Группа автоморфизмов

В математике группа автоморфизмов объекта X — это группа , состоящая из автоморфизмов X при композиции морфизмов . Например, если X — конечномерное векторное пространство , то группа автоморфизмов X — это группа обратимых линейных преобразований из X в себя ( общая линейная группа X ). Если же X — это группа, то ее группа автоморфизмов — это группа, состоящая из всех групповых автоморфизмов X. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$

Особенно в геометрических контекстах группа автоморфизмов также называется группой симметрии . Подгруппа группы автоморфизмов иногда называется группой преобразований .

Группы автоморфизмов изучаются в общем виде в области теории категорий .

Если X — множество без дополнительной структуры, то любая биекция из X в себя является автоморфизмом, и, следовательно, группа автоморфизмов X в этом случае — это в точности симметрическая группа X. Если множество X имеет дополнительную структуру, то может случиться так, что не все биекции на множестве сохраняют эту структуру, и в этом случае группа автоморфизмов будет подгруппой симметрической группы на X. Вот некоторые примеры:

• Группа автоморфизмов расширения поля — это группа, состоящая из автоморфизмов поля L , которые фиксируют K. Если расширение поля — это Галуа , группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения поля.${\displaystyle Л/К}$
• Группа автоморфизмов проективного n - пространства над полем k — это проективная линейная группа ^[1]${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$
• Группа автоморфизмов конечной циклической группы порядка n изоморфна , мультипликативной группе целых чисел по модулю n , с изоморфизмом , заданным формулой . [ ^2] В частности, является абелевой группой .${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z})^{\times }}$${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$${\displaystyle G}$
• Группа автоморфизмов конечномерной вещественной алгебры Ли имеет структуру (вещественной) группы Ли (на самом деле, это даже линейная алгебраическая группа : см. ниже). Если G — группа Ли с алгеброй Ли , то группа автоморфизмов G имеет структуру группы Ли, индуцированную из группы автоморфизмов . ^{[3] [4] [a]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Если G — группа , действующая на множестве X , действие равносильно групповому гомоморфизму из G в группу автоморфизмов X и наоборот. Действительно, каждое левое G -действие на множестве X определяет , и, наоборот, каждый гомоморфизм определяет действие по . Это распространяется на случай, когда множество X имеет больше структуры, чем просто множество. Например, если X — векторное пространство, то групповое действие G на X является групповым представлением группы G , представляющим G как группу линейных преобразований (автоморфизмов) X ; эти представления являются основным объектом изучения в области теории представлений .${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$

Вот еще несколько фактов о группах автоморфизмов:

• Пусть — два конечных множества одинаковой мощности и множество всех биекций . Тогда , которое является симметрической группой (см. выше), действует на слева свободно и транзитивно ; то есть является торсором для (ср. #В теории категорий).${\displaystyle А,Б}$${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$
• Пусть P — конечно порождённый проективный модуль над кольцом R. Тогда существует вложение , единственное с точностью до внутренних автоморфизмов . ^[5]${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$

Группы автоморфизмов очень естественно появляются в теории категорий .

Если X — объект в категории, то группа автоморфизмов X — это группа, состоящая из всех обратимых морфизмов из X в себя. Это единичная группа моноида эндоморфизмов X. ( Некоторые примеры см. в PROP . )

Если являются объектами в некоторой категории, то множество всех является левым - торсором . На практике это означает, что различный выбор базовой точки однозначно отличается элементом из , или что каждый выбор базовой точки является в точности выбором тривиализации торсора.${\displaystyle А,Б}$${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$

Если и являются объектами в категориях и , а если — функтор, отображающий в , то индуцирует групповой гомоморфизм , поскольку он отображает обратимые морфизмы в обратимые морфизмы.${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$

В частности, если G — группа, рассматриваемая как категория с одним объектом * или, в более общем смысле, если G — группоид, то каждый функтор , C — категория, называется действием или представлением G на объекте , или объектах . Тогда эти объекты называются -объектами (поскольку на них действует ); ср. -объект . Если — модульная категория, подобная категории конечномерных векторных пространств, то -объекты также называются -модулями.${\displaystyle F:G\to C}$${\displaystyle F(*)}$${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle С}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Пусть — конечномерное векторное пространство над полем k , снабженное некоторой алгебраической структурой (то есть M — конечномерная алгебра над k ). Это может быть, например, ассоциативная алгебра или алгебра Ли .${\displaystyle М}$

Теперь рассмотрим k - линейные отображения , которые сохраняют алгебраическую структуру: они образуют векторное подпространство . Единичная группа является группой автоморфизмов . Когда выбран базис на M , является пространством квадратных матриц и является нулевым множеством некоторых полиномиальных уравнений , и обратимость снова описывается полиномами. Следовательно, является линейной алгебраической группой над k .${\displaystyle M\to M}$ ${\displaystyle \operatorname {Конец} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \operatorname {Конец} (М)}$${\displaystyle \operatorname {Конец} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$${\displaystyle \operatorname {Конец} (М)}$${\displaystyle \operatorname {Конец} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

Теперь базовые расширения, примененные к вышеприведенному обсуждению, определяют функтор: ^[6] а именно, для каждого коммутативного кольца R над k , рассмотрим R -линейные отображения, сохраняющие алгебраическую структуру: обозначим его через . Тогда группа единиц матричного кольца над R является группой автоморфизмов и является групповым функтором : функтор из категории коммутативных колец над k в категорию групп . Еще лучше, он представлен схемой (поскольку группы автоморфизмов определяются многочленами): эта схема называется схемой группы автоморфизмов и обозначается через .${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$${\displaystyle \operatorname {Конец} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$${\displaystyle \operatorname {Конец} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

Однако в общем случае функтор группы автоморфизмов не может быть представлен схемой.

• Группа внешних автоморфизмов
• Структура уровня , метод удаления группы автоморфизмов
• Группа голономии

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme