Тензорное произведение модулей

В математике тензорное произведение модулей — это конструкция, которая позволяет проводить рассуждения о билинейных отображениях (например, умножение) в терминах линейных отображений . Конструкция модуля аналогична конструкции тензорного произведения векторных пространств , но может быть выполнена для пары модулей над коммутативным кольцом, приводя к третьему модулю, а также для пары правого модуля и левого модуля над любым кольцом , приводя к абелевой группе . Тензорные произведения важны в областях абстрактной алгебры , гомологической алгебры , алгебраической топологии , алгебраической геометрии , операторных алгебр и некоммутативной геометрии . Универсальное свойство тензорного произведения векторных пространств распространяется на более общие ситуации в абстрактной алгебре. Тензорное произведение алгебры и модуля может быть использовано для расширения скаляров . Для коммутативного кольца тензорное произведение модулей можно итерировать, образуя тензорную алгебру модуля, что позволяет определить умножение в модуле универсальным способом.

Для кольца R , правого R -модуля M , левого R -модуля N и абелевой группы G отображение φ : M × N → G называется R -уравновешенным , R -среднелинейным или R -уравновешенным произведением , если для всех m , m ′ из M , n , n ′ из N и r из R выполняются следующие соотношения: ^{[1] : 126}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (m,n+n')&=\varphi (m,n)+\varphi (m,n')&& {\text{Dl}} _ {\varphi } \\\varphi (m+m',n)&=\varphi (m,n)+\varphi (m',n)&&{\text{Dr}}_{\varphi }\\\varphi (m\cdot r,n)&=\varphi (m,r\cdot n)&&{\text{A}}_{\varphi }\\\end{aligned}}}$$

Множество всех таких сбалансированных произведений над R от M × N до G обозначается _как LR ( M , N ; G ) .

Если φ , ψ являются сбалансированными произведениями, то каждая из операций φ + ψ и − φ , определенная поточечно, является сбалансированным произведением. Это превращает множество L _R ( M , N ; G ) в абелеву группу.

При фиксированных M и N отображение G ↦ _LR ( M , N ; G ) является функтором из категории абелевых групп в себя. Морфологическая часть задается отображением гомоморфизма групп g  : G → G ′ в функцию φ ↦ g ∘ φ , которая идет из LR ( M , N ; G ) в LR ₍ M , _N ; G ′ ) .

Замечания

1. Свойства (Dl) и (Dr) выражают биаддитивность φ , которую можно рассматривать как дистрибутивность φ по сложению .
2. Свойство (A) напоминает некоторое ассоциативное свойство φ .
3. Каждое кольцо R является R - бимодулем . Поэтому кольцевое умножение ( r , r ′) ↦ r ⋅ r ′ в R является R - сбалансированным произведением R × R → R.

Для кольца R , правого R -модуля M , левого R -модуля N тензорное произведение над R является абелевой группой вместе со сбалансированным произведением (как определено выше), которое универсально в следующем смысле: ^[2]$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$$${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$$

Для каждой абелевой группы G и каждого сбалансированного произведения существует единственный гомоморфизм групп, такой что$${\displaystyle f:M\times N\to G}$$$${\displaystyle {\tilde {f}}:M\otimes _{R}N\to G}$$$${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \otimes =f.}$$

Как и все универсальные свойства , указанное выше свойство определяет тензорное произведение однозначно с точностью до единственного изоморфизма: любая другая абелева группа и сбалансированное произведение с теми же свойствами будут изоморфны M ⊗ _RN и ⊗. Действительно, отображение ⊗ называется каноническим или, более явно: каноническим отображением (или сбалансированным произведением) тензорного произведения. ^[3]

Определение не доказывает существование M ⊗ _RN ; конструкцию см. ниже .

Тензорное произведение также можно определить как представляющий объект для функтора G → LR ₍ M , N ; G ) ; явно это означает, что существует естественный изоморфизм :$${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {L} _{R}(M,N;G)\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

Это краткий способ сформулировать свойство универсального отображения, приведенное выше. (Если априори задан этот естественный изоморфизм, то его можно восстановить, взяв и затем отобразив тождественное отображение.)${\displaystyle \otimes}$${\displaystyle G=M\otimes _{R}N}$

Аналогично, учитывая естественную идентификацию ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {L} _{R}(M,N;G)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G))}$ , ^[4] можно также определить M ⊗ RN _по формуле$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)).}$$

Это известно как тензорно-гомовое присоединение ; см. также § Свойства.

