Топологическая теория струн

Теория в теоретической физике

В теоретической физике топологическая теория струн является версией теории струн . Топологическая теория струн появилась в работах физиков-теоретиков, таких как Эдвард Виттен и Кумрун Вафа , по аналогии с более ранней идеей Виттена о топологической квантовой теории поля .

Обзор

Существуют две основные версии топологической теории струн: топологическая A-модель и топологическая B-модель. Результаты вычислений в топологической теории струн в общем кодируют все голоморфные величины в полной теории струн, значения которых защищены суперсимметрией пространства-времени . Различные вычисления в топологической теории струн тесно связаны с теорией Черна–Саймонса , инвариантами Громова–Виттена , зеркальной симметрией , геометрической программой Ленглендса и многими другими темами.

Операторы в топологической теории струн представляют собой алгебру операторов в полной теории струн, которые сохраняют определенное количество [необходимо разъяснение] суперсимметрии . Топологическая ^теория^струн^{получается} топологическим поворотом описания мировой поверхности обычной теории струн: операторам задаются различные спины. Операция полностью аналогична построению топологической теории поля , которая является родственной концепцией. Следовательно, в топологической теории струн нет локальных степеней свободы.

Допустимые пространства-времена

Фундаментальные струны теории струн являются двумерными поверхностями. Квантовая теория поля, известная как модель N = (1,1) сигма , определена на каждой поверхности. Эта теория состоит из отображений поверхности в супермногообразие . Физически супермногообразие интерпретируется как пространство-время , а каждое отображение интерпретируется как вложение струны в пространство-время.

Только специальные пространства-времена допускают топологические струны. Классически, нужно выбрать пространство-время таким образом, чтобы теория уважала дополнительную пару суперсимметрий ^{[ почему? ]} , делая пространство-время моделью N = (2,2) сигма ^{[ необходимо дальнейшее объяснение ]} . Частным случаем этого является случай, когда пространство-время является кэлеровым многообразием , а H-поток тождественно равен нулю. Обобщенные кэлеровы многообразия могут иметь нетривиальный H-поток.

Топологический поворот

Обычные струны на специальных фонах никогда не являются топологическими ^{[ почему? ]} . Чтобы сделать эти струны топологическими, нужно модифицировать сигма-модель с помощью процедуры, называемой топологическим поворотом, которая была изобретена Эдвардом Виттеном в 1988 году. Центральное наблюдение ^{[ требуется разъяснение ]} заключается в том, что эти ^{[ которые? ]} теории имеют две симметрии U(1), известные как R-симметрии , а симметрия Лоренца может быть модифицирована путем смешивания вращений и R-симметрий. Можно использовать любую из двух R-симметрий, что приводит к двум различным теориям, называемым моделью A и моделью B. После этого поворота действие теории становится BRST-точным ^{[ требуется дальнейшее объяснение ]} , и в результате теория не имеет динамики. Вместо этого все наблюдаемые зависят от топологии конфигурации. Такие теории известны как топологические теории.

Классически эта процедура всегда возможна. ^{[ необходимы дополнительные пояснения ]}

С точки зрения квантовой механики, симметрии U(1) могут быть аномальными , делая поворот невозможным. Например, в случае Кэлера с H = 0 ^{[ необходимо разъяснение ]} поворот, ведущий к A-модели, всегда возможен, но поворот, ведущий к B-модели, возможен только тогда, когда первый класс Черна пространства-времени обращается в нуль, подразумевая, что пространство-время является Калаби-Яу ^{[ необходимо разъяснение ]} . В более общем смысле теории (2,2) имеют две комплексные структуры , и модель B существует, когда первые классы Черна ассоциированных расслоений в сумме равны нулю, тогда как модель A существует, когда разность классов Черна равна нулю. В случае Кэлера две комплексные структуры одинаковы, поэтому разность всегда равна нулю, поэтому модель A всегда существует.

Нет никаких ограничений на число измерений пространства-времени, кроме того, что оно должно быть четным, поскольку пространство-время является обобщенным кэлеровым. Однако все корреляционные функции с мировыми листами, которые не являются сферами, исчезают, если только комплексное измерение пространства-времени не равно трем, и поэтому пространства-времена с комплексным измерением три являются наиболее интересными. Это удачно для феноменологии , поскольку феноменологические модели часто используют физическую теорию струн, компактифицированную на трехмерном комплексном пространстве. Топологическая теория струн не эквивалентна физической теории струн, даже на том же пространстве, но определенные ^{[ какие? ]} суперсимметричные величины согласуются в двух теориях.

