Передача (теория групп)

В математической области теории групп перенос определяет , для данной группы G и подгруппы H конечного индекса , групповой гомоморфизм из G в абелианизацию H. Его можно использовать в сочетании с теоремами Силова для получения определенных численных результатов о существовании конечных простых групп .

Передача была определена Иссаем Шуром  (1902) и заново открыта Эмилем Артином  (1929). ^[1]

Построение карты происходит следующим образом: ^[2] Пусть [ G : H ] = n и выбираем представителей смежных классов , скажем,

${\displaystyle x_{1},\точки ,x_{n},\,}$

для H в G , поэтому G можно записать как несвязное объединение

${\displaystyle G=\bigcup \ x_{i}H.}$

При наличии y в G каждый yx _i находится в некотором смежном классе x _j H и поэтому

${\displaystyle yx_{i}=x_{j}h_{i}}$

для некоторого индекса j и некоторого элемента h _i из H. Значение переноса для y определяется как изображение продукта

${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}h_{i}}$

в H / H ′, где H ′ — коммутант группы H. Порядок множителей не имеет значения, поскольку H / H ′ абелева.

Несложно показать, что, хотя отдельный h _i зависит от выбора представителей смежного класса, значение переноса не зависит. Также несложно показать, что отображение, определенное таким образом , является гомоморфизмом.

Если G циклический, то перенос переводит любой элемент y из G в y ^{[ G : H ]} .

Простой случай рассматривается в лемме Гаусса о квадратичных вычетах , которая фактически вычисляет перенос для мультипликативной группы ненулевых классов вычетов по модулю простого числа p относительно подгруппы {1, −1}. ^[1] Одним из преимуществ такого подхода является легкость, с которой можно найти правильное обобщение, например, для кубических вычетов в случае, когда p − 1 делится на три.

Этот гомоморфизм может быть установлен в контексте групповой гомологии . В общем случае, если задана любая подгруппа H из G и любой G -модуль A , существует отображение корестрикция групп гомологии, индуцированное отображением включения , но если у нас есть, что H имеет конечный индекс в G , существуют также отображения ограничений . В случае n = 1 и с тривиальной структурой G -модуля мы имеем отображение . Отмечая, что может быть отождествлено с , где - подгруппа коммутатора, это дает отображение переноса через , с обозначением естественной проекции. ^[3] Перенос также наблюдается в алгебраической топологии , когда он определяется между классифицирующими пространствами групп.${\displaystyle \mathrm {Cor} :H_{n}(H,A)\to H_{n}(G,A)}$${\displaystyle i:H\to G}$${\displaystyle \mathrm {Res} :H_{n}(G,A)\to H_{n}(H,A)}$${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathrm {Res} :H_{1}(G,\mathbb {Z} )\to H_{1}(H,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z})}$${\displaystyle Г/Г'}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G\xrightarrow {\pi } G/G'\xrightarrow {\mathrm {Res} } H/H'}$${\displaystyle \пи}$

Название является переводом немецкого слова Verlagerung , которое было придумано Гельмутом Хассе .

Если G конечно порождена, коммутантная подгруппа G ′ группы G имеет конечный индекс в G и H=G ′, то соответствующее отображение переноса тривиально. Другими словами, отображение переводит G в 0 в абелианизации G ′. Это важно для доказательства теоремы о главном идеале в теории полей классов . ^[1] См. заметки Эмиля Артина и Джона Тейта по теории полей классов .

• Теорема о фокусной подгруппе , важное приложение переноса
• Согласно закону взаимности Артина, перенос Артина описывает принципализацию идеальных классов в расширениях полей алгебраических чисел.

• Артин, Эмиль (1929), «Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007/BF02941159, S2CID  121475651
• Шур, Иссаи (1902), «Neuer Beweis eines Satzes über Endliche Gruppen», Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 1013–1019, JFM  33.0146.01
• Скотт, У. Р. (1987) [1964]. Теория групп . Довер. стр. 60 и далее. ISBN 0-486-65377-3. Збл  0641.20001.
• Serre, Jean-Pierre (1979). Локальные поля . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 67. Перевод Гринберга, Марвина Джея . Springer-Verlag . стр. 120–122. ISBN 0-387-90424-7. Збл  0423.12016.