Теорема о фокусной подгруппе

В абстрактной алгебре теорема о фокальной подгруппе описывает слияние элементов в силовской подгруппе конечной группы . Теорема о фокальной подгруппе была введена в (Higman 1953) и является «первым крупным применением переноса» согласно (Gorenstein, Lyons & Solomon 1996, p. 90). Теорема о фокальной подгруппе связывает идеи переноса и слияния, такие как описанные Отто Грюном в (Grün 1936). Различные приложения этих идей включают локальные критерии p -нильпотентности и различные критерии не- простоты , фокусирующиеся на показе того, что конечная группа имеет нормальную подгруппу индекса p .

Теорема о фокальной подгруппе связывает несколько направлений исследований в теории конечных групп: нормальные подгруппы индекса степени p , гомоморфизм переноса и слияние элементов.

Следующие три нормальные подгруппы индекса степени p определяются естественным образом и возникают как наименьшие нормальные подгруппы, такие, что фактор является (определенным видом) p -группы. Формально они являются ядрами отражения на рефлективную подкатегорию p -групп (соответственно, элементарные абелевы p -группы, абелевы p -группы).

• E ^p ( G ) — пересечение всех нормальных подгрупп индекса p ; G / E ^p ( G ) — элементарная абелева группа и наибольшая элементарная абелева p -группа, на которую G сюръецирует.
• A ^p ( G ) (обозначение из (Isaacs 2008, 5D, стр. 164)) — пересечение всех нормальных подгрупп K, таких что G / K — абелева p -группа (т. е. K — индексная нормальная подгруппа, содержащая производную группу ): G / A ^p ( G ) — наибольшая абелева p -группа (не обязательно элементарная), на которую G сюръецирует.${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle [Г,Г]}$
• Op ( G ) — пересечение всех нормальных подгрупп K группы G, таких что G / K ^— (возможно, неабелева) p -группа (т. е. K — индексная нормальная подгруппа): G / Op ( G ) — наибольшая ^p - группа (не обязательно абелева), на которую сюръецируется G. Op ( G ) также известна ^как${\displaystyle p^{k}}$p -остаточная подгруппа .

Во-первых, поскольку это более слабые условия для групп K, то получаются включения. Они далее связаны следующим образом:${\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).}$

А ^п ( Г ) = О ^п ( Г )[ Г , Г ].

Op ( G ) имеет следующую альтернативную характеристику как подгруппу, порожденную всеми силовскими q -подгруппами группы G при q ≠ p ^, пробегающую простые делители порядка группы G , отличные от p .

O ^p ( G ) используется для определения нижнего p -рядаG , аналогично верхнему p -ряду , описанному в p- core .

Гомоморфизм переноса — это гомоморфизм, который можно определить из любой группы G в абелеву группу H /[ H , H ], определяемую подгруппой H ≤ G конечного индекса , то есть [ G : H ] < ∞. Отображение переноса из конечной группы G в ее силовскую p -подгруппу имеет ядро , которое легко описать:

Ядро гомоморфизма переноса из конечной группы G в ее силовскую p -подгруппу P имеет в качестве ядра Ap(G) (Айзекс 2008, Теорема 5.20, стр . 165 ) ^.

Другими словами, «очевидный» гомоморфизм на абелеву p -группу на самом деле является наиболее общим таким гомоморфизмом.

Шаблон слияния подгруппы H в G — это отношение эквивалентности элементов H , где два элемента h , k из H являются слитыми , если они G -сопряжены, то есть если в G есть некоторый g , такой что h = k ^g . Нормальная структура G влияет на шаблон слияния ее силовских p -подгрупп, и наоборот, шаблон слияния ее силовских p -подгрупп влияет на нормальную структуру G (Gorenstein, Lyons & Solomon 1996, стр. 89).

Можно определить, как в (Isaacs 2008, стр. 165), фокальную подгруппу H относительно G как:

Foc _G ( H ) = ⟨ x ⁻¹ y | x , y из H и x является G -сопряженным с y ⟩.

Эта фокальная подгруппа измеряет степень, в которой элементы H сливаются в G , в то время как предыдущее определение измеряло некоторые абелевы p -группы гомоморфных образов группы G. Содержание теоремы о фокальной подгруппе заключается в том, что эти два определения фокальной подгруппы совместимы.

