Приближение Стерлинга

В математике приближение Стирлинга (или формула Стирлинга ) является асимптотическим приближением для факториалов . Это хорошее приближение, приводящее к точным результатам даже для малых значений . Оно названо в честь Джеймса Стирлинга , хотя родственный, но менее точный результат был впервые сформулирован Абрахамом де Муавром . ^{[1] [2] [3]}${\displaystyle n}$

Один из способов сформулировать приближение включает логарифм факториала: где большая нотация O означает, что для всех достаточно больших значений разница между и будет не более чем пропорциональна логарифму . В приложениях компьютерной науки, таких как наихудшая нижняя граница для сортировки сравнения , удобно вместо этого использовать двоичный логарифм , давая эквивалентную форму Член ошибки в любом основании может быть выражен более точно как , что соответствует приближенной формуле для самого факториала, Здесь знак означает, что две величины являются асимптотическими, то есть их отношение стремится к 1 при стремлении к бесконечности.$${\ displaystyle \ ln (n!) = n \ ln n-n + O (\ ln n),}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle \ln(n!)}$${\displaystyle n\ln nn}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \log _{2}(n!)=n\log _{2}nn\log _{2}e+O(\log _{2}n).}$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\log(2\pi n)+O({\tfrac {1}{n}})}$$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$${\displaystyle \сим }$${\displaystyle n}$

Грубо говоря, простейшую версию формулы Стирлинга можно быстро получить, аппроксимировав сумму интегралом :$${\displaystyle \ln(n!)=\sum _{j=1}^{n}\ln j}$$$${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\ln j\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1.}$$

Полная формула вместе с точными оценками ее погрешности может быть получена следующим образом. Вместо аппроксимации , рассматривается ее натуральный логарифм , поскольку это медленно меняющаяся функция :${\displaystyle н!}$$${\displaystyle \ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.}$$

Правая часть этого уравнения минус есть приближение по правилу трапеций интеграла$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\ln 1+\ln n) = {\tfrac {1}{2}}\ln n}$$$${\displaystyle \ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln n\approx \int _{1}^{n}\ln x\,{\rm {d}}x=n\ln n-n+1,}$$

и ошибка в этом приближении определяется формулой Эйлера–Маклорена :$${\displaystyle {\begin{align}\ln(n!)-{\tfrac {1}{2}}\ln n&={\tfrac {1}{2}}\ln 1+\ln 2+\ln 3+\cdots +\ln(n-1)+{\tfrac {1}{2}}\ln n\\&=n\ln n-n+1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R_{m,n},\end{align}}}$$

где — число Бернулли , а R _{m , n} — остаточный член в формуле Эйлера–Маклорена. Возьмите пределы, чтобы найти, что${\displaystyle B_{k}}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty}\left(\ln(n!)-n\ln n+n-{\tfrac {1}{2}}\ln n\right)=1-\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty}R_{m,n}.}$$

Обозначим этот предел как . Поскольку остаток R _{m , n} в формуле Эйлера–Маклорена удовлетворяет условию${\displaystyle у}$$${\displaystyle R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right),}$$

где используется обозначение «большое О» , объединение приведенных выше уравнений дает приближенную формулу в логарифмической форме:$${\displaystyle \ln(n!)=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\tfrac {1}{2}}\ln n+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {(-1)^{k}B_{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right).}$$

Взяв показательную часть обеих сторон и выбрав любое положительное целое число , получаем формулу, содержащую неизвестную величину . Для m = 1 формула имеет вид${\displaystyle м}$${\displaystyle e^{y}}$$${\displaystyle n!=e^{y}{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$$

Величину можно найти, взяв предел с обеих сторон при стремлении к бесконечности и используя произведение Уоллиса , которое показывает, что . Таким образом, получаем формулу Стирлинга:${\displaystyle e^{y}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e^{y}={\sqrt {2\pi }}}$$${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$$

Альтернативная формула для использования гамма-функции (как можно увидеть с помощью повторного интегрирования по частям) имеет вид : Переписывая и меняя переменные x = ny , получаем Применяя метод Лапласа , получаем что восстанавливает формулу Стирлинга:${\displaystyle н!}$$${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}\,{\rm {d}}x.}$$$${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }e^{n\ln x-x}\,{\rm {d}}x=e^{n\ln n}n\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y.}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{n(\ln y-y)}\,{\rm {d}}y\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n},}$$$${\displaystyle n!\sim e^{n\ln n}n{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}e^{-n}={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

