0,999...

В математике 0,999 ... (также пишется как 0,9 , 0,9) ..9, или 0.(9) ) обозначает наименьшее число, большее, чем каждое число в последовательности (0,9, 0,99, 0,999, ...) . Можно доказать, что это число равно 1 ; то есть, 

${\displaystyle 0,999...=1.}$

Несмотря на распространённые заблуждения, 0,999... — это не «почти ровно 1» или «очень, очень близко, но не совсем 1»; скорее, 0,999... и «1» — это одно и то же число.

Ниже приведено элементарное доказательство, включающее только элементарную арифметику и тот факт, что не существует положительного действительного числа, меньшего всех 1/10 ⁿ , где n — натуральное число, свойство, которое непосредственно вытекает из архимедова свойства действительных чисел .

Существует много других способов показать это равенство, от интуитивных аргументов до математически строгих доказательств . Интуитивные аргументы, как правило, основаны на свойствах конечных десятичных дробей , которые без доказательства распространяются на бесконечные десятичные дроби. Доказательства, как правило, основаны на основных свойствах действительных чисел и методах исчисления , таких как ряды и пределы . Вопрос, изучаемый в математическом образовании, заключается в том, почему некоторые люди отвергают это равенство.

В других системах счисления 0,999... может иметь то же значение, другое определение или быть неопределенным. Каждая ненулевая конечная десятичная дробь имеет два равных представления (например, 8,32000... и 8,31999...). Наличие значений с несколькими представлениями является особенностью всех позиционных систем счисления , которые представляют действительные числа.

Можно доказать уравнение 0,999... = 1, используя только математические инструменты сравнения и сложения (конечных) десятичных чисел , без какой-либо ссылки на более сложные темы, такие как ряды и пределы . Приведенное ниже доказательство является прямой формализацией интуитивного факта, что если нарисовать 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. на числовой прямой , то не останется места для размещения числа между ними и 1. Значение обозначения 0,999... - это наименьшая точка на числовой прямой, лежащая справа от всех чисел 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. Поскольку в конечном итоге между 1 и этими числами нет места, точка 1 должна быть этой наименьшей точкой, и поэтому 0,999... = 1 .

Если поместить 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. на числовой прямой , то сразу видно, что все эти точки находятся слева от 1 и что они все ближе и ближе к 1. Для любого числа , которое меньше 1, последовательность 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. в конечном итоге достигнет числа, большего, чем ⁠ ⁠ . Таким образом, не имеет смысла отождествлять 0,999... с любым числом, меньшим 1. Между тем, каждое число, большее 1, будет больше любой десятичной дроби вида 0,999...9 для любого конечного числа девяток. Следовательно, 0,999... также нельзя отождествить с каким-либо числом, большим 1. Поскольку 0,999... не может быть больше 1 или меньше 1, оно должно быть равно 1, если оно вообще должно быть действительным числом. ^{[1] [2]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Обозначим через 0.(9) _n число 0.999...9 с девятками после десятичной точки. Таким образом, 0.(9) ₁ = 0.9 , 0.(9) ₂ = 0.99 , 0.(9) ₃ = 0.999 и т. д. Имеем 1 − 0.(9) ₁ = 0.1 = ⁠ ⁠ , 1 − 0.(9) ₂ = 0.01 = ⁠ ⁠ , и т. д.; то есть 1 − 0.(9) _n = для любого натурального числа ⁠ ⁠ .${\displaystyle n}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{2}}}}$${\textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$ ${\displaystyle n}$

Пусть будет числом не больше 1 и больше 0,9, 0,99, 0,999 и т. д.; то есть 0.(9) _n < ≤ 1 , для каждого ⁠ ⁠ . Вычитая эти неравенства из 1, получаем 0 ≤ 1 − < ⁠ ⁠ .${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$

Конец доказательства требует, чтобы не было положительного числа, которое было бы меньше, чем для всех ⁠ ⁠ . Это одна из версий свойства Архимеда , которое справедливо для действительных чисел. ^{[3] [4]} Это свойство подразумевает, что если 1 − < ⁠ ⁠ для всех ⁠ ⁠ , то 1 − может быть равно только 0. Итак, = 1 и 1 — наименьшее число, которое больше, чем все 0,9, 0,99, 0,999 и т. д. То есть, 1 = 0,999... .${\textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{10^{n}}}}$${\displaystyle 1-н}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Это доказательство опирается на архимедово свойство рациональных и действительных чисел. Действительные числа могут быть расширены до числовых систем , таких как гипердействительные числа , с бесконечно малыми числами ( бесконечно малыми ) и бесконечно большими числами ( бесконечными числами ). ^{[5] [6] При использовании таких систем обозначение 0,999... обычно не используется, поскольку среди чисел, больших всех 0.(9)} _n , нет наименьшего числа . ^[a]

Часть того, что показывает этот аргумент, заключается в том, что существует наименьшая верхняя граница последовательности 0,9, 0,99, 0,999 и т. д.: наименьшее число, которое больше всех членов последовательности. Одной из аксиом системы действительных чисел является аксиома полноты , которая гласит, что каждая ограниченная последовательность имеет наименьшую верхнюю границу. ^{[7] [8]} Эта наименьшая верхняя граница является одним из способов определения бесконечных десятичных расширений: действительное число, представленное бесконечной десятичной дробью, является наименьшей верхней границей своих конечных усечений. ^[9] Аргумент здесь не должен предполагать полноту, чтобы быть действительным, поскольку он показывает, что эта конкретная последовательность рациональных чисел имеет наименьшую верхнюю границу и что эта наименьшая верхняя граница равна единице. ^[10]

