Симплектическое сечение

В математике , в частности в симплектической геометрии , симплектическое сечение — это геометрическая модификация симплектических многообразий . Его эффект заключается в разложении заданного многообразия на две части. Существует обратная операция — симплектическая сумма , которая склеивает два многообразия в одно. Симплектическое сечение также можно рассматривать как обобщение симплектического раздутия . Разрез был введен в 1995 году Юджином Лерманом, который использовал его для изучения симплектического фактора и других операций над многообразиями.

Пусть — любое симплектическое многообразие и${\displaystyle (X,\omega)}$

${\displaystyle \mu :X\to \mathbb {R} }$

гамильтониан на . Пусть будет любым регулярным значением , так что множество уровня будет гладким многообразием. Предположим далее, что расслоено на окружности, каждая из которых является интегральной кривой индуцированного гамильтонова векторного поля .${\displaystyle X}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon)}$${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon)}$

При этих предположениях есть многообразие с границей , и можно образовать многообразие${\displaystyle \mu ^{-1}([\epsilon,\infty))}$${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon)}$

${\displaystyle {\overline {X}} _ {\mu \geq \epsilon }}$

путем схлопывания каждого кругового волокна в точку. Другими словами, это с удаленным подмножеством и границей, схлопнутой вдоль каждого кругового волокна. Фактор границы является подмногообразием коразмерности два , обозначаемым .${\displaystyle {\overline {X}} _ {\mu \geq \epsilon }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu ^{-1}((-\infty,\epsilon))}$${\displaystyle {\overline {X}} _ {\mu \geq \epsilon }}$${\displaystyle V}$

Аналогично, можно образовать из многообразия , которое также содержит копию . Симплектическое сечение — это пара многообразий и .${\displaystyle \mu ^{-1}((-\infty,\epsilon])}$${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }}$${\displaystyle {\overline {X}} _ {\mu \geq \epsilon }}$

Иногда полезно рассматривать две половины симплектического разреза как соединенные вдоль их общего подмногообразия, чтобы создать сингулярное пространство.${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\overline {X}} _ {\mu \leq \epsilon } \cup _ {V}{\overline {X}} _ {\mu \geq \epsilon }.}$

Например, это сингулярное пространство является центральным волокном в симплектической сумме, рассматриваемой как деформация.

Предыдущее описание довольно грубое; требуется больше внимания, чтобы отслеживать симплектическую структуру на симплектическом разрезе. Для этого пусть будет любым симплектическим многообразием. Предположим, что группа окружности действует на гамильтоновым образом с отображением моментов${\displaystyle (X,\omega)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu :X\to \mathbb {R} .}$

Это отображение моментов можно рассматривать как функцию Гамильтона, которая генерирует действие окружности. Пространство продукта с координатой на имеет индуцированную симплектическую форму${\displaystyle X\times \mathbb {C} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \omega \oplus (-idz\wedge d{\bar {z}}).}$

Группа действует на произведение гамильтоновым образом:${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle e^{i\theta}\cdot (x,z)=(e^{i\theta}\cdot x,e^{-i\theta}z)}$

с картой моментов

${\displaystyle \nu (x,z)=\mu (x)-|z|^{2}.}$

Пусть — любое действительное число, такое, что действие окружности свободно на . Тогда — регулярное значение , а — многообразие.${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon)}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \nu ^{-1}(\epsilon)}$

Это многообразие содержит в качестве подмногообразия множество точек с и ; это подмногообразие естественным образом отождествляется с . Дополнение подмногообразия, состоящее из точек с , естественным образом отождествляется с произведением${\displaystyle \nu ^{-1}(\epsilon)}$${\displaystyle (x,z)}$${\displaystyle \mu (x)=\epsilon }$${\displaystyle |z|^{2}=0}$${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon)}$${\displaystyle (x,z)}$${\displaystyle \mu (x)>\epsilon }$

${\displaystyle X_{>\epsilon}:=\mu ^{-1}((\epsilon,\infty))}$

и круг.

Многообразие наследует действие гамильтоновой окружности, как и два его подмногообразия, описанные выше. Таким образом, можно сформировать симплектический фактор${\displaystyle \nu ^{-1}(\epsilon)}$

${\displaystyle {\overline {X}} _ {\mu \geq \epsilon}:=\nu ^{-1}(\epsilon)/U (1).}$

По построению он содержит как плотное открытое подмногообразие; по сути, он компактифицирует это открытое многообразие с помощью симплектического фактора${\displaystyle X_{\mu >\epsilon }}$

${\displaystyle V:=\mu ^{- 1}(\epsilon)/U (1),}$

которое является симплектическим подмногообразием коразмерности два.${\displaystyle {\overline {X}} _ {\mu \geq \epsilon }}$

Если является кэлеровым , то таковым является и разрезаемое пространство ; однако вложение не является изометрией.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {X}} _ {\mu \geq \epsilon }}$${\displaystyle X_{\mu >\epsilon }}$

Один строит , другую половину симплектического разреза, симметричным образом. Нормальные расслоения в двух половинах разреза противоположны друг другу (что означает симплектически антиизоморфны). Симплектическая сумма и вдоль восстанавливает .${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\overline {X}} _ {\mu \geq \epsilon }}$${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$

Существование глобального гамильтонова действия окружности на представляется ограничительным предположением. Однако на самом деле это не обязательно; разрез может быть выполнен при более общих гипотезах, таких как локальное гамильтонова действие окружности вблизи (поскольку разрез является локальной операцией).${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu ^{-1}(\epsilon)}$

Когда комплексное многообразие раздувается вдоль подмногообразия , локус раздутия заменяется исключительным дивизором , а остальная часть многообразия остается нетронутой. Топологически эта операция может также рассматриваться как удаление -окрестности локуса раздутия, за которым следует коллапс границы отображением Хопфа .${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle \epsilon}$

Раздутие симплектического многообразия более тонко, поскольку симплектическая форма должна быть скорректирована в окрестности локуса раздутия, чтобы плавно продолжиться через исключительный дивизор в раздутии. Симплектическое разрезание — это элегантный способ сделать процесс удаления окрестностей/коллапса границ симплектически строгим.

Как и прежде, пусть будет симплектическим многообразием с гамильтоновым -действием с отображением моментов . Предположим, что отображение моментов является собственным и достигает своего максимума точно вдоль симплектического подмногообразия . Предположим также, что веса изотропного представления на нормальном расслоении все равны .${\displaystyle (X,\omega)}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle м}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle N_{X}Z}$${\displaystyle 1}$

Тогда для малых единственными критическими точками в являются те, что находятся на . Симплектический разрез , который образуется путем удаления симплектической -окрестности и схлопывания границы, является тогда симплектическим раздутием вдоль .${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle X_{\mu >m-\epsilon }}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\overline {X}}_{\mu \leq m-\epsilon }}$${\displaystyle \epsilon}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$

• Юджин Лерман: Симплектические разрезы, Mathematical Research Letters 2 (1995), 247–258
• Дьюса Макдафф и Д. Саламон: Введение в симплектическую топологию (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN  0-19-850451-9 .