(Gorenstein 1980, стр. 246) показывает, что фокальная подгруппа P в G является пересечением P ∩[ G , G ] силовской p -подгруппы P конечной группы G с производной подгруппой [ G , G ] группы G . Фокальная подгруппа важна, поскольку она является силовской p -подгруппой производной подгруппы. Также получается следующий результат:

Существует нормальная подгруппа K группы G с G / K — ^{абелевой} p -группой , изоморфной P / P ∩ [ G , G ] (здесь K обозначает Ap ( G )), и

если K — нормальная подгруппа группы G с G / K — абелевой p-группой, то P ∩[ G , G ] ≤ K , и G / K — гомоморфный образ P / P ∩[ G , G ], (Горенштейн 1980, теорема 7.3.1, стр. 90).

Фокальная подгруппа конечной группы G с силовской p -подгруппой P задается формулой:

P ∩[ G , G ] = P ∩ A ^p ( G ) = P ∩ker( v ) = Foc _G ( P ) = ⟨ x ⁻¹ y | x , y в P и x является G -сопряженным с y ⟩

где v — гомоморфизм переноса из G в P /[ P , P ], (Айзекс 2008, теорема 5.21, стр. 165).

Эта связь между переносом и слиянием приписывается (Higman 1953), ^[1] , где на другом языке была доказана теорема о фокальной подгруппе вместе с различными обобщениями. Требование, чтобы G / K были абелевыми, было снято, так что Хигман также изучал O ^p ( G ) и нильпотентный остаток γ _∞ ( G ), как так называемые гиперфокальные подгруппы . Хигман также не ограничивался одним простым числом p , а вместо этого допускал π -группы для множеств простых чисел π и использовал теорему Филипа Холла о холловских подгруппах , чтобы доказать аналогичные результаты о переносе в холловские π -подгруппы; взяв π = { p }, холловская π -подгруппа является силовской p -подгруппой, и результаты Хигмана такие, как представлены выше.

Интерес к гиперфокальным подгруппам возобновился благодаря работе (Puig 2000) по пониманию теории модульного представления некоторых хорошо ведущих себя блоков. Гиперфокальная подгруппа P в G может быть определена как P ∩γ _∞ ( G ), то есть как силовская p -подгруппа нильпотентного остатка G . Если P является силовской p -подгруппой конечной группы G , то получается стандартная теорема о фокальной подгруппе:

P ∩γ _∞ ( G ) = P ∩ O ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y  : x , y в P и y = x ^g для некоторого g из G порядка, взаимно простого с p ⟩

и локальная характеристика:

P ∩ O ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y  : x , y из Q ≤ P и y = x ^g для некоторого g из _NG ( Q ) порядка, взаимно простого с p ⟩.

Это сопоставимо с локальной характеристикой фокальной подгруппы как:

P ∩ A ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹ y  : x , y из Q ≤ P и y = x ^g для некоторого g из NG ₍ Q ) ⟩.

Puig интересуется обобщением этой ситуации на системы слияния , категориальную модель шаблона слияния силовской p -подгруппы относительно конечной группы, которая также моделирует шаблон слияния дефектной группы p -блока в теории модулярных представлений. Фактически, системы слияния нашли ряд удивительных применений и вдохновений в области алгебраической топологии, известной как эквивариантная гомотопическая теория . Некоторые из основных алгебраических теорем в этой области на данный момент имеют только топологические доказательства.

Различные математики представили методы расчета фокальной подгруппы из меньших групп. Например, влиятельная работа (Alperin 1967) развивает идею локального управления слиянием, и в качестве примера приложения показывает, что:

P  ∩  Ap ( G ) порождается коммутаторными подгруппами [ Q , N _G ( Q )], где ^Q варьируется по семейству C подгрупп  P

Выбор семейства C может быть сделан многими способами ( C - это то, что называется "слабым сопряженным семейством" в (Alperin 1967)), и приведено несколько примеров: можно взять C как все нетождественные подгруппы P или меньший выбор только пересечений Q  =  P  ∩  P ^g для g в G, в которых N _P ( Q ) и N _{P ^g} ( Q ) являются силовскими p -подгруппами N _G ( Q ). Последний выбор сделан в (Gorenstein 1980, Theorem 7.4.1, p. 251). Работа (Grün 1936) также изучала аспекты переноса и слияния, что привело к первой теореме Грюна :

P  ∩  Ap ( G ) порождается P  ∩ [ N ,  N ] и P  ∩ [ Q ,  Q ], где ^N =  N _G ( P ) и Q пробегает множество силовских p -подгрупп Q = P ^g группы G (Горенштейн 1980, теорема 7.4.2, стр. 252).