Объекты

А-модель

Топологическая A-модель поставляется с целевым пространством, которое является 6-мерным обобщенным кэлеровым пространством-временем. В случае, когда пространство-время является кэлеровым, теория описывает два объекта. Существуют фундаментальные струны, которые обертывают две действительномерные голоморфные кривые. Амплитуды рассеяния этих струн зависят только от кэлеровой формы пространства-времени, а не от комплексной структуры. Классически эти корреляционные функции определяются когомологическим кольцом . Существуют квантово-механические инстантонные эффекты, которые исправляют их и дают инварианты Громова–Виттена , которые измеряют произведение чашек в деформированном когомологическом кольце, называемом квантовыми когомологиями . Теория струнного поля замкнутых струн A-модели известна как кэлерова гравитация и была введена Михаилом Бершадским и Владимиром Садовым в Теории кэлеровой гравитации.

Кроме того, существуют D2-браны, которые оборачивают лагранжевы подмногообразия пространства-времени. Это подмногообразия, размерность которых составляет половину размерности пространства-времени, и такие, что обратный откат кэлеровой формы к подмногообразию исчезает. Теория мирового объема на стеке из N D2-бран — это струнная полевая теория открытых струн A-модели, которая является U(N) теорией Черна–Саймонса .

Фундаментальные топологические струны могут заканчиваться на D2-бранах. В то время как вложение струны зависит только от кэлеровой формы, вложения бран полностью зависят от комплексной структуры. В частности, когда струна заканчивается на бране, пересечение всегда будет ортогональным, так как клиновое произведение кэлеровой формы и голоморфной 3-формы равно нулю. В физической струне это необходимо для устойчивости конфигурации, но здесь это свойство лагранжевых и голоморфных циклов на кэлеровом многообразии.

Также могут быть коизотропные браны в различных измерениях, отличных от половинных измерений лагранжевых подмногообразий . Они были впервые введены Антоном Капустиным и Дмитрием Орловым в Замечаниях об A-бранах, зеркальной симметрии и категории Фукая

B-модель

B-модель также содержит фундаментальные струны, но их амплитуды рассеяния полностью зависят от сложной структуры и не зависят от структуры Кэлера. В частности, они нечувствительны к эффектам инстантона мирового листа и поэтому часто могут быть вычислены точно. Зеркальная симметрия затем связывает их с амплитудами модели A, позволяя вычислять инварианты Громова–Виттена. Теория струнного поля замкнутых струн B-модели известна как теория гравитации Кодаиры–Спенсера и была разработана Майклом Бершадским, Серджио Чекотти , Хироси Огури и Кумруном Вафой в работе Кодаиры–Спенсера «Теория гравитации и точные результаты для квантовых амплитуд струн».

B-модель также поставляется с D(-1), D1, D3 и D5-бранами, которые оборачивают голоморфные 0, 2, 4 и 6-подмногообразия соответственно. 6-подмногообразие является связным компонентом пространства-времени. Теория на D5-бране известна как голоморфная теория Черна–Саймонса. Плотность лагранжиана является произведением клина обычной теории Черна–Саймонса с голоморфной (3,0)-формой, которая существует в случае Калаби–Яу. Плотности лагранжиана теорий на бранах меньшей размерности могут быть получены из голоморфной теории Черна–Саймонса с помощью размерных редукций.

Топологическая М-теория

Топологическая М-теория, которая имеет семимерное пространство-время, не является топологической теорией струн, поскольку не содержит топологических струн. Однако топологическая М-теория на расслоении окружности над 6-многообразием, как предполагалось, эквивалентна топологической А-модели на этом 6-многообразии.

В частности, D2-браны A-модели поднимаются до точек, в которых вырождается расслоение окружностей, или, точнее, монополи Калуцы–Клейна . Фундаментальные струны A-модели поднимаются до мембран, называемых M2-бранами в топологической M-теории.

Один особый случай, который привлек большой интерес, — это топологическая М-теория на пространстве с голономией G2 _и A-модель на Калаби–Яу. В этом случае М2-браны оборачивали ассоциативные 3-циклы. Строго говоря, топологическая гипотеза М-теории была выдвинута только в этом контексте, поскольку в этом случае функции, введенные Найджелом Хитчином в работах «Геометрия трехформ в шести и семи измерениях» и «Стабильные формы и специальные метрики», предоставляют кандидатное низкоэнергетическое эффективное действие.

