Медленно меняющаяся функция

В реальном анализе , разделе математики , медленно меняющаяся функция — это функция действительной переменной , поведение которой на бесконечности в некотором смысле похоже на поведение функции, сходящейся на бесконечности. Аналогично, регулярно меняющаяся функция — это функция действительной переменной, поведение которой на бесконечности похоже на поведение степенной функции (например, полинома ) вблизи бесконечности. Оба эти класса функций были введены Йованом Караматой , ^{[1] [2]} и нашли несколько важных приложений, например, в теории вероятностей .

Определение 1. Измеримая функция L  : (0, +∞) → (0, +∞) называется медленно меняющейся (на бесконечности), если для всех a > 0

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}=1.}$

Определение 2. Пусть L  : (0, +∞) → (0, +∞) . Тогда L является правильно меняющейся функцией тогда и только тогда, когда . В частности, предел должен быть конечным.${\displaystyle \forall a>0,g_{L}(a)=\lim _{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}\in \mathbb {R} ^{+}}$

Эти определения принадлежат Йовану Карамате . ^{[1] [2]}

Регулярно меняющиеся функции обладают некоторыми важными свойствами: ^[1] частичный список из них приведен ниже. Более обширный анализ свойств, характеризующих регулярную вариацию, представлен в монографии Бингама, Голди и Тьюгелса (1987).

Теорема 1. Предел в определениях 1 и 2 равномерен , если a ограничено компактным интервалом .

Теорема 2. Всякая правильно меняющаяся функция f  : (0, +∞) → (0, +∞) имеет вид

${\displaystyle f(x)=x^{\beta}L(x)}$

где

• β — действительное число ,
• L — медленно меняющаяся функция.

Примечание . Это подразумевает, что функция g ( a ) в определении 2 обязательно должна иметь следующий вид

${\displaystyle g(a)=a^{\rho }}$

где действительное число ρ называется индексом регулярной вариации .

Теорема 3. Функция L медленно меняется тогда и только тогда, когда существует B > 0 такое, что для всех x ≥ B функцию можно записать в виде

${\displaystyle L(x)=\exp \left(\eta (x)+\int _{B}^{x}{\frac {\varepsilon (t)}{t}}\,dt\right)}$

где

• η ( x ) — ограниченная измеримая функция действительной переменной, сходящаяся к конечному числу при x, стремящемся к бесконечности.
• ε ( x ) — ограниченная измеримая функция действительной переменной, стремящаяся к нулю при стремлении x к бесконечности.

• Если L — измеримая функция и имеет предел

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }L(x)=b\in (0,\infty ),}$

тогда L — медленно меняющаяся функция.

• Для любого β ∈ R функция L ( x ) = log ^β x  медленно меняется.
• Функция L ( x ) =  x не является медленно меняющейся, как и L ( x ) =  x ^β для любого действительного β  ≠ 0. Однако эти функции регулярно меняются.

• Аналитическая теория чисел
• Тауберова теорема Харди–Литтлвуда и ее трактовка Караматой

• Бингем, Нью-Гэмпшир (2001) [1994], «Теория Караматы», Энциклопедия математики , EMS Press
• Bingham, NH; Goldie, CM; Teugels, JL (1987), Регулярная вариация , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 27, Кембридж : Cambridge University Press , ISBN 0-521-30787-2, MR  0898871, Zbl  0617.26001
• Галамбос, Дж.; Сенета, Э. (1973), «Правильно изменяющиеся последовательности», Труды Американского математического общества , 41 (1): 110– 116, doi : 10.2307/2038824 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2038824.