Гиперконус
4-х мерная фигура
Стереографическая проекция образующих линий сферического конуса (красные), параллелей (зеленые) и гипермеридианов (синие). Благодаря конформному свойству стереографической проекции кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые являются окружностями или прямыми. Образующие и параллели создают 3D-двойной конус. Гипермеридианы создают набор концентрических сфер.

В геометрии гиперконус (или сферический конус ) — это фигура в 4-мерном евклидовом пространстве, представленная уравнением

х 2 + у 2 + з 2 − ж 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-w^{2}=0.}

Это квадратичная поверхность, и это одно из возможных 3- многообразий , которые являются 4-мерными эквивалентами конической поверхности в 3 измерениях. Его также называют «сферическим конусом», потому что его пересечения с гиперплоскостями, перпендикулярными оси w , являются сферами . Четырехмерный прямой гиперконус можно рассматривать как сферу, которая расширяется со временем, начиная свое расширение из одного точечного источника, так что центр расширяющейся сферы остается неподвижным. Наклонный гиперконус был бы сферой, которая расширяется со временем, снова начиная свое расширение из точечного источника, но так, что центр расширяющейся сферы движется с равномерной скоростью.

Параметрическая форма

Прямой сферический гиперконус можно описать функцией

σ → ( ϕ , θ , т ) = ( т с потому что ⁡ θ потому что ⁡ ϕ , т с потому что ⁡ θ грех ⁡ ϕ , т с грех ⁡ θ , т ) {\displaystyle {\vec {\sigma }}(\phi,\theta,t)=(ts\cos \theta \cos \phi,ts\cos \theta \sin \phi,ts\sin \theta,t)}

с вершиной в начале координат и скоростью расширения s .

Прямой сферический гиперконус радиусом r и высотой h можно описать функцией

σ → ( ϕ , θ , т ) = ( т потому что ⁡ ϕ грех ⁡ θ , т грех ⁡ ϕ грех ⁡ θ , т потому что ⁡ θ , час г т ) {\displaystyle {\vec {\sigma }}(\phi ,\theta ,t)=\left(t\cos \phi \sin \theta ,t\sin \phi \sin \theta ,t\cos \theta ,{\frac {h}{r}}t\right)}

Тогда наклонный сферический гиперконус можно было бы описать функцией

σ → ( ϕ , θ , т ) = ( в х т + т с потому что ⁡ θ потому что ⁡ ϕ , в у т + т с потому что ⁡ θ грех ⁡ ϕ , в з т + т с грех ⁡ θ , т ) {\displaystyle {\vec {\sigma }}(\phi,\theta,t)=(v_{x}t+ts\cos \theta \cos \phi,v_{y}t+ts\cos \theta \sin \phi,v_{z}t+ts\sin \theta,t)}

где - 3-скорость центра расширяющейся сферы. Примером такого конуса может служить расширяющаяся звуковая волна , наблюдаемая с точки зрения движущейся системы отсчета: например, звуковая волна реактивного самолета, наблюдаемая с собственной системы отсчета реактивного самолета. ( в х , в у , в з ) {\displaystyle (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}

Обратите внимание, что трехмерные поверхности выше охватывают четырехмерные гиперобъемы , которые представляют собой собственно четырехконусы.

Геометрическая интерпретация

Сферический конус состоит из двух неограниченных граней , которые встречаются в начале координат и являются аналогами граней трехмерной конической поверхности. Верхняя грань соответствует половине с положительными w -координатами, а нижняя грань соответствует половине с отрицательными w -координатами.

Если он ограничен гиперплоскостями w  = 0 и w  =  r для некоторого ненулевого r , то он может быть замкнут 3-шаром радиуса r , с центром в точке (0,0,0, r ), так что он ограничивает конечный 4-мерный объем. Этот объем задается формулой ⁠1/3⁠ π r 4 , и является 4-мерным эквивалентом сплошного конуса . Шар можно рассматривать как «крышку» в основании лопасти 4-мерного конуса, а начало координат становится его «вершиной».

Эту форму можно спроецировать в трехмерное пространство различными способами. При проецировании на гиперплоскость xyz ее изображением будет шар . При проецировании на гиперплоскости xyw , xzw или yzw ее изображением будет сплошной конус . При проецировании на наклонную гиперплоскость ее изображением будет либо эллипсоид , либо сплошной конус с эллипсоидальным основанием (напоминающий рожок мороженого ). Эти изображения являются аналогами возможных изображений сплошного конуса, спроецированных в 2 измерения.

Строительство

(Половина) гиперконуса может быть построена способом, аналогичным построению трехмерного конуса. Трехмерный конус можно рассматривать как результат наложения друг на друга все более мелких дисков, пока они не сойдутся в точку. В качестве альтернативы трехмерный конус можно рассматривать как объем, выметаемый вертикальным равнобедренным треугольником при его вращении вокруг своего основания.

Четырехмерный гиперконус можно построить аналогичным образом: накладывая друг на друга все меньшие шары в четвертом направлении, пока они не сойдутся в точку, или взяв гиперобъем, охватываемый тетраэдром, стоящим вертикально в четвертом направлении и свободно вращающимся вокруг своего основания в трехмерной гиперплоскости, на которой он покоится.

Измерения

Гиперобъем

Гиперобъем четырехмерной пирамиды и конуса равен

ЧАС = 1 4 В час {\displaystyle H={\frac {1}{4}}Vh}

где V — объем основания, а h — высота (расстояние между центром основания и вершиной). Для сферического конуса с объемом основания , гиперобъем равен В = 4 3 π г 3 {\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}

ЧАС = 1 4 В час = 1 4 ( 4 3 π г 3 ) час = 1 3 π г 3 час {\displaystyle H={\frac {1}{4}}Vh={\frac {1}{4}}\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\right)h={\frac {1}{3}}\pi r^{3}h}

Объем поверхности

Объем боковой поверхности прямого сферического конуса равен , где — радиус сферического основания, а — наклонная высота конуса (расстояние между 2D поверхностью сферы и вершиной). Объем поверхности сферического основания такой же, как и для любой сферы, . Таким образом, полный объем поверхности прямого сферического конуса можно выразить следующими способами: Л С В = 4 3 π г 2 л {\textstyle LSV={\frac {4}{3}}\pi r^{2}l} г {\displaystyle r} л {\displaystyle л} 4 3 π г 3 {\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}

  • Радиус и высота

4 3 π г 3 + 4 3 π г 2 г 2 + час 2 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r^{2}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}

(объем основания плюс объем боковой трехмерной поверхности; термин - наклонная высота) г 2 + час 2 {\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}

4 3 π г 2 ( г + г 2 + час 2 ) {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}

где — радиус, — высота. г {\displaystyle r} час {\displaystyle ч}

  • Радиус и высота наклона

4 3 π г 3 + 4 3 π г 2 л {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}+{\frac {4}{3}}\pi r^{2}l}

4 3 π г 2 ( г + л ) {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{2}\left(r+l\right)}

где — радиус, — наклонная высота. r {\displaystyle r} l {\displaystyle l}

  • Площадь поверхности, радиус и высота наклона

1 3 A r + 1 3 A l {\displaystyle {\frac {1}{3}}Ar+{\frac {1}{3}}Al}

1 3 A ( r + l ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}A\left(r+l\right)}

где — площадь основания, — радиус, — наклонная высота. A {\displaystyle A} r {\displaystyle r} l {\displaystyle l}

Временная интерпретация

Если w -координату уравнения сферического конуса интерпретировать как расстояние ct , где t - координатное время , а c - скорость света (константа), то это форма светового конуса в специальной теории относительности . В этом случае уравнение обычно записывается как:

x 2 + y 2 + z 2 − ( c t ) 2 = 0 , {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}=0,}

что также является уравнением для сферических волновых фронтов света. [1] Верхняя струя тогда является будущим световым конусом , а нижняя струя - прошедшим световым конусом . [2]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ А. Халперн (1988). 3000 решенных задач по физике . Серия Шаума. Mc Graw Hill. стр. 689. ISBN 978-0-07-025734-4.
  2. ^ RG Lerner , GL Trigg (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство VHC. стр. 1054. ISBN 0-89573-752-3.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hypercone&oldid=1245593711"