Плоскость Холла

В математике плоскость Холла — это недезаргова проективная плоскость, построенная Маршаллом Холлом-младшим (1943). [1] Существуют примеры порядка p 2 n для каждого простого числа p и каждого положительного целого числа n при условии, что p 2 n > 4. [ 2]

Алгебраическое построение с помощью систем Холла

Первоначальная конструкция плоскостей Холла была основана на квазиполе Холла (также называемом системой Холла ), H порядка p 2 n для p простого числа. Создание плоскости из квазиполя следует стандартной конструкции ( подробнее см. в квазиполе ).

Чтобы построить квазиполе Холла, начнем с поля Галуа , F = GF( p n ) для простого числа p и квадратичного неприводимого многочлена f ( x ) = x 2 − rx − s над F. Расширим H = F × F , двумерное векторное пространство над F , до квазиполя, определив умножение векторов на ( a , b ) ∘ ( c , d ) = ( ac − bd −1 f ( c ), ad − bc + br ) , когда d ≠ 0, и ( a , b ) ∘ ( c , 0) = ( ac , bc ) в противном случае.

Записывая элементы H в терминах базиса ⟨1, λ ⟩ , то есть отождествляя ( x , y ) с x + λy , поскольку x и y изменяются по F , мы можем идентифицировать элементы F как упорядоченные пары ( x , 0) , то есть x + λ 0 . Свойства определенного умножения, которые превращают правое векторное пространство H в квазиполе, следующие:

  1. каждый элемент α из H, не входящий в F, удовлетворяет квадратному уравнению f ( α ) = 0 ;
  2. F находится в ядре H (это означает, что ( α + β ) c = αc + βc , и ( αβ ) c = α ( βc ) для всех α , β в H и всех c в F ); и
  3. каждый элемент F коммутирует (мультипликативно ) со всеми элементами H. [3]

Вывод

Другая конструкция, которая создает плоскости Холла, получается путем применения вывода к дезарговым плоскостям .

Процесс, предложенный Т. Г. Остромом, который заменяет определенные наборы прямых в проективной плоскости альтернативными наборами таким образом, что новая структура по-прежнему является проективной плоскостью, называется выводом . Приведем подробности этого процесса. [4] Начнем с проективной плоскости π порядка n 2 и обозначим одну прямую ℓ как ее прямую на бесконечности . Пусть A будет аффинной плоскостью π ∖ ℓ . Множество D из n + 1 точек ℓ называется выводным множеством , если для каждой пары различных точек X и Y плоскости A , которые определяют прямую, пересекающую ℓ в точке D , существует подплоскость Бэра, содержащая X , Y и D (мы говорим, что такие подплоскости Бэра принадлежат D .) Определим новую аффинную плоскость D( A ) следующим образом: Точки D( A ) являются точками A . Прямые D( A ) — это прямые π , которые не пересекают ℓ в точке D (ограниченной A ), и подплоскости Бэра, которые принадлежат D (ограниченной A ). Множество D( A ) является аффинной плоскостью порядка n 2 , и она, или ее проективное пополнение, называется производной плоскостью . [5]

Характеристики

  1. Плоскости Холла являются плоскостями трансляции .
  2. Все конечные плоскости Холла одного порядка изоморфны.
  3. Плоскости Холла не являются самодвойственными .
  4. Все конечные плоскости Холла содержат подплоскости порядка 2 ( подплоскости Фано ).
  5. Все конечные плоскости Холла содержат подплоскости порядка, отличного от 2.
  6. Плоскости Холла — это плоскости Андре .

Плоскость Холла 9-го порядка

Плоскость Холла 9-го порядка
Заказ9
Класс Ленца–БарлоттиIVa.3
Автоморфизмы2 8 × 3 5 × 5
Длины орбит точек10, 81
Длины орбит линий1, 90
ХарактеристикиПлоскость трансляции

Плоскость Холла порядка 9 является наименьшей плоскостью Холла и одним из трех наименьших примеров конечной недезарговой проективной плоскости , наряду с ее двойственной плоскостью и плоскостью Хьюза порядка 9. [6]

Строительство

Хотя обычно она строится так же, как и другие плоскости Холла, плоскость Холла порядка 9 была фактически найдена ранее Освальдом Вебленом и Джозефом Веддерберном в 1907 году. [7] Существует четыре квазиполя порядка девять, которые можно использовать для построения плоскости Холла порядка девять. Три из них являются системами Холла, порожденными неприводимыми многочленами f ( x ) = x 2 + 1 , g ( x ) = x 2 − x − 1 или h ( x ) = x 2 + x − 1 . [8] Первая из них создает ассоциативное квазиполе, [9] то есть ближнее поле , и именно в этом контексте плоскость была открыта Вебленом и Веддерберном. Эту плоскость часто называют плоскостью ближнего поля порядка девять.

