Исключительный делитель

В математике , в частности в алгебраической геометрии , исключительный делитель для регулярного отображения

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

многообразий — это своего рода «большое» подмногообразие , которое «раздавлено» , в некотором определенном смысле. Более строго, f имеет ассоциированное исключительное множество , которое описывает, как оно идентифицирует близлежащие точки в коразмерности один, а исключительный дивизор — это подходящая алгебраическая конструкция, носителем которой является исключительное множество. Те же идеи можно найти в теории голоморфных отображений комплексных многообразий .${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

Точнее, предположим, что

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

— это регулярное отображение многообразий , которое является бирациональным (то есть, это изоморфизм между открытыми подмножествами и ). Подмногообразие коразмерности 1 называется исключительным, если имеет коразмерность не менее 2 как подмногообразие . Тогда можно определить исключительный делитель как${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z\subset X}$${\displaystyle f(Z)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{i}Z_{i}\in Div(X),}$

где сумма берется по всем исключительным подмногообразиям и является элементом группы делителей Вейля на .${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

Рассмотрение исключительных дивизоров имеет решающее значение в бирациональной геометрии : элементарный результат (см., например, Шафаревич, II.4.4) показывает (при соответствующих предположениях), что любое бирациональное регулярное отображение, не являющееся изоморфизмом, имеет исключительный дивизор. Особенно важным примером является раздутие

${\displaystyle \sigma :{\tilde {X}}\rightarrow X}$

подвида

${\displaystyle W\subset X}$:

в этом случае исключительный делитель — это в точности прообраз .${\displaystyle W}$

• Шафаревич, Игорь (1994). Basic Algebraic Geometry, Vol. 1. Springer-Verlag. ISBN 3-540-54812-2.