теории, Серия A. 59 ( 2): 193– 217. doi :10.1016/0097-3165(92)90065-3.
  • Дембовский, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, МР  0233275
  • Демпвольф, У. (1994). «Плоскости трансляции порядка 27». Designs, Codes and Cryptography . 4 (2): 105– 121. doi :10.1007/BF01578865. ISSN  0925-1022. S2CID  12524473.
  • Довер, Джереми М. (27.02.2019). «Генеалогия плоскостей трансляции порядка 25». arXiv : 1902.07838 [math.CO].
  • Холл, Маршалл (1943), «Проективные плоскости» (PDF) , Trans. Amer. Math. Soc. , 54 (2): 229– 277, doi : 10.2307/1990331 , JSTOR  1990331
  • Хьюз, Дэниел Р.; Пайпер, Фред К. (1973), Проективные плоскости , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
  • Джонсон, Норман Л.; Джа, Викрам; Билиотти, Мауро (2007), Справочник по конечным плоскостям трансляции , Chapman&Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-605-1
  • Кнут, Дональд Э. (1965), «Класс проективных плоскостей» (PDF) , Труды Американского математического общества , 115 : 541–549 , doi : 10.2307/1994285 , JSTOR  1994285
  • Люнебург, Хайнц (1980), Самолеты перевода , Берлин: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
  • Матон, Рудольф; Ройл, Гордон Ф. (1995). «Плоскости трансляции порядка 49». Designs, Codes and Cryptography . 5 (1): 57– 72. doi :10.1007/BF01388504. ISSN  0925-1022. S2CID  1925628.
  • Маккей, Брендан Д.; Ройл, Гордон Ф. (2014). «В PG(3,8) имеется 2834 распространения линий». arXiv : 1404.1643 [math.CO].
  • Мурхаус, Эрик (2007), Геометрия падения (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 29.10.2013
  • Райфарт, Артур (1984). «Классификация плоскостей перевода 16, II порядка». Геометрии Дедиката . 17 (1). дои : 10.1007/BF00181513. ISSN  0046-5755. S2CID  121935740.
  • Шерк, ФА; Пабст, Гюнтер (1977), «Наборы индикаторов, правила и новый класс спредов» (PDF) , Канадский журнал математики , 29 (1): 132–54 , doi :10.4153/CJM-1977-013-6, S2CID  124215765

Дальнейшее чтение

  • Конспект лекций по проективной геометрии
  • Публикации Кейта Меллингера
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Translation_plane&oldid=1250261004"