Приближение Споуга

В математике приближение Спуджа — это формула для вычисления приближения гамма -функции . Она была названа в честь Джона Л. Спуджа, который определил формулу в статье 1994 года. [1] Формула является модификацией приближения Стирлинга и имеет вид

Г ( з + 1 ) = ( з + а ) з + 1 2 е − з − а ( с 0 + ∑ к = 1 а − 1 с к з + к + ε а ( з ) ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=(z+a)^{z+{\frac {1}{2}}}e^{-za}\left(c_{0}+\sum _{k= 1}^{a-1}{\frac {c_{k}}{z+k}}+\varepsilon _{a}(z)\right)}

где a — произвольное положительное целое число, а коэффициенты задаются формулой

с 0 = 2 π с к = ( − 1 ) к − 1 ( к − 1 ) ! ( − к + а ) к − 1 2 е − к + а к ∈ { 1 , 2 , … , а − 1 } . {\displaystyle {\begin{align}c_{0}&={\sqrt {2\pi }}\\c_{k}&={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}(-k+a)^{k-{\frac {1}{2}}}e^{-k+a}\qquad k\in \{1,2,\dots ,a-1\}.\end{align}}}

Споуг доказал, что если Re( z ) > 0 и a  > 2, то относительная ошибка отбрасывания ε a ( z ) ограничена

а − 1 2 ( 2 π ) − а − 1 2 . {\displaystyle a^{- {\frac {1}{2}}}(2\pi )^{-a-{\frac {1}{2}}}.}

Формула похожа на приближение Ланцоша , но имеет некоторые отличительные особенности. [2] В то время как формула Ланцоша демонстрирует более быструю сходимость, коэффициенты Споуджа гораздо проще вычислить, а погрешность можно установить произвольно низкой. Таким образом, формула применима для оценки гамма-функции с произвольной точностью . Однако следует проявлять особую осторожность, чтобы использовать достаточную точность при вычислении суммы из-за большого размера коэффициентов c k , а также их переменного знака. Например, для a  = 49 необходимо вычислить сумму, используя около 65 десятичных знаков точности, чтобы получить обещанные 40 десятичных знаков точности.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Spouge, John L. (1994). «Вычисление гамма-, дигамма- и тригамма-функций». Журнал SIAM по численному анализу . 31 (3): 931–000. doi :10.1137/0731050. JSTOR  2158038.
  2. ^ * Пью, Глендон (2004). Анализ гамма-приближения Ланцоша (PDF) (диссертация).
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Spouge%27s_approximation&oldid=1189646001"