Начальные и конечные объекты

В теории категорий , разделе математики , начальным объектом категории C является объект I в C , такой что для каждого объекта X в C существует ровно один морфизм I → X.

Двойственное понятие — это понятие терминального объекта (также называемого терминальным элементом ): T является терминальным, если для каждого объекта X в C существует ровно один морфизм X → T. Начальные объекты также называются котерминальными или универсальными , а терминальные объекты также называются окончательными .

Если объект является и начальным, и конечным, он называется нулевым объектом или нулевым объектом . Указанная категория — это категория с нулевым объектом.

Строгий начальный объект I — это такой объект, для которого каждый морфизм в I является изоморфизмом .

• Пустое множество является единственным начальным объектом в Set , категории множеств . Каждое одноэлементное множество ( singleton ) является конечным объектом в этой категории; нулевых объектов нет. Аналогично, пустое пространство является единственным начальным объектом в Top , категории топологических пространств , а каждое одноточечное пространство является конечным объектом в этой категории.
• В категории множеств и отношений Rel пустое множество является уникальным начальным объектом, уникальным конечным объектом и, следовательно, уникальным нулевым объектом.

• В категории точечных множеств (объектами которых являются непустые множества вместе с выделенным элементом; морфизм из ( A ,  a ) в ( B ,  b ) является функцией f  : A → B с f ( a ) = b ) каждый синглетон является нулевым объектом. Аналогично, в категории точечных топологических пространств каждый синглетон является нулевым объектом.
• В Grp , категории групп , любая тривиальная группа является нулевым объектом. Тривиальный объект также является нулевым объектом в Ab , категории абелевых групп , Rng , категории псевдоколец , R -Mod , категории модулей над кольцом , и K -Vect , категории векторных пространств над полем. Подробности см. в разделе Нулевой объект (алгебра) . Отсюда и происходит термин «нулевой объект».
• В Ring , категории колец с единицей и сохраняющими единицу морфизмами, кольцо целых чисел Z является начальным объектом. Нулевое кольцо, состоящее только из одного элемента 0 = 1, является конечным объектом.
• В Rig , категории оснасток с единицей и сохраняющими единицу морфизмами, оснастка натуральных чисел N является начальным объектом. Нулевая оснастка, которая является нулевым кольцом , состоящим только из одного элемента 0 = 1, является конечным объектом.
• В категории полей Field нет начальных и конечных объектов. Однако в подкатегории полей фиксированной характеристики начальным объектом является простое поле .
• Любое частично упорядоченное множество ( P , ≤) можно интерпретировать как категорию: объекты являются элементами P , и существует единственный морфизм из x в y тогда и только тогда, когда x ≤ y . Эта категория имеет начальный объект тогда и только тогда, когда P имеет наименьший элемент ; она имеет конечный объект тогда и только тогда, когда P имеет наибольший элемент .
• Cat , категория малых категорий с функторами в качестве морфизмов, имеет пустую категорию 0 (без объектов и морфизмов) в качестве начального объекта и конечную категорию 1 (с единственным объектом с единственным тождественным морфизмом) в качестве конечного объекта.
• В категории схем Spec( Z ), простой спектр кольца целых чисел, является конечным объектом. Пустая схема (равная простому спектру нулевого кольца ) является начальным объектом.
• Предел диаграммы F может быть охарактеризован как конечный объект в категории конусов к F. Аналогично , копредел F может быть охарактеризован как начальный объект в категории коконусов из F.
• В категории Ch _R цепных комплексов над коммутативным кольцом R нулевой комплекс является нулевым объектом.
• В короткой точной последовательности вида 0 → a → b → c → 0 начальный и конечный объекты являются анонимным нулевым объектом. Это часто используется в теориях когомологий.

Начальные и конечные объекты не обязаны существовать в данной категории. Однако, если они существуют, они по сути уникальны. В частности, если I ₁ и I ₂ являются двумя различными начальными объектами, то между ними существует уникальный изоморфизм . Более того, если I является начальным объектом, то любой объект, изоморфный I, также является начальным объектом. То же самое верно и для конечных объектов.

Для полных категорий существует теорема существования для начальных объектов. В частности, ( локально малая ) полная категория C имеет начальный объект тогда и только тогда, когда существуют множество I ( не собственный класс ) и I - индексированное семейство ( K _i ) объектов C , такое, что для любого объекта X из C существует по крайней мере один морфизм K _i → X для некоторого i ∈ I.

Терминальные объекты в категории C также могут быть определены как пределы уникальной пустой диаграммы 0 → C. Поскольку пустая категория является бессодержательно дискретной категорией , терминальный объект можно рассматривать как пустое произведение (произведение действительно является пределом дискретной диаграммы { X _i } , в общем случае). Двойственно, начальный объект является копределом пустой диаграммы 0 → C и может рассматриваться как пустое копроизведение или категориальная сумма.

Из этого следует, что любой функтор, сохраняющий пределы, будет переводить терминальные объекты в терминальные объекты, а любой функтор, сохраняющий копределы, будет переводить начальные объекты в начальные объекты. Например, начальный объект в любой конкретной категории со свободными объектами будет свободным объектом, порожденным пустым множеством (поскольку свободный функтор , будучи левым сопряженным к забывающему функтору к Set , сохраняет копределы).

Начальные и конечные объекты также могут быть охарактеризованы в терминах универсальных свойств и сопряженных функторов . Пусть 1 — дискретная категория с одним объектом (обозначается •), и пусть U  : C → 1 — уникальный (константный) функтор для 1 . Тогда

• Начальный объект I в C является универсальным морфизмом из • в U. Функтор, который переводит • в I , является левым сопряженным к U.
• Терминальный объект T в C является универсальным морфизмом из U в •. Функтор, который отправляет • в T , является правым сопряженным к U.

Многие естественные конструкции в теории категорий можно сформулировать в терминах нахождения начального или конечного объекта в подходящей категории.

• Универсальный морфизм из объекта X в функтор U может быть определен как начальный объект в категории запятых ( X ↓ U ) . Двойственно, универсальный морфизм из U в X является конечным объектом в ( U ↓ X ) .
• Предел диаграммы F является конечным объектом в Cone( F ) , категории конусов для F. Двойственно, копредел F является начальным объектом в категории конусов из F .
• Представление функтора F в Set является исходным объектом в категории элементов F.
• Понятие финального функтора (соответственно, начального функтора) является обобщением понятия финального объекта (соответственно, начального объекта).

• Моноид эндоморфизма начального или конечного объекта I тривиален: End( I ) = Hom( I , I ) = { id _I } .
• Если категория C имеет нулевой объект 0 , то для любой пары объектов X и Y в C единственная композиция X → 0 → Y является нулевым морфизмом из X в Y.

• Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории. Кошачья радость (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6. Zbl  0695.18001. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-04-21 . Получено 2008-01-15 .
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ред. (2004). Категориальные основы. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 97. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Збл  1034.18001.
• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (2nd ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Збл  0906.18001.
• Эта статья частично основана на статье PlanetMath о примерах начальных и конечных объектов.