Для каждого x в M , y в N , записывается

для образа ( x , y ) при каноническом отображении ⁠ ⁠${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$ . Его часто называют чистым тензором . Строго говоря, правильное обозначение было бы x ⊗ _R y , но здесь принято опускать R . Тогда, сразу из определения, есть соотношения:

Универсальное свойство тензорного произведения имеет следующее важное следствие:

Доказательство: Для первого утверждения пусть L будет подгруппой , порожденной элементами рассматриваемой формы, а q — фактор-отображением в Q . Имеем: а также ⁠ ⁠ . Следовательно, по части уникальности универсального свойства q = 0. Второе утверждение заключается в том, что для определения гомоморфизма модуля достаточно определить его на порождающем множестве модуля.${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle Q=(M\otimes _{R}N)/L}$${\displaystyle 0=q\circ \otimes }$${\displaystyle 0=0\circ \otimes }$${\displaystyle \квадрат}$

На практике иногда сложнее показать, что тензорное произведение R -модулей отлично от нуля, чем показать, что оно равно 0. Универсальное свойство дает удобный способ проверки этого. ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Чтобы проверить, что тензорное произведение не равно нулю, можно построить R -билинейную карту в абелеву группу, такую, что ⁠ ⁠ . Это работает, потому что если ⁠ ⁠ , то ⁠ ⁠ .${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle f:M\times N\rightarrow G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f(m,n)\neq 0}$${\displaystyle m\otimes n=0}$${\displaystyle f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0}$

Например, чтобы увидеть, что ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes _{Z} \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ , не равно нулю, возьмем и ⁠ ⁠ . Это говорит о том, что чистые тензоры до тех пор, пока не равно нулю в ⁠ ⁠ .${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle (m,n)\mapsto mn}$${\displaystyle m\otimes n\neq 0}$${\displaystyle mn}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Предложение гласит, что можно работать с явными элементами тензорных произведений вместо того, чтобы каждый раз напрямую ссылаться на универсальное свойство. Это очень удобно на практике. Например, если R коммутативно, а левое и правое действия R на модулях считаются эквивалентными, то может быть естественным образом снабжено R -скалярным умножением, расширяясь на целое с помощью предыдущего предложения (строго говоря, нужна бимодульная структура, а не коммутативность; см. абзац ниже). Оснащенный этой R -модульной структурой, удовлетворяет универсальному свойству, аналогичному приведенному выше: для любого R -модуля G существует естественный изоморфизм:${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$${\displaystyle r\cdot (x\otimes y):=(r\cdot x)\otimes y=x\otimes (r\cdot y)}$$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,G)\simeq \{R{\text{-билинейные отображения}}M\times N\to G\},\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

Если R не обязательно коммутативно, но если M имеет левое действие кольцом S (например, R ), то можно задать структуру левого S -модуля, как выше, по формуле${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$${\displaystyle s\cdot (x\otimes y):=(s\cdot x)\otimes y.}$$

Аналогично, если N имеет правое действие кольцом S , то становится правым S -модулем.${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Для данных линейных отображений правых модулей над кольцом R и левых модулей существует единственный групповой гомоморфизм${\displaystyle f:M\to M'}$${\displaystyle g:N\to N'}$$${\displaystyle {\begin{cases}f\otimes g:M\otimes _{R}N\to M'\otimes _{R}N'\\x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y)\end{cases}}}$$

Следствием этой конструкции является то, что тензорное умножение является функтором: каждый правый R -модуль M определяет функтор из категории левых модулей в категорию абелевых групп, который переводит N в M ⊗ N , а гомоморфизм модулей f в гомоморфизм групп 1 ⊗ f .$${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow {\text{Ab}}}$$

Если — кольцевой гомоморфизм и если M — правый S -модуль, а N — левый S -модуль, то существует канонический сюръективный гомоморфизм: индуцированный ^[5]${\displaystyle f:R\to S}$$${\displaystyle M\otimes _{R}N\to M\otimes _{S}N}$$$${\displaystyle M\times N{\overset {\otimes _{S}}{\longrightarrow }}M\otimes _{S}N.}$$

Полученное отображение сюръективно, поскольку чистые тензоры x ⊗ y порождают весь модуль. В частности, если взять R как это, то каждое тензорное произведение модулей является частным тензорного произведения абелевых групп.${\displaystyle \mathbb {Z} }$

(Этот раздел необходимо обновить. На данный момент см. § Свойства для более общего обсуждения.)

Можно расширить определение до тензорного произведения любого числа модулей над тем же коммутативным кольцом. Например, универсальное свойство

заключается в том, что каждая трилинейная карта на

соответствует уникальному линейному отображению

Бинарное тензорное произведение ассоциативно: ( M ₁ ⊗ M ₂ ) ⊗ M ₃ естественно изоморфно M ₁ ⊗ ( M ₂ ⊗ M ₃ ). Тензорное произведение трех модулей, определенное универсальным свойством трилинейных отображений, изоморфно обоим этим итерированным тензорным произведениям.