Фактически, дальнейшие поправки также могут быть получены с помощью метода Лапласа. Из предыдущего результата мы знаем, что , поэтому мы «отслаиваем» этот доминирующий член, затем выполняем две замены переменных, чтобы получить: Чтобы проверить это: .${\displaystyle \Gamma (x)\sim x^{x}e^{-x}}$$${\displaystyle x^{-x}e^{x}\Gamma (x)=\int _{\mathbb {R} }e^{x(1+t-e^{t})}dt}$$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }e^{x(1+t-e^{t})}dt{\overset {t\mapsto \ln t}{=}}e^{x}\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-xt}dt{\overset {t\mapsto t/x}{=}}x^{-x}e^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{x-1}dt=x^{-x}e^{x}\Gamma (x)}$

Теперь функция унимодальная, с максимальным значением ноль. Локально около нуля она выглядит как , поэтому мы можем выполнить метод Лапласа. Чтобы расширить метод Лапласа до более высоких порядков, мы выполняем еще одну замену переменных на . Это уравнение не может быть решено в замкнутой форме, но его можно решить последовательным расширением, что дает нам . Теперь вернемся к уравнению, чтобы получить обратите внимание, что нам не нужно на самом деле находить , так как он сокращается интегралом. Более высокие порядки могут быть достигнуты путем вычисления большего количества членов в , которые можно получить программно. ^{[примечание 1]}${\displaystyle t\mapsto 1+t-e^{t}}$${\displaystyle -t^{2}/2}$${\displaystyle 1+t-e^{t}=-\tau ^{2}/2}$${\displaystyle t=\tau -\tau ^{2}/6+\tau ^{3}/36+a_{4}\tau ^{4}+O(\tau ^{5})}$$${\displaystyle x^{-x}e^{x}\Gamma (x)=\int _{\mathbb {R} }e^{-x\tau ^{2}/2}(1-\tau /3+\tau ^{2}/12+4a_{4}\tau ^{3}+O(\tau ^{4}))d\tau ={\sqrt {2\pi }}(x^{-1/2}+x^{-3/2}/12)+O(x^{-5/2})}$$${\displaystyle a_{4}}$${\displaystyle t=\tau +\cdots }$

Таким образом, мы получаем формулу Стирлинга двух порядков:$${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\right).}$$

Комплексно-аналитическая версия этого метода ^[4] заключается в рассмотрении коэффициента Тейлора показательной функции , вычисляемого по интегральной формуле Коши как${\displaystyle {\frac {1}{n!}}}$${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$$${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{|z|=r}{\frac {e^{z}}{z^{n+1}}}\,\mathrm {d} z.}$$

Этот линейный интеграл затем может быть аппроксимирован с использованием метода седловой точки с соответствующим выбором радиуса контура . Доминирующая часть интеграла вблизи седловой точки затем аппроксимируется действительным интегралом и методом Лапласа, в то время как оставшаяся часть интеграла может быть ограничена сверху, чтобы получить член ошибки.${\displaystyle r=r_{n}}$

Альтернативная версия использует тот факт, что распределение Пуассона сходится к нормальному распределению по Центральной предельной теореме . ^[5]

Поскольку распределение Пуассона с параметром сходится к нормальному распределению со средним значением и дисперсией , их функции плотности будут примерно одинаковыми:${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {\exp(-\mu )\mu ^{x}}{x!}}\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi \mu }}}\exp(-{\frac {1}{2}}({\frac {x-\mu }{\sqrt {\mu }}}))}$

Оценка этого выражения в среднем значении, при котором приближение особенно точно, упрощает это выражение до:

${\displaystyle {\frac {\exp(-\mu )\mu ^{\mu }}{\mu !}}\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi \mu }}}}$

В результате ведения журналов получается:

${\displaystyle -\mu +\mu \ln \mu -\ln \mu !\approx -{\frac {1}{2}}\ln 2\pi \mu }$

который можно легко переставить, чтобы получить:

${\displaystyle \ln \mu !\approx \mu \ln \mu -\mu +{\frac {1}{2}}\ln 2\pi \mu }$

Оценка при дает обычную, более точную форму приближения Стирлинга.${\displaystyle \mu =n}$

Формула Стирлинга фактически является первым приближением к следующему ряду (теперь называемому рядом Стирлинга ): ^[6]$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right).}$$

Явная формула для коэффициентов в этом ряду была дана Г. Немешом. ^[7] Дополнительные члены перечислены в On-Line Encyclopedia of Integer Sequences как A001163 и A001164. Первый график в этом разделе показывает относительную погрешность по сравнению с , для 1 через все 5 членов, перечисленных выше. (Бендер и Орзаг ^[8] стр. 218) дает асимптотическую формулу для коэффициентов: которая показывает, что она растет сверхэкспоненциально, и что по тесту отношения радиус сходимости равен нулю.${\displaystyle n}$$${\displaystyle A_{2j+1}\sim (-1)^{j}2(2j)!/(2\pi )^{2(j+1)}}$$

