Нулевой объект (алгебра)

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Zero object" algebra – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2012) (Learn how and when to remove this message)

В алгебре нулевой объект заданной алгебраической структуры является, в смысле, поясненном ниже, простейшим объектом такой структуры. Как множество он является синглтоном , а как магма имеет тривиальную структуру, которая также является абелевой группой . Вышеупомянутая структура абелевой группы обычно идентифицируется как сложение , а единственный элемент называется нулем , поэтому сам объект обычно обозначается как {0} . Часто говорят о тривиальном объекте (определенной категории ), поскольку каждый тривиальный объект изоморфен любому другому (при уникальном изоморфизме).

Экземпляры нулевого объекта включают, но не ограничиваются следующим:

• Как группа , нулевая группа или тривиальная группа .
• Как кольцо , нулевое кольцо или тривиальное кольцо .
• Как алгебра над полем или алгебра над кольцом , тривиальная алгебра .
• Как модуль (над кольцом  R ), нулевой модуль . Термин тривиальный модуль также используется, хотя он может быть неоднозначным, поскольку тривиальный G-модуль — это G-модуль с тривиальным действием.
• Как векторное пространство (над полем  R ), нулевое векторное пространство , нульмерное векторное пространство или просто нулевое пространство .

Эти объекты описываются совместно не только на основе общей структуры синглтона и тривиальной группы, но и из-за общих теоретико-категорийных свойств.

В последних трех случаях скалярное умножение на элемент базового кольца (или поля) определяется как:

κ 0 = 0  , где κ ∈ R .

Самый общий из них, нулевой модуль, представляет собой конечно-порожденный модуль с пустым порождающим множеством.

Для структур, требующих структуру умножения внутри нулевого объекта, таких как тривиальное кольцо , существует только одна возможность, 0 × 0 = 0 , поскольку нет ненулевых элементов. Эта структура ассоциативна и коммутативна . Кольцо R , которое имеет как аддитивную, так и мультипликативную идентичность, является тривиальным тогда и только тогда, когда 1 = 0 , поскольку это равенство подразумевает, что для всех r внутри R ,

${\displaystyle r=r\times 1=r\times 0=0.}$

В этом случае можно определить деление на ноль , поскольку единственный элемент является своим собственным мультипликативным обратным. Некоторые свойства {0} зависят от точного определения мультипликативного тождества; см. § Унитальные структуры ниже.

Любая тривиальная алгебра является также тривиальным кольцом. Тривиальная алгебра над полем одновременно является нулевым векторным пространством, рассматриваемым ниже. Над коммутативным кольцом тривиальная алгебра одновременно является нулевым модулем.

Тривиальное кольцо является примером rng квадратного нуля . Тривиальная алгебра является примером нулевой алгебры .

Нульмерныйвекторное пространство — особенно распространенный пример нулевого объекта, векторное пространство над полем с пустым базисом . Следовательно, оно имеет нулевую размерность . Это также тривиальная группа над сложением и тривиальный модуль, упомянутый выше.

2 ↕	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$	=	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\\\,\end{bmatrix}}}$	[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Элемент нулевого пространства, записанный как пустой вектор-столбец (самый правый), умножается на пустую матрицу 2×0 для получения 2-мерного нулевого вектора (самый левый). Правила умножения матриц соблюдаются.

Нулевое кольцо, нулевой модуль и нулевое векторное пространство являются нулевыми объектами , соответственно, категории псевдоколец , категории модулей и категории векторных пространств . Однако нулевое кольцо не является нулевым объектом в категории колец , поскольку не существует кольцевого гомоморфизма нулевого кольца ни в какое другое кольцо.

Нулевой объект по определению должен быть конечным объектом, что означает, что морфизм  A → {0} должен существовать и быть уникальным для произвольного объекта  A. Этот морфизм отображает любой элемент  A в  0 .

Нулевой объект, также по определению, должен быть начальным объектом, что означает, что морфизм  {0} → A должен существовать и быть единственным для произвольного объекта  A . Этот морфизм отображает 0 , единственный элемент  {0} , в нулевой элемент  0 ∈ A , называемый нулевым вектором в векторных пространствах. Это отображение является мономорфизмом , и, следовательно, его образ изоморфен  {0} . Для модулей и векторных пространств это подмножество  {0} ⊂ A является единственным пустопорождённым подмодулем (или 0-мерным линейным подпространством ) в каждом модуле (или векторном пространстве)  A .

Объект {0} является конечным объектом любой алгебраической структуры, где он существует, как это было описано для примеров выше. Но его существование и, если он существует, свойство быть начальным объектом (и, следовательно, нулевым объектом в категориально-теоретическом смысле) зависят от точного определения мультипликативного тождества  1 в указанной структуре.

Если определение  1 требует, чтобы 1 ≠ 0 , то объект {0} не может существовать, поскольку он может содержать только один элемент. В частности, нулевое кольцо не является полем . Если математики иногда говорят о поле с одним элементом , этот абстрактный и несколько загадочный математический объект не является полем.

В категориях, где мультипликативная идентичность должна сохраняться морфизмами, но может быть равна нулю, объект {0} может существовать. Но не как начальный объект, поскольку не существует морфизмов, сохраняющих идентичность, из {0} в любой объект, где 1 ≠ 0. Например, в категории колец Ring начальным объектом является  кольцо целых чисел  Z , а не {0} .

Если алгебраическая структура требует мультипликативного тождества, но не требует его сохранения морфизмами и 1 ≠ 0 , то существуют нулевые морфизмы, и ситуация не отличается от неунитальных структур, рассмотренных в предыдущем разделе.

Нулевые векторные пространства и нулевые модули обычно обозначаются 0 (вместо {0} ). Это всегда так, когда они встречаются в точной последовательности .

• Нилмерное пространство
• Тривиальность (математика)
• Примеры векторных пространств
• Поле с одним элементом
• Пустая полугруппа
• Нулевой элемент
• Список нулевых терминов

• Дэвид Шарп (1987). Кольца и факторизация . Cambridge University Press . стр. 10: тривиальное кольцо . ISBN 0-521-33718-6.
• Бариле, Маргарита. «Тривиальный модуль». Математический мир .
• Бариле, Маргарита. «Нулевой модуль». Математический мир .