Пусть R ₁ , R ₂ , R ₃ , R — кольца, не обязательно коммутативные.

• Для R ₁ - R ₂ - бимодуля M ₁₂ и левого R ₂ -модуля M ₂₀ , является левым R ₁ -модулем.${\displaystyle M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}}$
• Для правого R ₂ -модуля M ₀₂ и R ₂ - R ₃ -бимодуля M ₂₃ , является правым R ₃ -модулем.${\displaystyle M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}}$
• (ассоциативность) Для правого R ₁ -модуля M ₀₁ , R ₁ - R ₂ -бимодуля M ₁₂ и левого R ₂ -модуля M ₂₀ имеем: ^[6] $${\displaystyle \left(M_{01}\otimes _{R_{1}}M_{12}\right)\otimes _{R_{2}}M_{20}=M_{01}\otimes _{R_{1}}\left(M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}\right).}$$
• Так как R является R - R -бимодулем, то в качестве его канонического сбалансированного произведения мы имеем кольцевое умножение .${\displaystyle R\otimes _{R}R=R}$${\displaystyle mn=:m\otimes _{R}n}$

Пусть R — коммутативное кольцо, а M , N и P — R -модули. Тогда

Личность

$${\displaystyle R\otimes _{R}M=M.}$$

Ассоциативность

$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).}$$ Первые три свойства (плюс тождества на морфизмах) говорят, что категория R -модулей, с R коммутативным, образует симметричную моноидальную категорию . Таким образом, это корректно определено.${\displaystyle M\otimes _{R}N\otimes _{R}P}$

Симметрия

$${\displaystyle M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.}$$На самом деле, для любой перестановки σ множества {1, ..., n } существует единственный изоморфизм:$${\displaystyle {\begin{cases}M_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{n}\longrightarrow M_{\sigma (1)}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{\sigma (n)}\\x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\longmapsto x_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes x_{\sigma (n)}\end{cases}}}$$

Распределение по прямым суммам

$${\displaystyle M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).}$$Фактически, для индексного множества I произвольной мощности . Поскольку конечные произведения совпадают с конечными прямыми суммами, это подразумевает:$${\displaystyle M\otimes _{R}\left(\bigoplus \nolimits _{i\in I}N_{i}\right)=\bigoplus \nolimits _{i\in I}\left(M\otimes _{R}N_{i}\right),}$$

• Распределение по конечным продуктам

  Для любого конечного числа ,${\displaystyle N_{i}}$$${\displaystyle M\otimes _{R}\prod _{i=1}^{n}N_{i}=\prod _{i=1}^{n}M\otimes _{R}N_{i}.}$$

Расширение базы

Если S является R -алгеброй, то запись , ^[7] см. § Расширение скаляров. Следствие:${\displaystyle -_{S}=S\otimes _{R}-}$$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)_{S}=M_{S}\otimes _{S}N_{S};}$$

• Распределение по локализации

  Для любого мультипликативно замкнутого подмножества S из R , как -модуля. Поскольку является R -алгеброй и , это частный случай:$${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)=S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-}$

Коммутация с прямыми пределами

Для любой прямой системы R -модулей M _i ,$${\displaystyle (\varinjlim M_{i})\otimes _{R}N=\varinjlim (M_{i}\otimes _{R}N).}$$

Присоединение

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{R}(N,P)){\text{.}}}$$ Следствием этого является:

• Право-вымогательство

  Если — точная последовательность R -модулей, то — точная последовательность R -модулей, где$${\displaystyle 0\to N'{\overset {f}{\to }}N{\overset {g}{\to }}N''\to 0}$$$${\displaystyle M\otimes _{R}N'{\overset {1\otimes f}{\to }}M\otimes _{R}N{\overset {1\otimes g}{\to }}M\otimes _{R}N''\to 0}$$${\displaystyle (1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).}$

Тензорно-гомовая связь

Существует каноническое R -линейное отображение: , которое является изоморфизмом, если M или P является конечно порождённым проективным модулем (см. § Как отображения, сохраняющие линейность, для некоммутативного случая); ^[8] в более общем случае существует каноническое R -линейное отображение: , которое является изоморфизмом, если M или P является парой конечно порождённых проективных модулей.$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes P\to \operatorname {Hom} _{R}(M,N\otimes P),}$$$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes \operatorname {Hom} _{R}(M',N')\to \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes M',N\otimes N')}$$${\displaystyle (M,N)}$${\displaystyle (M,M')}$