Характеристики

Группа автоморфизмов

Плоскость Холла порядка 9 является единственной проективной плоскостью, конечной или бесконечной, которая имеет класс Ленца–Барлотти IVa.3. [10] Ее группа автоморфизмов действует на ее (обязательно единственной) прямой трансляции импримитивно , имея 5 пар точек, которые группа сохраняет по множеству; группа автоморфизмов действует как S 5 на этих 5 парах. [11]

Униталы

Плоскость Холла порядка 9 допускает четыре неэквивалентных вложенных унитала . [12] Два из этих униталов возникают из конструкций Бюкенхаута [13] : один является параболическим , пересекающим линию трансляции в одной точке, а другой является гиперболическим , пересекающим линию трансляции в 4 точках. Грюнинг [14] показал, что последний из этих двух униталов также вкладывается в двойственную плоскость Холла. Другой унитал возникает из конструкции Барлотти и Лунардона. [15] Четвертый имеет группу автоморфизмов порядка 8, изоморфную кватернионам , и не является частью какого-либо известного бесконечного семейства.

Примечания

  1. ^ Холл (1943)
  2. ^ Хотя построения дадут проективную плоскость порядка 4, единственная такая плоскость является дезарговой и обычно не считается плоскостью Холла.
  3. ^ Хьюз и Пайпер (1973, стр. 183)
  4. ↑ Хьюз и Пайпер (1973, стр. 202–218, Глава X. Вывод)
  5. ^ Хьюз и Пайпер (1973, стр. 203, Теорема 10.2)
  6. ^ Мурхаус, Г. Эрик (2017), Проективные плоскости малого порядкаявно перечисляет структуру инцидентности этих плоскостей.
  7. ^ Веблен, Освальд ; Веддерберн, Джозеф Х. М. (1907), «Недезарговы и непаскалевы геометрии» (PDF) , Труды Американского математического общества , 8 (3): 379–388, doi : 10.2307/1988781 , JSTOR  1988781
  8. ^ Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проективные плоскости , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, стр. 333–334, ISBN 0-7167-0443-9
  9. ^ D. Hughes и F. Piper (1973). Projective Planes . Springer-Verlag. стр. 186. ISBN 0-387-90044-6.
  10. ^ Дембовски, Питер (1968). Конечные геометрии: Переиздание издания 1968 года. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 126. ISBN 978-3-642-62012-6. OCLC  851794158.
  11. ^ Андре, Йоханнес (1 декабря 1955). «Projektive Ebenen über Fastkörpern». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 62 (1): 137–160. дои : 10.1007/BF01180628. ISSN  1432-1823. S2CID  122641224.
  12. ^ Пенттила, Тим; Ройл, Гордон Ф. (1995-11-01). «Наборы типа (m, n) в аффинных и проективных плоскостях девятого порядка». Designs, Codes and Cryptography . 6 (3): 229–245. doi :10.1007/BF01388477. ISSN  1573-7586. S2CID  43638589.
  13. ^ Бюкенхаут, Ф. (июль 1976 г.). «Существование унитальных функций в конечных плоскостях трансляции порядка q2 с ядром порядка q». Geometriae Dedicata . 5 (2). doi :10.1007/BF00145956. ISSN  0046-5755. S2CID  123037502.
  14. ^ Грюнинг, Клаус (1987-06-01). «Класс униталов порядка q, которые могут быть вложены в две различные плоскости порядка q2». Журнал геометрии . 29 (1): 61–77. doi :10.1007/BF01234988. ISSN  1420-8997. S2CID  117872040.
  15. ^ Барлотти, А.; Лунардон, Г. (1979). «Уна класс униталов не Δ-пиани». Rivisita di Matematica della Università di Parma . 4 : 781–785.

Ссылки

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hall_plane&oldid=1210109708"