Простые алгебраические иллюстрации равенства являются предметом педагогических дискуссий и критики. Байерс (2007) обсуждает аргумент о том, что в начальной школе учат, что = 0,333... , поэтому, игнорируя все существенные тонкости, «умножение» этого тождества на 3 дает 1 = 0,999... . Он также говорит, что этот аргумент неубедителен из-за неразрешенной двусмысленности относительно значения знака равенства ; ученик может подумать: «Это, конечно, не означает, что число 1 идентично тому, что подразумевается под обозначением 0,999... ‍ » . ^[11] Ричман (1999) обсуждает, как «этот аргумент получает свою силу из того факта, что большинство людей были приучены принимать первое уравнение, не задумываясь», но также предполагает, что этот аргумент может заставить скептиков усомниться в этом предположении. ^[12]${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Байерс также приводит следующий аргумент.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.999\ldots \\10x&=9.999\ldots &&{\text{умножением на }}10\\10x&=9+0.999\ldots &&{\text{отщеплением целой части}}\\10x&=9+x&&{\text{по определению }}x\\9x&=9&&{\text{вычитанием }}x\\x&=1&&{\text{делением на }}9\end{aligned}}}$

Студенты, которые не приняли первый аргумент, иногда принимают второй аргумент, но, по мнению Байерса, все еще не разрешили неоднозначность и, следовательно, не понимают представления бесконечных десятичных дробей. Перессини и Перессини (2007), представляя тот же аргумент, также утверждают, что он не объясняет равенство, указывая, что такое объяснение, вероятно, будет включать концепции бесконечности и полноты . ^[13] Болдуин и Нортон (2012), цитируя Каца и Каца (2010a), также приходят к выводу, что трактовка тождества, основанная на таких аргументах, как эти, без формальной концепции предела, преждевременна. ^[14] Ченг (2023) соглашается, утверждая, что знание того, что можно умножить 0,999... на 10, сдвинув десятичную точку, предполагает ответ на более глубокий вопрос о том, как вообще придается смысл выражению 0,999.... ^[15] Тот же аргумент приводит Ричман (1999), который отмечает, что скептики могут усомниться в том, что является сокращаемым  , то есть имеет ли смысл вычитать из обеих сторон. ^[12] Эйзенман (2008) аналогичным образом утверждает, что и умножение, и вычитание, которые удаляют бесконечную десятичную дробь, требуют дальнейшего обоснования. ^[16]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Действительный анализ — это изучение логических основ исчисления , включая поведение последовательностей и рядов действительных чисел. ^[17] Доказательства в этом разделе устанавливают 0,999... = 1 с использованием методов, знакомых из действительного анализа.

Распространенным развитием десятичных разложений является определение их как сумм бесконечных рядов . В общем:$${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}\left({\tfrac {1}{10}}\right)+b_{2}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+b_{3}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+b_{4}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{4}+\cdots .}$$

Для 0,999... можно применить теорему о сходимости геометрических рядов , гласящую, что если ⁠ ⁠${\displaystyle \vert r\vert }$ < 1 , то: ^[18]$${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}.}$$

Поскольку 0,999... является такой суммой с знаменателем ⁠ ⁠ , теорема быстро решает этот вопрос: это доказательство появилось еще в 1770 году в «Элементах алгебры » Леонарда Эйлера . ^[19]${\displaystyle а=9}$${\displaystyle \textstyle r={\frac {1}{10}}}$$${\displaystyle 0.999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.}$$

Сумма геометрического ряда сама по себе является результатом, даже более старым, чем Эйлер. Типичное выведение 18-го века использовало манипуляцию почленно, похожую на алгебраическое доказательство, приведенное выше, и еще в 1811 году учебник Бонникасла « Введение в алгебру» использовал такой аргумент для геометрического ряда, чтобы оправдать тот же маневр на 0,999... ‍ . ^[20] Реакция 19-го века против таких либеральных методов суммирования привела к определению, которое до сих пор доминирует сегодня: сумма ряда определяется как предел последовательности его частичных сумм. Соответствующее доказательство теоремы явно вычисляет эту последовательность; его можно найти в нескольких основанных на доказательствах введениях в исчисление или анализ. ^[21]

Последовательность ( , , , ...) имеет значение в качестве своего предела , если расстояние становится произвольно малым по мере увеличения. Утверждение, что 0,999... = 1, само по себе может быть интерпретировано и доказано как предел: ^[b] Первые два равенства можно интерпретировать как определения сокращенных символов. Остальные равенства можно доказать. Последний шаг, что 10 ⁿ стремится к 0 по мере приближения к бесконечности ( ⁠ ⁠ ), часто оправдывается архимедовым свойством действительных чисел. Это основанное на пределе отношение к 0,999... часто выражается в более выразительных, но менее точных терминах. Например, учебник 1846 года «Университетская арифметика» объясняет: «.999 +, продолжено до бесконечности = 1, потому что каждое присоединение 9 приближает значение к 1»; В «Арифметике для школ» 1895 года говорится: «Когда берется большое количество девяток, разница между 1 и .99999... становится невообразимо малой». ^[22] Такие эвристики часто неправильно интерпретируются студентами, как подразумевающие, что 0,999... само по себе меньше 1. ^[23]${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \left\vert x-x_{n}\right\vert }$${\displaystyle n}$$${\displaystyle 0.999\ldots \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1-0=1.}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle \infty }$

Определение ряда выше определяет действительное число, названное десятичным расширением. Дополнительный подход приспособлен к противоположному процессу: для данного действительного числа определить десятичное расширение(я), чтобы назвать его.