Чтобы привести практический пример, предположим, что M , N — свободные модули с базисами и . Тогда M — прямая сумма и то же самое для N . По свойству дистрибутивности имеем: т.е. являются R -базисом . Даже если M не является свободным, свободное представление M может быть использовано для вычисления тензорных произведений.${\displaystyle e_{i},i\in I}$${\displaystyle f_{j},j\in J}$ ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}Re_{i}}$$${\displaystyle M\otimes _{R}N=\bigoplus _{i,j}R(e_{i}\otimes f_{j});}$$${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j},\,i\in I,j\in J}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Тензорное произведение, в общем случае, не коммутирует с обратным пределом : с одной стороны, (ср. "примеры"). С другой стороны, где — кольцо целых p-адических чисел и поле целых p-адических чисел . См. также " проконечное целое число " для примера в похожем духе.$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /p^{n}=0}$$$${\displaystyle \left(\varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\left[p^{-1}\right]=\mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$

Если R не коммутативен, порядок тензорных произведений может иметь значение следующим образом: мы «используем» правое действие M и левое действие N для формирования тензорного произведения ⁠ ⁠${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ; в частности, даже не будет определено. Если M , N являются бимодулями, то имеет левое действие, исходящее из левого действия M , и правое действие, исходящее из правого действия N ; эти действия не обязательно должны быть такими же, как левое и правое действия ⁠ ⁠ .${\displaystyle N\otimes _{R}M}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle N\otimes _{R}M}$

Ассоциативность имеет место в более общем случае для некоммутативных колец: если M — правый R -модуль, N — ( R , S ) -модуль, а P — левый S -модуль, то как абелева группа.$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{S}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{S}P)}$$

Общая форма сопряженного отношения тензорных произведений гласит: если R не обязательно коммутативно, M — правый R -модуль, N — ( R , S )-модуль, P — правый S -модуль, то как абелева группа ^[9] где задается соотношением ⁠ ⁠ .$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{S}(N,P)),\,f\mapsto f'}$$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'(x)(y)=f(x\otimes y)}$

Пусть R — область целостности с полем дробей K.

• Для любого R -модуля M , как R -модуля, где — подмодуль кручения M .${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong K\otimes _{R}(M/M_{\operatorname {tor} })}$${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }}$
• Если M является торсионным R -модулем, то , а если M не является торсионным модулем, то ⁠ ⁠ .${\displaystyle K\otimes _{R}M=0}$${\displaystyle K\otimes _{R}M\neq 0}$
• Если N — подмодуль M , такой что — модуль кручения, то в качестве R -модулей будем использовать ⁠ ⁠ .${\displaystyle M/N}$${\displaystyle K\otimes _{R}N\cong K\otimes _{R}M}$${\displaystyle x\otimes n\mapsto x\otimes n}$
• В ⁠ ⁠${\displaystyle K\otimes _{R}M}$ , тогда и только тогда, когда или ⁠ ⁠ . В частности, где ⁠ ⁠ .${\displaystyle x\otimes m=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle m\in M_{\operatorname {tor} }}$${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }=\operatorname {ker} (M\to K\otimes _{R}M)}$${\displaystyle m\mapsto 1\otimes m}$
• ${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong M_{(0)}}$где — локализация модуля в простом идеале (т.е. локализация относительно ненулевых элементов).${\displaystyle M_{(0)}}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle (0)}$

Сопряженное отношение в общем виде имеет важный частный случай: для любой R -алгебры S , M - правого R -модуля, P - правого S -модуля, используя ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-}$ , мы имеем естественный изоморфизм:$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}S,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Res} _{R}(P)).}$$

Это говорит о том, что функтор является левым сопряженным к забывающему функтору ⁠ ⁠ , который ограничивает S -действие до R -действия. Из-за этого часто называется расширением скаляров с R на S . В теории представлений , когда R , S являются групповыми алгебрами, указанное выше отношение становится взаимностью Фробениуса .${\displaystyle -\otimes _{R}S}$${\displaystyle \operatorname {Res} _{R}}$${\displaystyle -\otimes _{R}S}$

• ⁠ ⁠${\displaystyle R^{n}\otimes _{R}S=S^{n}}$ , для любой R -алгебры S (т.е. свободный модуль остается свободным после расширения скаляров.)
• Для коммутативного кольца и коммутативной R -алгебры S имеем: фактически, в более общем случае, где — идеал.${\displaystyle R}$$${\displaystyle S\otimes _{R}R[x_{1},\dots ,x_{n}]=S[x_{1},\dots ,x_{n}];}$$$${\displaystyle S\otimes _{R}(R[x_{1},\dots ,x_{n}]/I)=S[x_{1},\dots ,x_{n}]/IS[x_{1},\dots ,x_{n}],}$$${\displaystyle I}$
• Используя предыдущий пример${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$ и китайскую теорему об остатках , мы имеем кольца Это дает пример, когда тензорное произведение является прямым произведением .$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathbb {C} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {C} [x]/(x+i)\times \mathbb {C} [x]/(x-i)=\mathbb {C} ^{2}.}$$
• ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [i]=\mathbb {R} [i]=\mathbb {C} }$ .