При n → ∞ ошибка в усеченном ряду асимптотически равна первому пропущенному члену. Это пример асимптотического разложения . Это не сходящийся ряд ; для любого конкретного значения существует только определенное количество членов ряда, которые улучшают точность, после чего точность ухудшается. Это показано на следующем графике, который показывает относительную ошибку в зависимости от количества членов в ряду для большего количества членов. Точнее, пусть S ( n , t ) будет рядом Стирлинга для членов, оцененных при  . Графики показывают , что при малом значении по сути является относительной ошибкой.${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \left|\ln \left({\frac {S(n,t)}{n!}}\right)\right|,}$$

Записывая ряд Стирлинга в виде, известно, что ошибка при усечении ряда всегда имеет противоположный знак и самое большее ту же величину, что и первый пропущенный член. ^{[ необходима ссылка ]}$${\displaystyle \ln(n!)\sim n\ln n-n+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi n)+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots ,}$$

Другие границы, полученные Роббинсом ^[9], действительны для всех положительных целых чисел : Эта верхняя граница соответствует остановке вышеуказанного ряда для после члена. Нижняя граница слабее, чем та, которая получается остановкой ряда после члена . Более свободная версия этой границы — для всех .${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n+1}}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n}}.}$$${\displaystyle \ln(n!)}$${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$${\displaystyle {\frac {1}{n^{3}}}}$${\displaystyle {\frac {n!e^{n}}{n^{n+{\frac {1}{2}}}}}\in ({\sqrt {2\pi }},e]}$${\displaystyle n\geq 1}$

Для всех положительных целых чисел, где Γ обозначает гамма-функцию .$${\displaystyle n!=\Gamma (n+1),}$$

Однако гамма-функция, в отличие от факториала, определена более широко для всех комплексных чисел, кроме неположительных целых; тем не менее, формула Стирлинга все еще может быть применена. Если Re( z ) > 0 , то$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{z}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t.}$$

Повторное интегрирование по частям дает$${\displaystyle \ln \Gamma (z)\sim z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}},}$$

где - th число Бернулли (обратите внимание, что предел суммы as не сходится, поэтому эта формула является просто асимптотическим разложением ). Формула верна для достаточно больших по абсолютной величине значений, когда | arg( z ) | < π − ε , где ε положительно, с погрешностью O ( z ^{−2 N + 1} ) . Соответствующее приближение теперь можно записать:${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle z}$$${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\,{\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}$$

где разложение идентично разложению ряда Стирлинга выше для , за исключением того, что заменено на z − 1 . ^[10]${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$

Дальнейшее применение этого асимптотического разложения — для комплексного аргумента z с константой Re( z ) . См., например, формулу Стирлинга, примененную в Im( z ) = t тета-функции Римана –Зигеля на прямой ⁠1/4⁠ + это .

Для любого положительного целого числа вводятся следующие обозначения: и${\displaystyle N}$$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{z}}+\sum \limits _{n=1}^{N-1}{\frac {B_{2n}}{2n\left({2n-1}\right)z^{2n-1}}}+R_{N}(z)}$$$${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\left({\sum \limits _{n=0}^{N-1}{\frac {a_{n}}{z^{n}}}+{\widetilde {R}}_{N}(z)}\right).}$$

Тогда ^{[11] [12]}$${\displaystyle {\begin{aligned}|R_{N}(z)|&\leq {\frac {|B_{2N}|}{2N(2N-1)|z|^{2N-1}}}\times {\begin{cases}1&{\text{ if }}\left|\arg z\right|\leq {\frac {\pi }{4}},\\\left|\csc(2\arg z)\right|&{\text{ if }}{\frac {\pi }{4}}<\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\\sec ^{2N}\left({\tfrac {\arg z}{2}}\right)&{\text{ if }}\left|\arg z\right|<\pi ,\end{cases}}\\[6pt]\left|{\widetilde {R}}_{N}(z)\right|&\leq \left({\frac {\left|a_{N}\right|}{|z|^{N}}}+{\frac {\left|a_{N+1}\right|}{|z|^{N+1}}}\right)\times {\begin{cases}1&{\text{ if }}\left|\arg z\right|\leq {\frac {\pi }{4}},\\\left|\csc(2\arg z)\right|&{\text{ if }}{\frac {\pi }{4}}<\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Дополнительную информацию и другие пределы погрешности см. в цитируемых работах.