Если известно, что действительное число лежит в замкнутом интервале [0, 10] (то есть оно больше или равно 0 и меньше или равно 10), можно представить себе деление этого интервала на десять частей, которые перекрываются только в своих конечных точках: [0, 1] , [1, 2] , [2, 3] и так далее до [9, 10] . Число должно принадлежать одному из них; если оно принадлежит [2, 3] , то записывается цифра «2» и этот интервал подразделяется на [2, 2.1] , [2.1, 2.2] , ..., [2.8, 2.9] , [2.9, 3] . Продолжение этого процесса дает бесконечную последовательность вложенных интервалов , помеченных бесконечной последовательностью цифр ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ..., и можно записать${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle b_{3}}$$${\displaystyle x=b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}\ldots \,.}$$

В этом формализме тождества 1 = 0,999... и 1 = 1,000... отражают, соответственно, тот факт, что 1 лежит как в [0, 1] . , так и в [1, 2] , поэтому можно выбрать любой подинтервал при нахождении его цифр. Чтобы гарантировать, что эта нотация не злоупотребляет знаком "=", нужен способ восстановить уникальное действительное число для каждой десятичной дроби. Это можно сделать с пределами, но другие конструкции продолжают тему упорядочения. ^[24]

Одним из простых вариантов является теорема о вложенных интервалах , которая гарантирует, что заданная последовательность вложенных замкнутых интервалов, длины которых становятся произвольно малыми, интервалы содержат ровно одно действительное число в своем пересечении . Таким образом , ⁠ ⁠${\displaystyle b_{1}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b_{2}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b_{3}}$ , ... определяется как уникальное число, содержащееся во всех интервалах [ , + 1]${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$ , [ , + 0,1]${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$ , и так далее. Тогда 0,999... является уникальным действительным числом, которое лежит во всех интервалах [0, 1] , [0,9, 1] , [0,99, 1] , и [0,99...9, 1] для каждой конечной строки из девяток. Поскольку 1 является элементом каждого из этих интервалов, 0,999... = 1 . ^[25]

Теорема о вложенных интервалах обычно основана на более фундаментальной характеристике действительных чисел: существовании наименьших верхних границ или супремумов . Чтобы напрямую использовать эти объекты, можно определить ⁠ ⁠${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}}$ ... как наименьшую верхнюю границу набора аппроксимантов ⁠ ⁠${\displaystyle b_{0}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b_{0}.b_{1}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}}$ , ... ‍ . ^[26] Затем можно показать, что это определение (или определение вложенных интервалов) согласуется с процедурой подразделения, подразумевая 0,999... = 1 снова. Том Апостол заключает: «тот факт, что действительное число может иметь два разных десятичных представления, является всего лишь отражением того факта, что два разных набора действительных чисел могут иметь один и тот же супремум». ^[27]

Некоторые подходы явно определяют действительные числа как определенные структуры, построенные на рациональных числах , используя аксиоматическую теорию множеств . Натуральные числа {0, 1, 2, 3, ...} начинаются с 0 и продолжаются вверх, так что каждое число имеет последующее. Можно расширить натуральные числа с их отрицательными значениями, чтобы получить все целые числа , и далее расширить до отношений, получив рациональные числа . Эти числовые системы сопровождаются арифметикой сложения, вычитания, умножения и деления. ^{[28] [29]} Более тонко, они включают упорядочение , так что одно число можно сравнить с другим и найти, что оно меньше, больше или равно другому числу. ^[30]

Шаг от рациональных чисел к действительным числам является крупным расширением. Существует по крайней мере два популярных способа достижения этого шага, оба опубликованы в 1872 году: сечения Дедекинда и последовательности Коши . Доказательства того, что 0,999... = 1 , которые напрямую используют эти конструкции, не встречаются в учебниках по действительному анализу, где современная тенденция последних нескольких десятилетий заключается в использовании аксиоматического анализа. Даже когда предлагается конструкция, она обычно применяется для доказательства аксиом действительных чисел, которые затем поддерживают приведенные выше доказательства. Однако несколько авторов высказывают идею о том, что начинать с конструкции более логично, и полученные доказательства более самодостаточны. ^[c]

В подходе разреза Дедекинда каждое действительное число определяется как бесконечное множество всех рациональных чисел, меньших ⁠ ⁠ . ^[d] В частности, действительное число 1 является множеством всех рациональных чисел, которые меньше 1. ^[e] Каждое положительное десятичное разложение легко определяет разрез Дедекинда: множество рациональных чисел, которые меньше некоторой ступени разложения. Таким образом, действительное число 0,999... является множеством рациональных чисел, таких что < 0 , или < 0,9 , или < 0,99 , или меньше некоторого другого числа вида ^[31]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{n}}}=0.(9)_{n}=0.\underbrace {99\ldots 9} _{n{\text{ nines}}}.}$$

