Квазиполе

В математике квазиполе — это алгебраическая структура , где и — бинарные операции над , очень похожая на деление , но с некоторыми более слабыми условиями. Все деления, а значит, и все поля , являются квазиполями.${\displaystyle (Q,+,\cdot)}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle Q}$

Квазиполе — это структура, где и — бинарные операции над , удовлетворяющие следующим аксиомам:${\displaystyle (Q,+,\cdot)}$${\displaystyle +}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle (Q,+)}$это группа
• ${\displaystyle (Q_{0},\cdot )}$представляет собой петлю , где${\displaystyle Q_{0}=Q\setminus \{0\}\,}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\quad \forall a,b,c\in Q}$(левая дистрибутивность )
• ${\displaystyle a\cdot x=b\cdot x+c}$имеет ровно одно решение для ,${\displaystyle x}$${\displaystyle \forall a,b,c\in Q,a\neq b}$

Строго говоря, это определение левого квазиполя. Правое квазиполе определяется аналогично, но вместо этого удовлетворяет правой дистрибутивности. Квазиполе, удовлетворяющее обоим законам дистрибутивности, называется полуполем , в том смысле, в котором этот термин используется в проективной геометрии .

Хотя это и не предполагается, можно доказать, что аксиомы подразумевают, что аддитивная группа является абелевой . Таким образом, когда речь идет об абелевом квазиполе , подразумевается, что оно является абелевым.${\displaystyle (Q,+)}$${\displaystyle (Q_{0},\cdot )}$

Ядром квазиполя является множество всех элементов, таких что:${\displaystyle К}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle с}$

• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\quad \forall a,b\in Q}$
• ${\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)\quad \forall a,b\in Q}$

Ограничивая бинарные операции и , можно показать, что является кольцом с делением .${\displaystyle +}$${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle К}$${\displaystyle (К,+,\cdot)}$

Теперь можно создать векторное пространство размером более , используя следующее скалярное умножение:${\displaystyle Q}$${\displaystyle К}$${\displaystyle v\otimes l=v\cdot l\quad \forall v\in Q,l\in K}$

Так как конечное тело является конечным полем по теореме Веддерберна , порядок ядра конечного квазиполя является степенью простого числа . Конструкция векторного пространства подразумевает, что порядок любого конечного квазиполя также должен быть степенью простого числа.

Все тела, а значит, и все поля, являются квазиполями.

(Правое) ближнее поле , являющееся (правым) квазиполем, называется «плоским ближним полем».

Наименьшие квазиполя абелевы и единственные. Это конечные поля порядков до восьмого включительно. Наименьшие квазиполя, не являющиеся телами, это четыре неабелевых квазиполя девятого порядка; они представлены в работах Hall (1959) и Weibel (2007).

Для данного квазиполя мы определяем тернарное отображение следующим образом:${\displaystyle Q}$${\displaystyle T\двоеточие Q\times Q\times Q\to Q}$

${\displaystyle T(a,b,c)=a\cdot b+c\quad \forall a,b,c\in Q}$

Затем можно проверить, что удовлетворяет аксиомам плоского тернарного кольца . Связано с его соответствующей проективной плоскостью . Проективные плоскости, построенные таким образом, характеризуются следующим образом; подробности этой связи приведены в Hall (1959). Проективная плоскость является плоскостью переноса относительно линии на бесконечности тогда и только тогда, когда любое (или все) из ее связанных плоских тернарных колец являются правыми квазиполями. Она называется плоскостью сдвига , если любое (или все) из ее тернарных колец являются левыми квазиполями.${\displaystyle (Q,T)}$${\displaystyle (Q,T)}$

Плоскость не определяет кольцо однозначно; все 4 неабелевых квазиполя порядка 9 являются тернарными кольцами для единственной недезарговой плоскости трансляции порядка 9. Они отличаются фундаментальным четырехугольником , используемым для построения плоскости (см. Weibel 2007).

Квазиполя в литературе до 1975 года назывались «системами Веблена–Веддерберна», поскольку они были впервые изучены в статье 1907 года (Veblen-Wedderburn 1907) О. Веблена и Дж. Веддерберна . Обзоры квазиполей и их приложений к проективным плоскостям можно найти в работах Холла (1959) и Вайбеля (2007).

• Холл, Маршалл-младший (1959), Теория групп , Macmillan, LCCN  59005035, MR  0103215.
• Веблен, О.; Веддерберн, Дж. Х. М. (1907), «Недезарговы и непаскалевы геометрии», Труды Американского математического общества , 8 (3): 379–388, doi : 10.2307/1988781 , JSTOR  1988781
• Вайбель, Чарльз (2007), «Обзор недезарговых плоскостей», Notices of the AMS , 54 (10): 1294–1303

• Ближнее поле
• Полуполе
• Альтернативное разделительное кольцо
• Системы Холла (плоскости Холла)
• Самолет Муфанг

• Квазиполя Хауке Кляйна.