Структура тензорного произведения вполне обычных модулей может быть непредсказуемой.

Пусть G — абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок (то есть G — абелева группа кручения ; например, G может быть конечной абелевой группой или ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ). Тогда: ^[10]$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G=0.}$$

Действительно, любой имеет вид${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G}$$${\displaystyle x=\sum _{i}r_{i}\otimes g_{i},\qquad r_{i}\in \mathbb {Q} ,g_{i}\in G.}$$

Если это порядок ⁠ ⁠ , то мы вычисляем:${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$$${\displaystyle x=\sum (r_{i}/n_{i})n_{i}\otimes g_{i}=\sum r_{i}/n_{i}\otimes n_{i}g_{i}=0.}$$

Аналогично, можно увидеть$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =0.}$$

Вот некоторые тождества, полезные для вычислений: Пусть R — коммутативное кольцо, I , J — идеалы, M , N — R -модули. Тогда

1. ⁠ ⁠${\displaystyle R/I\otimes _{R}M=M/IM}$ . Если M плоский , ⁠ ⁠ . ^{[доказательство 1} ]${\displaystyle IM=I\otimes _{R}M}$
2. ${\displaystyle M/IM\otimes _{R/I}N/IN=M\otimes _{R}N\otimes _{R}R/I}$(потому что тензорное преобразование коммутирует с базовыми расширениями)
3. ⁠ ⁠${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)}$ . ^{[доказательство 2]}

Пример: Если G — абелева группа, ⁠ ⁠${\displaystyle G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG}$ ; это следует из 1.

Пример: ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}}$ ; это следует из 3. В частности, для различных простых чисел p , q ,$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} =0.}$$

Тензорные произведения можно применять для управления порядком элементов групп. Пусть G — абелева группа. Тогда кратные 2 в равны нулю.$${\displaystyle G\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$$

Пример: Пусть будет группой корней n-й степени из единицы. Это циклическая группа , а циклические группы классифицируются по порядкам. Таким образом, неканонически, и таким образом, когда g является наибольшим общим делителем n и m ,${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle \mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n}$$${\displaystyle \mu _{n}\otimes _{\mathbb {Z} }\mu _{m}\approx \mu _{g}.}$$

Пример: Рассмотрим ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ . Так как получается из наложением -линейности на середину, то мы имеем сюръекцию , ядро ​​которой генерируется элементами вида где r , s , x , u являются целыми числами, а s не равно нулю. Так как ядро ​​фактически исчезает; следовательно, ⁠ ⁠ .${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$$${\displaystyle {r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y}$$${\displaystyle {r \over s}x\otimes y={r \over s}x\otimes {s \over s}y=x\otimes {r \over s}y,}$$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} }$

Однако рассмотрим и ⁠ ⁠ . Как -векторное пространство, имеет размерность 4, но имеет размерность 2. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

Таким образом, и не изоморфны. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

Пример: Мы предлагаем сравнить и ⁠ ⁠ . Как и в предыдущем примере, мы имеем: как абелева группа и, таким образом, как ⁠ ⁠ -векторное пространство (любое -линейное отображение между -векторными пространствами является -линейным). Как -векторное пространство, имеет размерность (мощность базиса) континуума . Следовательно, имеет -базис, индексированный произведением континуумов; таким образом, его -размерность равна континууму. Следовательно, по причине размерности, существует неканонический изоморфизм -векторных пространств:${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \approx \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} .}$$

Рассмотрим модули для неприводимых многочленов, таких что ⁠ ⁠ . Тогда,${\displaystyle M=\mathbb {C} [x,y,z]/(f),N=\mathbb {C} [x,y,z]/(g)}$${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$${\displaystyle \gcd(f,g)=1}$$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,z]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}}$$

Другое полезное семейство примеров возникает из-за изменения скаляров. Обратите внимание, что$${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\otimes _{\mathbb {Z} }R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}}$$

Хорошими примерами этого явления являются случаи, когда ⁠ ⁠${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$ .