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, дополнив его. ( Январь 2010 )

Презентации в учебниках (Rose 1978, стр. 254–264), (Isaacs 2008, глава 5), (Hall 1959, глава 14), (Suzuki 1986, §5.2, стр. 138–165) содержат различные приложения теоремы о фокальной подгруппе, связывающие слияние, перенос и определенный вид расщепления , называемый p -нильпотентностью .

В ходе теоремы Альперина–Брауэра–Горенштейна, классифицирующей конечные простые группы с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами, возникает необходимость различать четыре типа групп с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами: 2-нильпотентные группы, группы Q -типа, фокальная подгруппа которых является обобщенной группой кватернионов индекса 2, группы D -типа, фокальная подгруппа которых является диэдральной группой индекса 2, и группы QD -типа, фокальная подгруппа которых является всей квазидиэдральной группой. В терминах слияния 2-нильпотентные группы имеют 2 класса инволюций и 2 класса циклических подгрупп порядка 4; Q -тип имеет 2 класса инволюций и один класс циклической подгруппы порядка 4; QD -тип имеет по одному классу инволюций и циклических подгрупп порядка 4. Другими словами, конечные группы с квазидиэдральными силовскими 2-подгруппами могут быть классифицированы в соответствии с их фокальной подгруппой или, что эквивалентно, в соответствии с их моделями слияния. Явные списки групп с каждой моделью слияния содержатся в (Alperin, Brauer & Gorenstein 1970) .

• Альперин, Дж. Л. (1967), «Силовские пересечения и слияние», Журнал алгебры , 6 (2): 222– 241, doi : 10.1016/0021-8693(67)90005-1 , ISSN  0021-8693, MR  0215913
• Альперин, Дж. Л .; Брауэр, Р .; Горенштейн, Д. (1970), «Конечные группы с квазидиэдральными и сплетенными силовскими 2-подгруппами», Труды Американского математического общества , 151 (1), Американское математическое общество : 1– 261, doi : 10.2307/1995627, ISSN  0002-9947, JSTOR  1995627, MR  0284499
• Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы , Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-0301-6, МР  0569209
• Горенштейн, Д.; Лайонс, Ричард; Соломон, Рональд (1996), Классификация конечных простых групп. Номер 2. Часть I. Глава G, Математические обзоры и монографии, т. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0390-5, МР  1358135
• Грюн, Отто (1936), «Beiträge zur Gruppentheorie. I.», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 174 : 1–14 , doi : 10.1515/crll.1936.174.1, ISSN  0075-4102, Zbl  0012.34102
• Холл, Маршалл-младший (1959), Теория групп , Нью-Йорк: Macmillan, MR  0103215
• Хигман, Дональд Г. (1953), «Фокальные ряды в конечных группах», Canadian Journal of Mathematics , 5 : 477–497 , doi : 10.4153/cjm-1953-055-5 , ISSN  0008-414X, MR  0058597
• Айзекс, И. Мартин (2008), Теория конечных групп , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4344-4
• Puig, Lluis (2000), «Гиперфокальная подалгебра блока», Inventiones Mathematicae , 141 (2): 365– 397, Bibcode : 2000InMat.141..365P, doi : 10.1007/s002220000072, ISSN  0020-9910, MR  1775217, S2CID  122330778
• Роуз, Джон С. (1978), Курс теории групп , Нью-Йорк: Dover Publications (опубликовано в 1994 г.), ISBN 978-0-486-68194-8, МР  0498810
• Судзуки, Мичио (1986), Теория групп. II , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], том. 248, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-10916-9, МР  0815926