Томас Байес показал в письме Джону Кантону , опубликованном Королевским обществом в 1763 году, что формула Стирлинга не дает сходящегося ряда . ^[13] Получение сходящейся версии формулы Стирлинга влечет за собой оценку формулы Бине :$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{x}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t=\ln \Gamma (x)-x\ln x+x-{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{x}}.}$$

Один из способов сделать это — с помощью сходящегося ряда инвертированных растущих факториалов . Если тогда где где s ( n ,  k ) обозначает числа Стирлинга первого рода . Из этого получается версия ряда Стирлинга , которая сходится, когда Re( x ) > 0. Формула Стирлинга может быть также представлена ​​в сходящейся форме как ^[14] где $${\displaystyle z^{\bar {n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1),}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan \left({\frac {t}{x}}\right)}{e^{2\pi t}-1}}\,{\rm {d}}t=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(x+1)^{\bar {n}}}},}$$$${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}x^{\bar {n}}\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {k|s(n,k)|}{(k+1)(k+2)}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Gamma (x)&=x\ln x-x+{\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {2\pi }{x}}+{\frac {1}{12(x+1)}}+{\frac {1}{12(x+1)(x+2)}}+\\&\quad +{\frac {59}{360(x+1)(x+2)(x+3)}}+{\frac {29}{60(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}}+\cdots ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \Gamma (x)={\sqrt {2\pi }}x^{x-{\frac {1}{2}}}e^{-x+\mu (x)}}$$$${\displaystyle \mu \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\left(x+n+{\frac {1}{2}}\right)\ln \left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)-1\right).}$$

Аппроксимация и ее эквивалентная форма могут быть получены путем перестановки расширенной формулы Стирлинга и наблюдения совпадения между полученным степенным рядом и расширением ряда Тейлора функции гиперболического синуса . Это приближение хорошо для более чем 8 десятичных знаков для z с действительной частью больше 8. Роберт Х. Виндшитл предложил его в 2002 году для вычисления гамма-функции с достаточной точностью на калькуляторах с ограниченной памятью программы или регистра. ^[15]$${\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}}$$$${\displaystyle 2\ln \Gamma (z)\approx \ln(2\pi )-\ln z+z\left(2\ln z+\ln \left(z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}\right)-2\right)}$$

В 2007 году Гергё Немеш предложил приближение, которое дает то же количество точных цифр, что и приближение Виндшитля, но является гораздо более простым: ^[16] или, что эквивалентно,$${\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {1}{e}}\left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)\right)^{z},}$$$${\displaystyle \ln \Gamma (z)\approx {\tfrac {1}{2}}\left(\ln(2\pi )-\ln z\right)+z\left(\ln \left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)-1\right).}$$

Альтернативное приближение для гамма-функции, изложенное Шринивасой Рамануджаном в утерянной записной книжке Рамануджана ^[17] , относится к x ≥ 0. Эквивалентное приближение для ln n ! имеет асимптотическую погрешность ⁠$${\displaystyle \Gamma (1+x)\approx {\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac {1}{30}}\right)^{\frac {1}{6}}}$$1/1400 н ³⁠ и дается$${\displaystyle \ln n!\approx n\ln n-n+{\tfrac {1}{6}}\ln(8n^{3}+4n^{2}+n+{\tfrac {1}{30}})+{\tfrac {1}{2}}\ln \pi .}$$

Приближение можно сделать точным, задав парные верхние и нижние границы; одно из таких неравенств: ^{[18] [19] [20] [21]}$${\displaystyle {\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac {1}{100}}\right)^{1/6}<\Gamma (1+x)<{\sqrt {\pi }}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(8x^{3}+4x^{2}+x+{\frac {1}{30}}\right)^{1/6}.}$$

Формула была впервые открыта Абрахамом де Муавром ^[2] в виде$${\displaystyle n!\sim [{\rm {constant}}]\cdot n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}.}$$

Де Муавр дал приблизительное рациональное числовое выражение для натурального логарифма константы. Вклад Стерлинга состоял в том, что он показал, что константа равна точно . ^[3]${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$

• приближение Ланцоша
• Приближение Споуга

• Абрамовиц, М. и Стеган, И. (2002), Справочник по математическим функциям
• Париж, Р. Б. и Камински, Д. (2001), Асимптотика и интегралы Меллина–Барнса , Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79001-7
• Уиттакер, ET и Уотсон, GN (1996), Курс современного анализа (4-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2
• Ромик, Дэн (2000), «Приближение Стирлинга для : окончательное короткое доказательство?», The American Mathematical Monthly , 107 (6): 556– 557, doi : 10.2307/2589351, JSTOR  2589351, MR  1767064${\displaystyle n!}$
• Ли, Юань-Чуань (июль 2006 г.), «Заметка о тождестве гамма-функции и формулы Стирлинга», Real Analysis Exchange , 32 (1): 267– 271, MR  2329236

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Приближение Стерлинга» .

• "Stirling_formula", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Питер Лушни, Формулы приближения для факториальной функции n!
• Вайсштейн, Эрик В. , «Приближение Стирлинга», MathWorld
• Приближение Стирлинга на PlanetMath .