Конструкция M ⊗ N берет фактор свободной абелевой группы с базисом в виде символов m ∗ n , используемых здесь для обозначения упорядоченной пары ( m , n ) , для m из M и n из N по подгруппе, порожденной всеми элементами вида

1. − м ∗ ( п + п ′) + м ∗ п + м ∗ п ′
2. −( м + м ′) ∗ н + м ∗ н + м ′ ∗ н
3. ( м · р ) ∗ н − м ∗ ( р · н )

где m , m ′ в M , n , n ′ в N , и r в R . Фактор-отображение, которое переводит m ∗ n = ( m , n ) в смежный класс, содержащий m ∗ n ; то есть является сбалансированным, и подгруппа была выбрана минимально, так что это отображение является сбалансированным. Универсальное свойство ⊗ следует из универсальных свойств свободной абелевой группы и фактора.$${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N,\,(m,n)\mapsto [m*n]}$$

Если S — подкольцо кольца R , то — фактор-группа по подгруппе, порожденной , где — образ под ⁠ ⁠ . В частности, любое тензорное произведение R -модулей может быть построено, если это необходимо, как фактор тензорного произведения абелевых групп, налагая свойство R -сбалансированного произведения.${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle M\otimes _{S}N}$${\displaystyle xr\otimes _{S}y-x\otimes _{S}ry,\,r\in R,x\in M,y\in N}$${\displaystyle x\otimes _{S}y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{S}N}$

Более категорно-теоретически, пусть σ будет заданным правым действием R на M ; т. е. σ( m , r ) = m · r и τ — левым действием R на N. Тогда, при условии, что тензорное произведение абелевых групп уже определено, тензорное произведение M и N над R можно определить как соуравнитель : где без нижнего индекса относится к тензорному произведению абелевых групп.$${\displaystyle M\otimes R\otimes N{{{} \atop {\overset {\sigma \times 1}{\to }}} \atop {{\underset {1\times \tau }{\to }} \atop {}}}M\otimes N\to M\otimes _{R}N}$$${\displaystyle \otimes }$

При построении тензорного произведения над коммутативным кольцом R структура R -модуля может быть построена с самого начала путем формирования фактора свободного R -модуля по подмодулю, порожденному элементами, указанными выше для общей конструкции, дополненными элементами r ⋅ ( m ∗ n ) − m ∗ ( r ⋅ n ) . С другой стороны, общая конструкция может быть задана структурой Z( R )-модуля, путем определения скалярного действия с помощью r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n ), когда это хорошо определено, что в точности соответствует r ∈ Z( R ) , центру R .

Прямое произведение M и N редко изоморфно тензорному произведению M и N. Когда R не является коммутативным, то тензорное произведение требует, чтобы M и N были модулями на противоположных сторонах, в то время как прямое произведение требует, чтобы они были модулями на одной стороне. Во всех случаях единственная функция из M × N в G , которая является как линейной, так и билинейной, — это нулевое отображение.

В общем случае не все свойства тензорного произведения векторных пространств распространяются на модули. Тем не менее, некоторые полезные свойства тензорного произведения, рассматриваемого как гомоморфизмы модулей , сохраняются.

Двойственный модуль правого R -модуля E определяется как Hom _R ( E , R ) с канонической структурой левого R -модуля и обозначается E ^∗ . ^[11] Каноническая структура - это поточечные операции сложения и скалярного умножения. Таким образом, E ^∗ - это множество всех R -линейных отображений E → R (также называемых линейными формами ), с операциями Двойственный к левому R -модулю определяется аналогично, с теми же обозначениями.$${\displaystyle (\phi +\psi )(u)=\phi (u)+\psi (u),\quad \phi ,\psi \in E^{*},u\in E}$$$${\displaystyle (r\cdot \phi )(u)=r\cdot \phi (u),\quad \phi \in E^{*},u\in E,r\in R,}$$

Всегда существует канонический гомоморфизм E → E ^∗∗ из E во второй его дуальный модуль. Это изоморфизм, если E — свободный модуль конечного ранга. В общем случае E называется рефлексивным модулем , если канонический гомоморфизм является изоморфизмом.

Обозначим естественное спаривание его двойственного E ^∗ и правого R -модуля E , или левого R -модуля F и его двойственного F ^∗ как Спаривание является левым R -линейным по своему левому аргументу и правым R -линейным по своему правому аргументу:$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E^{*}\times E\to R:(e',e)\mapsto \langle e',e\rangle =e'(e)}$$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :F\times F^{*}\to R:(f,f')\mapsto \langle f,f'\rangle =f'(f).}$$$${\displaystyle \langle r\cdot g,h\cdot s\rangle =r\cdot \langle g,h\rangle \cdot s,\quad r,s\in R.}$$

В общем случае каждый элемент тензорного произведения модулей порождает левое R -линейное отображение, правое R -линейное отображение и R -билинейную форму. В отличие от коммутативного случая, в общем случае тензорное произведение не является R -модулем и, таким образом, не поддерживает скалярное умножение.

