Фрактал Рози

В математике фрактал Рози — это фрактальное множество, связанное с подстановкой Трибоначчи.

${\displaystyle s(1)=12,\ s(2)=13,\ s(3)=1\,.}$

Он был изучен в 1981 году Жераром Рози ^[1] с идеей обобщения динамических свойств морфизма Фибоначчи . Этот фрактальный набор может быть обобщен на другие карты над 3-буквенным алфавитом, порождая другие фрактальные наборы с интересными свойствами, такими как периодическое замощение плоскости и самоподобие в трех гомотетических частях.

Бесконечное слово Трибоначчи — это слово , построенное путем итеративного применения отображения Трибоначчи или Рози  : , , . ^{[2] [3]} Это пример морфического слова . Начиная с 1, слова Трибоначчи имеют вид: ^[4]${\displaystyle s(1)=12}$${\displaystyle s(2)=13}$${\displaystyle s(3)=1}$

• ${\displaystyle t_{0}=1}$
• ${\displaystyle t_{1}=12}$
• ${\displaystyle t_{2}=1213}$
• ${\displaystyle t_{3}=1213121}$
• ${\displaystyle t_{4}=1213121121312}$

Мы можем показать, что для , ; отсюда и название « Трибоначчи ».${\displaystyle n>2}$${\displaystyle t_{n}=t_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}}$

Рассмотрим теперь пространство с декартовыми координатами (x,y,z). Фрактал Рози строится следующим образом: ^[5]${\displaystyle R^{3}}$

1) Интерпретировать последовательность букв бесконечного слова Трибоначчи как последовательность единичных векторов пространства, соблюдая следующие правила (1 = направление x, 2 = направление y, 3 = направление z).

2) Затем постройте «лестницу», прослеживая точки, достигнутые этой последовательностью векторов (см. рисунок). Например, первые точки:

• ${\displaystyle 1\Rightarrow (1,0,0)}$
• ${\displaystyle 2\Rightarrow (1,1,0)}$
• ${\displaystyle 1\Rightarrow (2,1,0)}$
• ${\displaystyle 3\Rightarrow (2,1,1)}$
• ${\displaystyle 1\Rightarrow (3,1,1)}$

и т.д. Каждую точку можно раскрасить в соответствии с соответствующей буквой, чтобы подчеркнуть свойство самоподобия.

3) Затем спроецируйте эти точки на сжимающую плоскость (плоскость, ортогональную основному направлению распространения точек, ни одна из этих спроецированных точек не уходит в бесконечность).

• Может быть замощен тремя копиями самого себя, с площадью, уменьшенной в множители , и с решением : .${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{2}}$${\displaystyle k^{3}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{3}+k^{2}+k-1=0}$${\displaystyle \scriptstyle {k={\frac {1}{3}}(-1-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}}+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}})=0.54368901269207636}}$
• Устойчив при обмене частями. Мы можем получить тот же набор, поменяв местами части.
• Связанный и просто связанный. Не имеет отверстия.
• Периодически замостит плоскость, перемещая ее.
• Матрица отображения Трибоначчи имеет в качестве своего характеристического многочлена . Ее собственными значениями являются действительное число , называемое постоянной Трибоначчи , число Пизо и два комплексно сопряженных числа и с .${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1}$${\displaystyle \beta =1.8392}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$${\displaystyle \alpha {\bar {\alpha }}=1/\beta }$
• Его граница фрактальна, а размерность Хаусдорфа этой границы равна 1,0933, решению уравнения . ^[6]${\displaystyle 2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1}$

Для любой унимодулярной подстановки типа Пизо, которая проверяет условие совпадения (по-видимому, всегда проверяемое), можно построить похожее множество, называемое «фракталом Рози карты». Все они проявляют самоподобие и генерируют, для примеров ниже, периодическую мозаику плоскости.

• 
  с(1)=12, с(2)=31, с(3)=1
• 
  с(1)=12, с(2)=23, с(3)=312
• 
  с(1)=123, с(2)=1, с(3)=31
• 
  с(1)=123, с(2)=1, с(3)=1132

• Список фракталов

• Арну, Пьер; Харрис, Эдмунд (август 2014 г.). «ЧТО ТАКОЕ... фрактал Рози?». Notices of the American Mathematical Society . 61 (7): 768– 770. doi : 10.1090/noti1144 .
• Берте, Валери ; Сигель, Энн; Тусвальднер, Йорг (2010). «Подстановки, фракталы Рози и мозаики». В Берте, Валери ; Риго, Мишель (ред.). Комбинаторика, автоматы и теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. Т. 135. Кембридж: Cambridge University Press . С.  248–323 . ISBN 978-0-521-51597-9. Збл  1247.37015.
• Лотер, М. (2005). Прикладная комбинаторика слов . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 105. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-84802-2. MR  2165687. Zbl  1133.68067.
• Пифей Фогг, Н. (2002). Берте, Валери ; Ференци, Себастьен; Модуит, Кристиан; Сигел, Энн (ред.). Замены в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. Том. 1794. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44141-7. Збл  1014.11015.

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Фракталы Рози» .

• Топологические свойства фракталов Рози
• Замены, фракталы и мозаики Рози, Энн Сигел, 2009
• Фракталы Рози для свободных групповых автоморфизмов, 2006
• Подстановки Пизо и фракталы Рози
• Фракталы Рози
• Видео Numberphile о фракталах Рози и числах Трибоначчи