Каждый элемент 0,999... меньше 1, поэтому он является элементом действительного числа 1. И наоборот, все элементы 1 являются рациональными числами, которые можно записать как с и ⁠ ⁠ . Это подразумевает и, таким образом$${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1,}$$${\displaystyle b>0}$${\displaystyle b>a}$$${\displaystyle 1-{\frac {a}{b}}={\frac {b-a}{b}}\geq {\frac {1}{b}}>{\frac {1}{10^{b}}},}$$$${\displaystyle {\frac {a}{b}}<1-{\frac {1}{10^{b}}}.}$$

Поскольку по определению выше каждый элемент 1 является также элементом 0,999..., и в сочетании с приведенным выше доказательством того, что каждый элемент 0,999... является также элементом 1, множества 0,999... и 1 содержат одни и те же рациональные числа и, следовательно, являются одним и тем же множеством, то есть 0,999... = 1 .$${\displaystyle 1-{\frac {1}{10^{b}}}=0.(9)_{b}<0.999\ldots ,}$$

Определение действительных чисел как сократительных единиц Дедекинда было впервые опубликовано Ричардом Дедекиндом в 1872 году. ^[32] Вышеуказанный подход к назначению действительного числа каждому десятичному расширению появился в пояснительной статье под названием «Is 0.999 ... = 1 ?» Фреда Ричмана в журнале Mathematics Magazine . ^[12] Ричман отмечает, что применение сократительных единиц Дедекинда в любом плотном подмножестве рациональных чисел дает те же результаты; в частности, он использует десятичные дроби , для которых доказательство более непосредственное. Он также отмечает, что обычно определения допускают, чтобы { | < 1}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ было сократительным, но не { | ≤ 1}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ (или наоборот). ^[33] Дальнейшая модификация процедуры приводит к другой структуре, где эти две дроби не равны. Хотя это и последовательно, многие из общих правил десятичной арифметики больше не соблюдаются, например, дробь не имеет представления; см. § Альтернативные системы счисления ниже.${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Другой подход заключается в определении действительного числа как предела последовательности Коши рациональных чисел. Эта конструкция действительных чисел использует упорядочение рациональных чисел менее непосредственно. Во-первых, расстояние между и определяется как абсолютное значение ⁠ ⁠ , где абсолютное значение определяется как максимум и ⁠ ⁠ , таким образом, никогда не бывает отрицательным. Затем действительные числа определяются как последовательности рациональных чисел, которые обладают свойством последовательности Коши, используя это расстояние. То есть, в последовательности ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ..., отображении натуральных чисел в рациональные, для любого положительного рационального числа существует такое , что для всех ⁠ ⁠ ; расстояние между членами становится меньше любого положительного рационального числа. ^[34]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \left\vert x-y\right\vert }$${\displaystyle \left\vert z\right\vert }$${\displaystyle z}$${\displaystyle -z}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert \leq \delta }$${\displaystyle m,n>N}$

Если и являются двумя последовательностями Коши, то они определяются как равные как действительные числа, если последовательность имеет предел 0. Усечения десятичного числа ⁠ ⁠ ... порождают последовательность рациональных чисел, которая является последовательностью Коши; это принимается для определения действительного значения числа. ^[35] Таким образом, в этом формализме задача состоит в том, чтобы показать, что последовательность рациональных чисел имеет предел 0. Рассматривая ⁠ ⁠ -й член последовательности, для ⁠ ⁠ , необходимо показать, что Это можно доказать с помощью определения предела . Итак, снова, 0,999... = 1 . ^[36]${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle (y_{n})}$${\displaystyle (x_{n}-y_{n})}$${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}}$$${\displaystyle \left(1-0,1-{9 \over 10},1-{99 \over 100},\ldots \right)=\left(1,{1 \over 10},{1 \over 100},\ldots \right)}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0.}$$

Определение действительных чисел как последовательностей Коши было впервые опубликовано отдельно Эдуардом Гейне и Георгом Кантором также в 1872 году. ^[32] Вышеуказанный подход к десятичным разложениям, включая доказательство того, что 0,999... = 1 , во многом соответствует работе Гриффитса и Хилтона 1970 года «Всеобъемлющий учебник классической математики: современная интерпретация» . ^[37]

Обычно в математическом образовании в средних школах действительные числа строятся путем определения числа с использованием целого числа, за которым следует разделительная точка и бесконечная последовательность, записанная в виде строки для представления дробной части любого заданного действительного числа. В этой конструкции множество любой комбинации целого числа и цифр после десятичной точки (или разделительной точки в системах счисления, отличных от 10) является множеством действительных чисел. Можно строго показать, что эта конструкция удовлетворяет всем действительным аксиомам после определения отношения эквивалентности над множеством, которое определяет 1 = _eq 0,999..., а также для любых других ненулевых десятичных дробей только с конечным числом ненулевых членов в десятичной строке с ее версией из конечных девяток. Другими словами, выполнение равенства 0,999... = 1 является необходимым условием для того, чтобы строки цифр вели себя так, как должны вести себя действительные числа. ^{[38] [39]}

Одно из понятий, которое может решить эту проблему, — это требование, чтобы действительные числа были плотно упорядочены. Плотное упорядочение подразумевает, что если нет нового элемента строго между двумя элементами множества, два элемента должны считаться равными. Следовательно, если бы 0,99999... отличалось от 1, между ними должно было бы быть другое действительное число, но его нет: ни в одном из двух нельзя изменить одну цифру, чтобы получить такое число. ^[40]

Результат, что 0,999... = 1, легко обобщается двумя способами. Во-первых, каждое ненулевое число с конечной десятичной записью (эквивалентно бесконечным конечным нулям) имеет аналог с конечными девятками. Например, 0,24999... равно 0,25, точно так же, как в рассмотренном особом случае. Эти числа являются в точности десятичными дробями, и они плотны . ^{[41] [9]}

Во-вторых, сопоставимая теорема применима в каждом основании или базе . Например, в основании 2 ( двоичная система счисления ) 0,111... равно 1, а в основании 3 ( троичная система счисления ) 0,222... равно 1. В общем, любое конечное выражение с основанием имеет аналог с повторяющимися конечными цифрами, равными − 1. Учебники по реальному анализу, скорее всего, пропустят пример 0,999... и представят одно или оба этих обобщения с самого начала. ^[42]${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

Альтернативные представления 1 также встречаются в нецелочисленных основаниях. Например, в основании золотого сечения два стандартных представления — 1,000... и 0,101010..., и существует бесконечно много представлений, включающих соседние единицы. Как правило, для почти всех чисел между 1 и 2 существует несчетное множество расширений основания 1. Напротив, существует все еще несчетное множество ⁠ ⁠ , включая все натуральные числа больше 1, для которых существует только одно расширение основания 1, кроме тривиального 1,000... ‍ . Этот результат был впервые получен Полом Эрдёшем , Миклошем Хорватом и Иштваном Йоо около 1990 года. В 1998 году Вильмош Коморник и Паола Лорети определили наименьшее такое основание, константу Коморника–Лорети = 1,787231650... ‍ . В этом основании 1 = 0,11010011001011010010110011010011... ; цифры задаются последовательностью Туэ–Морса , которая не повторяется. ^[43]${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Более далеко идущее обобщение касается самых общих позиционных числовых систем . Они также имеют множественные представления, и в некотором смысле трудности еще хуже. Например: ^[44]

• В сбалансированной тройной системе = 0,111... = 1, 111 ... ‍ .${\textstyle {\frac {1}{2}}}$
• В обратной факториальной системе счисления (с использованием оснований 2!, 3!, 4!, ... для позиций после десятичной точки) 1 = 1,000... = 0,1234... ‍ .

Петковшек (1990) доказал, что для любой позиционной системы, которая называет все действительные числа, множество действительных чисел с множественными представлениями всегда плотно. Он называет доказательство «поучительным упражнением в элементарной топологии точек-множеств »; оно включает в себя рассмотрение множеств позиционных значений как пространств Стоуна и замечание того, что их действительные представления задаются непрерывными функциями . ^[45]

Одно из применений 0,999... как представления 1 встречается в элементарной теории чисел . В 1802 году Х. Гудвин опубликовал наблюдение о появлении 9 в периодических десятичных представлениях дробей, знаменатели которых являются определенными простыми числами . ^[46] Вот некоторые примеры:

• ${\textstyle {\frac {1}{7}}}$= 0. 142857 и 142 + 857 = 999 .
• ${\textstyle {\frac {1}{73}}}$= 0. 01369863 и 0136 + 9863 = 9999 .

Э. Миди доказал общий результат о таких дробях, теперь называемый теоремой Миди , в 1836 году. Публикация была неясной, и неясно, включало ли его доказательство непосредственно 0,999..., но по крайней мере одно современное доказательство Уильяма Г. Ливитта включает. Если можно доказать, что если десятичная дробь вида ⁠ ⁠${\displaystyle 0.b_{1}b_{2}b_{3}}$ ... является положительным целым числом, то она должна быть 0,999..., что является источником девяток в теореме. ^[47] Исследования в этом направлении могут мотивировать такие концепции, как наибольшие общие делители , модульная арифметика , простые числа Ферма , порядок элементов группы и квадратичная взаимность . ^[48]

Возвращаясь к реальному анализу, аналог по основанию 3 0,222... = 1 играет ключевую роль в характеристике одного из простейших фракталов , множества Кантора средней трети : точка в единичном интервале принадлежит множеству Кантора тогда и только тогда, когда ее можно представить в троичной системе счисления, используя только цифры 0 и 2.

⁠${\displaystyle n}$ ...​​​​${\displaystyle n}$​​​^​${\textstyle {\frac {2}{3}}}$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Повторяющиеся девятки также появляются в еще одной работе Георга Кантора. Их необходимо учитывать, чтобы построить действительное доказательство, применяя его диагональный аргумент 1891 года к десятичным разложениям, несчетности единичного интервала. Такое доказательство должно быть способно объявить определенные пары действительных чисел различными на основе их десятичных разложений, поэтому нужно избегать пар вроде 0,2 и 0,1999... Простой метод представляет все числа с нетерминированными разложениями; противоположный метод исключает повторяющиеся девятки. ^[f] Вариант, который может быть ближе к исходному аргументу Кантора, использует основание 2, и, превращая разложения по основанию 3 в разложения по основанию 2, можно также доказать несчетность множества Кантора. ^[50]

Студенты-математики часто отвергают равенство 0,999... и 1 по ряду причин: от их несопоставимого внешнего вида до глубоких опасений относительно концепции предела и разногласий относительно природы бесконечно малых величин . Существует много общих факторов, способствующих путанице:

• Студенты часто «мысленно привержены идее, что число может быть представлено одним и только одним способом с помощью десятичной дроби». Видеть две явно разные десятичные дроби, представляющие одно и то же число, кажется парадоксом , который усиливается появлением, казалось бы, хорошо понятного числа 1. ^[g]
• Некоторые студенты интерпретируют "0,999..." (или подобную запись) как большую, но конечную строку девяток, возможно, с переменной, неопределенной длиной. Если они принимают бесконечную строку девяток, они все равно могут ожидать последнюю девятку "в бесконечности". ^[51]
• Интуиция и неоднозначное обучение заставляют студентов думать о пределе последовательности как о некоем бесконечном процессе, а не как о фиксированном значении, поскольку последовательность не обязательно должна достигать своего предела. Когда студенты принимают разницу между последовательностью чисел и ее пределом, они могут прочитать «0,999...» как означающую последовательность, а не ее предел. ^[52]

Эти идеи ошибочны в контексте стандартных действительных чисел, хотя некоторые из них могут быть верны в других системах счисления, либо придуманных для их общей математической полезности, либо в качестве поучительных контрпримеров для лучшего понимания 0,999...; см. § В альтернативных системах счисления ниже.

Многие из этих объяснений были найдены Дэвидом Толлом , который изучал характеристики обучения и познания, которые приводят к некоторым недоразумениям, с которыми он столкнулся у своих студентов колледжа. Опрашивая своих студентов, чтобы определить, почему подавляющее большинство изначально отвергло равенство, он обнаружил, что «студенты продолжали представлять себе 0,999... как последовательность чисел, все ближе и ближе приближающихся к 1, а не как фиксированное значение, потому что «вы не указали, сколько там знаков» или «это ближайшая возможная десятичная дробь ниже 1 » . ^[23]

Элементарный аргумент об умножении 0,333... =${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ на 3 может убедить нерешительных студентов, что 0,999... = 1. Тем не менее, столкнувшись с конфликтом между своей верой в первое уравнение и неверием во второе, некоторые студенты либо начинают не верить в первое уравнение, либо просто разочаровываются. ^[53] Более сложные методы также не являются надежными: студенты, которые полностью способны применять строгие определения, могут по-прежнему прибегать к интуитивным образам, когда их удивляет результат в высшей математике, включая 0,999... ‍ . Например, одна настоящая студентка по анализу смогла доказать, что 0,333... = ,${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ используя определение супремума , но затем настояла, что 0,999... < 1 , основываясь на своем более раннем понимании деления в столбик . ^[54] Другие все еще могут доказать, что = 0,333... , но, столкнувшись с дробным доказательством, настаивают, что «логика» заменяет математические вычисления.${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Мазур (2005) рассказывает историю о своем блестящем студенте-исследователе, который «оспаривал почти все, что я говорил на занятиях, но никогда не подвергал сомнению свой калькулятор», и который пришел к убеждению, что для выполнения математических задач, включая вычисление квадратного корня из 23, достаточно девяти цифр. Студент остался неудовлетворенным ограничивающим аргументом, что 9,99... = 10 , назвав его «дико воображаемым бесконечным растущим процессом». ^[55]

В рамках теории APOS математического обучения Дубинский и др. (2005) предполагают, что учащиеся, которые представляют себе 0,999... как конечную, неопределенную строку с бесконечно малым расстоянием от 1, «еще не построили полную концепцию процесса бесконечной десятичной дроби». Другие учащиеся, которые имеют полную концепцию процесса 0,999..., возможно, еще не способны «инкапсулировать» этот процесс в «концепцию объекта», как и концепцию объекта, которую они имеют для 1, и поэтому они рассматривают процесс 0,999... и объект 1 как несовместимые. Они также связывают эту ментальную способность инкапсуляции с рассмотрением как числа в его собственном праве и с работой с набором натуральных чисел как целым. ^[56]${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

С развитием Интернета дебаты о 0,999... стали обычным явлением в группах новостей и на форумах , включая многие из тех, которые номинально не имеют ничего общего с математикой. В группе новостей sci.math в 1990-х годах споры о 0,999... стали «популярным видом спорта» и были одним из вопросов, на которые давали ответы в FAQ . ^{[57] [58]} FAQ кратко охватывает ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$ , умножение на 10 и пределы, а также ссылается на последовательности Коши.

В выпуске 2003 года газетной колонки общего интереса The Straight Dope обсуждается 0,999... via и пределы, а также высказываются заблуждения,${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Низший примат в нас все еще сопротивляется, говоря: .999~ на самом деле не представляет собой число , а представляет собой процесс . Чтобы найти число, мы должны остановить процесс, и в этот момент .999~ = 1 вещь разваливается. Вздор. ^[59]

В статье Slate сообщается, что концепция 0,999... «горячо обсуждается на различных веб-сайтах, от досок объявлений World of Warcraft до форумов Айн Рэнд ». ^[60] 0,999... также фигурирует в математических шутках , таких как: ^[61]

В: Сколько математиков нужно, чтобы вкрутить лампочку ?
О: 0,999999....

Тот факт, что 0,999... равно 1, сравнивали с парадоксом бегуна Зенона . ^[62] Парадокс бегуна можно математически смоделировать, а затем, как и 0,999..., разрешить с помощью геометрического ряда. Однако неясно, решает ли эта математическая обработка основные метафизические проблемы, которые исследовал Зенон. ^[63]

Хотя действительные числа образуют чрезвычайно полезную систему счисления , решение интерпретировать обозначение «0,999...» как наименование действительного числа в конечном итоге является соглашением, и Тимоти Гауэрс в своей книге «Математика: очень краткое введение» утверждает , что полученное тождество 0,999... = 1 также является соглашением:

Однако это ни в коем случае не является произвольной конвенцией, поскольку непринятие ее заставляет либо изобретать странные новые объекты, либо отказываться от некоторых знакомых правил арифметики. ^[64]

Некоторые доказательства того, что 0,999... = 1, опираются на архимедово свойство действительных чисел: что не существует ненулевых бесконечно малых . В частности, разность 1 − 0,999... должна быть меньше любого положительного рационального числа, поэтому она должна быть бесконечно малой; но поскольку действительные числа не содержат ненулевых бесконечно малых, разность равна нулю, и, следовательно, эти два значения одинаковы.

Однако существуют математически связные упорядоченные алгебраические структуры , включая различные альтернативы действительным числам, которые не являются архимедовыми. Нестандартный анализ предоставляет числовую систему с полным массивом бесконечно малых (и их обратных). ^[h] AH Lightstone разработал десятичное разложение для гипердействительных чисел в (0, 1) ^∗ . Lightstone показывает, как связать каждое число с последовательностью цифр, индексированных гипернатуральными числами. Хотя он напрямую не обсуждает 0,999..., он показывает, что действительное число представлено как 0,333...;...333..., что является следствием принципа переноса . Как следствие, число 0,999...;...999... = 1 . При таком типе десятичного представления не каждое разложение представляет число. В частности, «0,333...;...000...» и «0,999...;...000...» не соответствуют никакому числу. ^[65]$${\displaystyle 0.d_{1}d_{2}d_{3}\ldots ;\ldots d_{\infty -1}d_{\infty }d_{\infty +1}\ldots ,}$$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$

Стандартное определение числа 0,999... является пределом последовательности 0,9, 0,99, 0,999, ... ‍ . Другое определение включает в себя ультрапредел , т. е. класс эквивалентности [(0,9, 0,99, 0,999, ...)] этой последовательности в ультрастепенной конструкции , который является числом, которое не дотягивает до 1 на бесконечно малую величину. ^[66] В более общем смысле, гипердействительное число = 0,999...;...999000... , с последней цифрой 9 в бесконечном гиперестественном ранге ⁠ ⁠ , удовлетворяет строгому неравенству ⁠ ⁠ . Соответственно, альтернативной интерпретацией для «нуля, за которым следует бесконечно много девяток» может быть ^[67] Все такие интерпретации «0,999...» бесконечно близки к 1. Ян Стюарт характеризует эту интерпретацию как «совершенно разумный» способ строго обосновать интуицию о том, что «немного не хватает» от 1 в 0,999.... ^[i] Наряду с Кацем и Кацем (2010b), Эли (2010) также подвергает сомнению предположение о том, что идеи студентов о 0,999... < 1 являются ошибочными интуициями о действительных числах, интерпретируя их скорее как нестандартные интуиции, которые могут быть ценными при изучении исчисления. ^[68]${\displaystyle u_{H}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle u_{H}<1}$$${\displaystyle {\underset {H}{0.\underbrace {999\ldots } }}\;=1\;-\;{\frac {1}{10^{H}}}.}$$

Комбинаторная теория игр предоставляет обобщенную концепцию числа, которая охватывает действительные числа и многое другое. ^[69] Например, в 1974 году Элвин Берлекамп описал соответствие между строками красных и синих сегментов в Хакенбуше и двоичными расширениями действительных чисел, мотивированными идеей сжатия данных . Например, значение строки Хакенбуша LRRLRLRL... равно 0,010101... ₂ = .${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ Однако значение LRLLL... (соответствующее 0,111... ₂ , бесконечно меньше 1. Разница между ними — сюрреалистическое число , где — первый бесконечный порядковый номер ; соответствующая игра — LRRRR... или 0,000... ₂ . ^[j]${\textstyle {\frac {1}{\omega }}}$${\displaystyle \omega }$

Это справедливо для двоичных расширений многих рациональных чисел, где значения чисел равны, но соответствующие пути двоичного дерева различны. Например, 0,10111... ₂ = 0,11000... ₂ , которые оба равны ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {3}{4}}}$ , но первое представление соответствует пути двоичного дерева LRLRLLL..., тогда как второе соответствует другому пути LRLLRRR... ‍ .

Другой способ, которым доказательства могут быть подорваны, это если 1 − 0,999... просто не существует, потому что вычитание не всегда возможно. Математические структуры с операцией сложения, но не с операцией вычитания включают коммутативные полугруппы , коммутативные моноиды и полукольца . Ричман (1999) рассматривает две такие системы, спроектированные так, что 0,999... < 1. [ ^12]

Во-первых, Ричман (1999) определяет неотрицательное десятичное число как буквальное десятичное расширение. Он определяет лексикографический порядок и операцию сложения, отмечая, что 0,999... < 1 просто потому, что 0 < 1 в разряде единиц, но для любого нетерминированного ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ , имеем 0,999... + = 1 + ⁠ ⁠${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$ . Таким образом, одна особенность десятичных чисел заключается в том, что сложение не всегда может быть отменено; другая заключается в том, что никакое десятичное число не соответствует ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}}$ . После определения умножения десятичные числа образуют положительное, полностью упорядоченное, коммутативное полукольцо. ^[70]

В процессе определения умножения Ричман также определяет другую систему, которую он называет «сечением » ,${\displaystyle D}$ представляющую собой набор дедекиндовых сокращёний десятичных дробей. Обычно это определение приводит к действительным числам, но для десятичной дроби он допускает как разрез ( ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ ), так и «главный разрез» ( ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ ] . Результатом является то, что действительные числа «уживаются нелегко вместе» с десятичными дробями. Опять же 0,999... < 1 . В разрезе ⁠ ⁠ нет положительных бесконечно малых , но есть «своего рода отрицательная бесконечно малая», 0 ⁻ , которая не имеет десятичное разложение. Он приходит к выводу, что 0,999... = 1 + 0 ⁻ , в то время как уравнение « 0,999... + = 1 » не имеет решения. ^[k]${\displaystyle d}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle d}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle d}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x}$

Когда новичков спрашивают о 0,999..., они часто считают, что должна быть «конечная 9», полагая, что 1 − 0,999... является положительным числом, которое они записывают как «0,000...1». Имеет ли это смысл или нет, интуитивная цель ясна: добавление 1 к конечной 9 в 0,999... перенесет все 9 в 0 и оставит 1 на месте единиц. Среди прочих причин эта идея терпит неудачу, потому что в 0,999... нет «конечной 9» . ^[71] Однако существует система, которая содержит бесконечную строку девяток, включая последнюю 9.

-адические числа являются альтернативной системой счисления, представляющей интерес в теории чисел . Как и действительные числа, -адические числа могут быть построены из рациональных чисел с помощью последовательностей Коши ; конструкция использует другую метрику, в которой 0 ближе к ⁠ ⁠ , и гораздо ближе к ⁠ ⁠ , чем к 1. ^[72] -адические числа образуют поле для простых чисел и кольцо для других ⁠ ⁠ , включая 10. Таким образом, арифметика может быть выполнена в -адических числах, и нет бесконечно малых.${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

В 10-адических числах аналоги десятичных разложений идут слева. 10-адическое разложение ...999 имеет последнюю 9, но не имеет первой 9. Можно добавить 1 к месту единиц, и после переноса останутся только нули: 1 + ...999 = ...000 = 0 , и поэтому ...999 = −1 . ^[73] Другой вывод использует геометрическую прогрессию. Бесконечный ряд, подразумеваемый "...999", не сходится в действительных числах, но сходится в 10-адических числах, и поэтому можно повторно использовать знакомую формулу: ^[74]$${\displaystyle \ldots 999=9+9(10)+9(10)^{2}+9(10)^{3}+\cdots ={\frac {9}{1-10}}=-1.}$$

Сравните с рядом в разделе выше. Третий вывод был придуман ученицей седьмого класса, которая сомневалась в ограничивающем аргументе своего учителя, что 0,999... = 1 , но была вдохновлена ​​идеей применить доказательство умножения на 10 выше в противоположном направлении: если = ...999 , то 10 = ...990 , так что 10 = − 9 , следовательно, снова = −1 . ^[73]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

В качестве окончательного расширения, поскольку 0,999... = 1 (в действительных числах) и ...999 = −1 (в 10-адических числах), то посредством «слепой веры и бесстыдного жонглирования символами» ^[75] можно сложить два уравнения и получить ...999,999... = 0. Это уравнение не имеет смысла ни как 10-адическое разложение, ни как обычное десятичное разложение, но оно оказывается осмысленным и верным в дважды бесконечном десятичном разложении 10-адического соленоида , с в конечном итоге повторяющимися левыми концами для представления действительных чисел и в конечном итоге повторяющимися правыми концами для представления 10-адических чисел. ^[76]

• Финитизм
• Неформальная математика

Послушайте эту статью ( 50 минут )

Этот аудиофайл был создан на основе редакции этой статьи от 19 октября 2006 года и не отражает последующие правки. (2006-10-19)

( Аудиопомощь  · Больше устных статей )

На Викискладе есть медиафайлы по теме 0,999… .

• .999999... = 1? от Cut-the-Knot
• Почему 0,9999... = 1?
• Доказательство равенства, основанное на арифметике из Math Central
• Исследования Дэвида Толла по математическому познанию
• Что плохого в том, чтобы думать о действительных числах как о бесконечных десятичных дробях?
• Теорема 0.999... на Metamath