• Для данного правого R -модуля E и правого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ  : F ⊗ _R E ^∗ → Hom _R ( E , F ) такой, что θ ( f ⊗ e ′) является отображением e ↦ f ⋅ ⟨ e ′, e ⟩ . ^[12]
• Для левого R -модуля E и правого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ  : F ⊗ _R E → Hom _R ( E ^∗ , F ) такой, что θ ( f ⊗ e ) является отображением e ′ ↦ f ⋅ ⟨ e , e ′⟩ . ^[13]

Оба случая справедливы для общих модулей и становятся изоморфизмами, если модули E и F ограничены конечно порожденными проективными модулями (в частности, свободными модулями конечных рангов). Таким образом, элемент тензорного произведения модулей над кольцом R канонически отображается на R -линейное отображение, хотя, как и в случае векторных пространств, к модулям применяются ограничения, чтобы это было эквивалентно полному пространству таких линейных отображений.

• Для данного правого R -модуля E и левого R -модуля F существует канонический гомоморфизм θ  : F ^∗ ⊗ _R E ^∗ → L _R ( F × E , R ) такой, что θ ( f ′ ⊗ e ′) является отображением ( f , e ) ↦ ⟨ f , f ′⟩ ⋅ ⟨ e ′, e ⟩ . ^{[ необходима цитата ]} Таким образом, элемент тензорного произведения ξ ∈ F ^∗ ⊗ _R E ^∗ можно рассматривать как порождающий или действующий как R -билинейное отображение F × E → R .

Пусть R — коммутативное кольцо, а E — R - модуль . Тогда существует каноническое R -линейное отображение: индуцированное через линейность ⁠ ⁠ ; это единственное R -линейное отображение, соответствующее естественному спариванию.$${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E\to R}$$${\displaystyle \phi \otimes x\mapsto \phi (x)}$

Если E — конечно порождённый проективный R -модуль, то его можно идентифицировать с помощью канонического гомоморфизма, упомянутого выше, и тогда вышеприведённое является отображением следа :${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)}$$${\displaystyle \operatorname {tr} :\operatorname {End} _{R}(E)\to R.}$$

Когда R — поле, это обычный след линейного преобразования.

Наиболее ярким примером тензорного произведения модулей в дифференциальной геометрии является тензорное произведение пространств векторных полей и дифференциальных форм. Точнее, если R — (коммутативное) кольцо гладких функций на гладком многообразии M , то следует написать , где Γ означает пространство сечений , а верхний индекс означает тензор p раз по R. По определению, элемент из — это тензорное поле типа ( p , q ).$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}=\Gamma (M,TM)^{\otimes p}\otimes _{R}\Gamma (M,T^{*}M)^{\otimes q}}$$${\displaystyle \otimes p}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$

Как R -модуль, является двойственным модулем ⁠ ⁠ . ^[14]${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{p}^{q}}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$

Чтобы облегчить запись, поместим и так ⁠ ⁠ . ^[15] Когда p , q ≥ 1, для каждого ( k , l ) с 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ q , существует R -мультилинейное отображение: где означает , а шляпа означает, что термин опущен. По универсальному свойству это соответствует уникальному R -линейному отображению:${\displaystyle E=\Gamma (M,TM)}$${\displaystyle E^{*}=\Gamma (M,T^{*}M)}$$${\displaystyle E^{p}\times {E^{*}}^{q}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1},\,(X_{1},\dots ,X_{p},\omega _{1},\dots ,\omega _{q})\mapsto \langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots \otimes {\widehat {X_{l}}}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\otimes \cdots \otimes \omega _{q}}$$${\displaystyle E^{p}}$${\displaystyle \prod _{1}^{p}E}$$${\displaystyle C_{l}^{k}:{\mathfrak {T}}_{q}^{p}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1}.}$$

Это называется сверткой тензоров в индексе ( k , l ). Разворачивая то, что говорит универсальное свойство, видим:$${\displaystyle C_{l}^{k}(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots \otimes \omega _{q})=\langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots {\widehat {X_{l}}}\cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\cdots \otimes \omega _{q}.}$$

Замечание : Предыдущее обсуждение является стандартным в учебниках по дифференциальной геометрии (например, Helgason). В некотором смысле, конструкция теории пучков (т. е. язык пучка модулей ) является более естественной и все более распространенной; для этого см. раздел § Тензорное произведение пучков модулей.

В общем случае — это бифунктор , который принимает на вход правую и левую пару R- модулей и присваивает их тензорному произведению в категории абелевых групп .$${\displaystyle -\otimes _{R}-:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$

При фиксации правого R- модуля M возникает функтор , и симметрично можно зафиксировать левый R- модуль N , чтобы создать функтор $${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$$${\displaystyle -\otimes _{R}N:{\text{Mod-}}R\longrightarrow \mathrm {Ab} .}$$

В отличие от бифунктора Hom, тензорный функтор ковариантен по обоим входам.${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,-),}$

