Пространство присоединения

В математике пространство присоединения (или пространство присоединения ) — это распространенная конструкция в топологии , где одно топологическое пространство прикрепляется или «приклеивается» к другому. В частности, пусть X и Y — топологические пространства, а A — подпространство Y . Пусть f  : A → X — непрерывное отображение (называемое отображением присоединения ). Пространство присоединения X ∪ _f Y (иногда также записываемое как X + _f Y ) образуется путем взятия непересекающегося объединения X и Y и отождествления a с f ( a ) для всех a из A . Формально ,

${\displaystyle X\cup _{f}Y=(X\sqcup Y)/\sim }$

где отношение эквивалентности ~ порождается a ~ f ( a ) для всех a из A , а фактору задается топология фактора . Как множество, X ∪ _f Y состоит из несвязного объединения X и ( Y − A ). Топология, однако, задается конструкцией фактора.

Интуитивно можно представить себе, что Y приклеен к X посредством отображения f .

• Обычный пример пространства сопряжения дан, когда Y — замкнутый n - шар (или ячейка ), а A — граница шара, ( n −1) -сфера . Индуктивное присоединение ячеек вдоль их сферических границ к этому пространству приводит к примеру комплекса CW .
• Пространства сопряжения также используются для определения связанных сумм многообразий . Здесь сначала удаляются открытые шары из X и Y , а затем присоединяются границы удаленных шаров вдоль присоединяемой карты.
• Если A — пространство с одной точкой, то присоединение — это клиновидная сумма X и Y.
• Если X — пространство с одной точкой, то присоединение — это отношение Y / A.

Непрерывные отображения h  : X ∪ _f Y → Z находятся в однозначном соответствии с парами непрерывных отображений h _X  : X → Z и h _Y  : Y → Z , которые удовлетворяют h _X ( f ( a )) = h _Y ( a ) для всех a из A .

В случае, когда A — замкнутое подпространство Y, можно показать, что отображение X → X ∪ _f Y является замкнутым вложением , а ( Y − A ) → X ∪ _f Y — открытым вложением.

Присоединительная конструкция является примером pushout в категории топологических пространств . То есть, пространство присоединения универсально относительно следующей коммутативной диаграммы :

Здесь i — отображение включения , а Φ _X , Φ _Y — отображения, полученные путем составления факторного отображения с каноническими инъекциями в несвязное объединение X и Y . Можно сформировать более общее выталкивание, заменив i произвольным непрерывным отображением g — конструкция аналогична. Наоборот, если f также является включением, то прикрепляющая конструкция заключается в том, чтобы просто склеить X и Y вместе вдоль их общего подпространства.

• Факторное пространство
• Картографический цилиндр

• Стивен Уиллард, Общая топология , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Рединг, Массачусетс. (Содержит очень краткое введение.)
• «Пространство присоединения». PlanetMath .
• Рональд Браун , "Топология и группоиды" в формате pdf, (2006) доступно на сайтах Amazon. Обсуждает гомотопический тип пространств сопряжения и использует пространства сопряжения в качестве введения в (конечные) клеточные комплексы.
• JHC Whitehead «Note on a Theorem due to Borsuk» Bull AMS 54 (1948), 1125-1132 — самая ранняя известная мне внешняя ссылка, в которой используется термин «пространство присоединения».