Эти функции называются « функционалами Хитчина », а топологическая строка тесно связана с идеями Хитчина об обобщенной комплексной структуре , системе Хитчина , построении ADHM и т. д.

Наблюдаемые

Топологический поворот

Теория 2-мерного мирового листа является N = (2,2) суперсимметричной сигма-моделью , (2,2) суперсимметрия означает, что фермионные генераторы алгебры суперсимметрии , называемые суперзарядами, могут быть собраны в один спинор Дирака , который состоит из двух спиноров Майораны–Вейля каждой хиральности. Эта сигма-модель топологически скручена, что означает, что генераторы симметрии Лоренца , которые появляются в алгебре суперсимметрии, одновременно вращают физическое пространство-время, а также вращают фермионные направления посредством действия одной из R-симметрий . Группа R-симметрии 2-мерной N = (2,2) полевой теории равна U(1) × U(1), скручивания двумя различными факторами приводят к моделям A и B соответственно. Топологическая скрученная конструкция топологических теорий струн была введена Эдвардом Виттеном в его статье 1988 года. ^[1]

От чего зависят корреляторы?

Топологический поворот приводит к топологической теории, поскольку тензор энергии-импульса может быть записан как антикоммутатор суперзаряда и другого поля. Поскольку тензор энергии-импульса измеряет зависимость действия от метрического тензора , это подразумевает, что все корреляционные функции Q-инвариантных операторов не зависят от метрики. В этом смысле теория является топологической.

В более общем смысле, любой D-член в действии, который является любым членом, который может быть выражен как интеграл по всему суперпространству , является антикоммутатором суперзаряда и, таким образом, не влияет на топологические наблюдаемые. Еще в более общем смысле, в модели B любой член, который может быть записан как интеграл по фермионным координатам, не вносит вклада, тогда как в модели A любой член, который является интегралом по или по , не вносит вклада. Это подразумевает, что наблюдаемые модели A не зависят от суперпотенциала (так как он может быть записан как интеграл по просто ), но голоморфно зависят от скрученного суперпотенциала, и наоборот для модели B. ${\overline {\theta }}^{\pm }$ $\theta ^{-}$ ${\overline {\theta }}^{+}$ ${\overline {\theta }}^{\pm }$

Дуальности

Дуальности между TST

Ряд дуальностей связывают вышеуказанные теории. A-модель и B-модель на двух зеркальных многообразиях связаны зеркальной симметрией , которая была описана как T-дуальность на трех-торе. Предполагается, что A-модель и B-модель на одном и том же многообразии связаны S-дуальностью , которая подразумевает существование нескольких новых бран, называемых NS-бранами по аналогии с NS5 -браной , которые охватывают те же циклы, что и исходные браны, но в противоположной теории. Также комбинация A-модели и суммы B-модели и ее сопряженной связаны с топологической M-теорией своего рода размерной редукцией . Здесь степени свободы A-модели и B-моделей, по-видимому, не являются одновременно наблюдаемыми, а скорее имеют связь, аналогичную связи между положением и импульсом в квантовой механике .

Голоморфная аномалия

Сумма B-модели и ее сопряженной появляется в указанной выше дуальности, поскольку это теория, низкоэнергетическое эффективное действие которой, как ожидается, будет описано формализмом Хитчина. Это происходит потому, что B-модель страдает от голоморфной аномалии, которая утверждает, что зависимость от комплексных величин, будучи классически голоморфной, получает неголоморфные квантовые поправки. В работе «Квантовая фоновая независимость в теории струн» Эдвард Виттен утверждал, что эта структура аналогична структуре, которую можно обнаружить при геометрическом квантовании пространства комплексных структур. После того, как это пространство было квантовано, только половина измерений одновременно коммутируют, и поэтому число степеней свободы уменьшилось вдвое. Это уменьшение вдвое зависит от произвольного выбора, называемого поляризацией . Сопряженная модель содержит недостающие степени свободы, и поэтому, тензорируя B-модель и ее сопряженную, можно снова получить все недостающие степени свободы, а также устранить зависимость от произвольного выбора поляризации.

Геометрические переходы

Существует также ряд дуальностей, связывающих конфигурации с D-бранами, которые описываются открытыми струнами, с конфигурациями с бранами, замещенными потоком, и с геометрией, описываемой геометрией окологоризонтных потерянных бран. Последние описываются замкнутыми струнами.

Возможно, первой такой дуальностью является дуальность Гопакумара-Вафы, которая была введена Раджешем Гопакумаром и Кумруном Вафой в работе On the Gauge Theory/Geometry Correspondence. Она связывает стопку из N D6-бран на 3-сфере в A-модели на деформированном конифолде с закрытой теорией струн A-модели на разрешенном конифолде с полем B, равным N раз константе связи струн. Открытые струны в A-модели описываются теорией Черна-Саймонса U(N), в то время как закрытая теория струн в A-модели описывается кэлеровой гравитацией.

Хотя говорят, что конифолд разрешён, площадь раздутой двусферы равна нулю, не обращается в нуль только B-поле, которое часто считают комплексной частью площади. Фактически, поскольку теория Черна–Саймонса является топологической, можно сжать объём деформированной трёхсферы до нуля и таким образом прийти к той же геометрии, что и в дуальной теории.

Зеркально-дуальная дуальность этой дуальности — это другая дуальность, которая связывает открытые струны в модели B на бране, оборачивающей 2-цикл в разрешенном конифолде, с замкнутыми струнами в модели B на деформированном конифолде. Открытые струны в модели B описываются размерными редукциями гомоломорфной теории Черна–Саймонса на бранах, на которых они заканчиваются, тогда как замкнутые струны в модели B описываются гравитацией Кодаиры–Спенсера.

Двойственности с другими теориями

Плавление кристаллов, квантовая пена и калибровочная теория U(1)

В статье Quantum Calabi–Yau and Classical Crystals, Андрей Окуньков , Николай Решетихин и Кумрун Вафа предположили, что квантовая A-модель дуальна классическому плавящемуся кристаллу при температуре, равной обратной константе связи струны. Эта гипотеза была интерпретирована в работе Quantum Foam and Topological Strings Амера Икбала , Никиты Некрасова , Андрея Окунькова и Кумрун Вафы . Они утверждают, что статистическая сумма по конфигурациям плавящегося кристалла эквивалентна интегралу по траектории по изменениям топологии пространства-времени, поддерживаемому в малых областях с площадью порядка произведения константы связи струны и α'.

Такие конфигурации, в которых пространство-время заполнено множеством маленьких пузырьков, восходят к Джону Арчибальду Уилеру в 1964 году, но редко появлялись в теории струн , поскольку ее, как известно, трудно сделать точной. Однако в этой дуальности авторы способны изложить динамику квантовой пены на знакомом языке топологически скрученной калибровочной теории U(1) , напряженность поля которой линейно связана с кэлеровой формой A-модели. В частности, это предполагает, что кэлерова форма A-модели должна быть квантована.

Приложения

Амплитуды топологической теории струн A-модели используются для вычисления препотенциалов в N=2 суперсимметричных калибровочных теориях в четырех и пяти измерениях. Амплитуды топологической B-модели с потоками и/или бранами используются для вычисления суперпотенциалов в N=1 суперсимметричных калибровочных теориях в четырех измерениях. Пертурбативные вычисления модели A также учитывают BPS-состояния вращающихся черных дыр в пяти измерениях.

Смотрите также

Ссылки

^ "Топологические сигма-модели". Commun. Math. Phys . Февраль 1988.

Нейтцке, Эндрю; Вафа, Кумрун (2004). «Топологические струны и их физические приложения». arXiv : hep-th/0410178 .
Dijkgraaf, Robbert; Gukov, Sergey; Neitzke, Andrew; Vafa, Cumrun (2005). «Топологическая М-теория как объединение теорий форм гравитации». Adv. Theor. Math. Phys . 9 (4): 603– 665. arXiv : hep-th/0411073 . Bibcode :2004hep.th...11073D. doi :10.4310/ATMP.2005.v9.n4.a5. S2CID 1204839.
Топологическая теория струн на arxiv.org
Накви, Асад (2006). «Топологические струны» (PDF- Microsoft PowerPoint ) . Асад Накви — Университет Уэльса, Суонси , Соединенное Королевство . Национальный центр физики .

[Witten88-1] "Топологические сигма-модели". Commun. Math. Phys . Февраль 1988.