Можно показать, что и всегда являются точными справа функторами , но не обязательно точными слева ( ⁠ ⁠ , где первое отображение — умножение на ⁠ ⁠ , является точным, но не после взятия тензора с ). По определению, модуль T является плоским модулем , если — точный функтор.${\displaystyle M\otimes _{R}-}$${\displaystyle -\otimes _{R}N}$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{n}\to 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle T\otimes _{R}-}$

Если и являются порождающими множествами для M и N , соответственно, то будет порождающим множеством для Поскольку тензорный функтор иногда не может быть точным слева, это может не быть минимальным порождающим множеством, даже если исходные порождающие множества минимальны. Если M является плоским модулем , функтор является точным по самому определению плоского модуля. Если тензорные произведения берутся над полем F , мы находимся в случае векторных пространств, как указано выше. Поскольку все модули F являются плоскими, бифунктор является точным в обеих позициях, а два заданных порождающих множества являются базисами, то действительно образует базис для ⁠ ⁠ .${\displaystyle \{m_{i}\mid i\in I\}}$${\displaystyle \{n_{j}\mid j\in J\}}$${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$${\displaystyle M\otimes _{R}N.}$${\displaystyle M\otimes _{R}-}$${\displaystyle M\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle -\otimes _{R}-}$${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$${\displaystyle M\otimes _{F}N}$

This – whole paragraph at the end is confusing. Also it seems to repeat what is already mentioned earlier. may be confusing or unclear to readers. Please help clarify the – whole paragraph at the end is confusing. Also it seems to repeat what is already mentioned earlier.. There might be a discussion about this on the talk page. (July 2022) (Learn how and when to remove this message)

Если S и T являются коммутативными R -алгебрами, то, аналогично #For эквивалентных модулей, S ⊗ _R T также будет коммутативной R -алгеброй с отображением умножения, определяемым как ( m ₁ ⊗ m ₂ ) ( n ₁ ⊗ n ₂ ) = ( m ₁ n ₁ ⊗ m ₂ n ₂ ) и расширенным по линейности. В этой настройке тензорное произведение становится расслоенным копроизведением в категории коммутативных R -алгебр. (Но оно не является копроизведением в категории R -алгебр.)

Если M и N являются R -модулями над коммутативным кольцом, то их тензорное произведение снова является R -модулем. Если R - кольцо, то _R M - левый R -модуль, а коммутатор

из любых двух элементов r и s из R находится в аннуляторе M , то мы можем превратить M в правый модуль R, установив

Действие R на M факторизуется через действие факторкоммутативного кольца. В этом случае тензорное произведение M на себя над R снова является R -модулем. Это очень распространенный прием в коммутативной алгебре.

Если X , Y являются комплексами R -модулей ( R — коммутативное кольцо), то их тензорное произведение — это комплекс, заданный выражением с дифференциалом, заданным выражением: для x в X _i и y в Y _j , ^[16]$${\displaystyle (X\otimes _{R}Y)_{n}=\sum _{i+j=n}X_{i}\otimes _{R}Y_{j},}$$$${\displaystyle d_{X\otimes Y}(x\otimes y)=d_{X}(x)\otimes y+(-1)^{i}x\otimes d_{Y}(y).}$$

Например, если C — цепной комплекс плоских абелевых групп, а G — абелева группа, то группа гомологий является группой гомологий C с коэффициентами в G (см. также: теорема об универсальных коэффициентах ).${\displaystyle C\otimes _{\mathbb {Z} }G}$

Тензорное произведение пучков модулей — это пучок, связанный с предпучком тензорных произведений модулей сечений над открытыми подмножествами.

В этой настройке, например, можно определить тензорное поле на гладком многообразии M как (глобальное или локальное) сечение тензорного произведения (называемого тензорным расслоением ), где O — пучок колец гладких функций на M , а расслоения рассматриваются как локально свободные пучки на M. ^[17 ]$${\displaystyle (TM)^{\otimes p}\otimes _{O}(T^{*}M)^{\otimes q}}$$${\displaystyle TM,T^{*}M}$

Внешнее расслоение на M является подрасслоением тензорного расслоения, состоящего из всех антисимметричных ковариантных тензоров. Сечения внешнего расслоения являются дифференциальными формами на M.

Один важный случай, когда образуется тензорное произведение над пучком некоммутативных колец, появляется в теории D -модулей ; то есть тензорные произведения над пучком дифференциальных операторов .

• функтор Tor
• Тензорное произведение алгебр
• Тензорное произведение полей
• Производное тензорное произведение
• Теорема Эйленберга–Уоттса

• Бурбаки, Алгебра
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, Группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
• Норткотт, Д.Г. (1984), Полилинейная алгебра , Cambridge University Press, ISBN 613-0-04808-4.
• Хазевинкель, Михель ; Губарени Надежда Михайловна; Губарени, Надежда; Кириченко, Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4.
• Мэй, Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета.