Смешанный объем

В математике , а точнее, в выпуклой геометрии , смешанный объем — это способ связать неотрицательное число с кортежем выпуклых тел в . Это число зависит от размера и формы тел, а также их относительной ориентации друг к другу.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Пусть – выпуклые тела в и рассмотрим функцию${\displaystyle K_{1},K_{2},\точки ,K_{r}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\mathrm {Vol} _{n}(\lambda _{1}K_{1}+\cdots +\lambda _{r}K_{r}),\qquad \lambda _{i}\geq 0,}$

где обозначает -мерный объем, а его аргумент — сумма Минковского масштабированных выпуклых тел . Можно показать, что — однородный многочлен степени , поэтому может быть записан как${\displaystyle {\text{Объем}}_{н}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},}$

где функции симметричны. Для конкретной индексной функции коэффициент называется смешанным объемом .${\displaystyle V}$${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}}$${\displaystyle V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})}$${\displaystyle K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}}}$

• Смешанный объем однозначно определяется следующими тремя свойствами:

1. ${\displaystyle V(K,\dots ,K)={\text{Vol}}_{n}(K)}$;
2. ${\displaystyle V}$симметричен в своих аргументах;
3. ${\displaystyle V}$является полилинейным: для .${\displaystyle V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots,K_{n}) = \lambda V(K,K_{2},\dots,K_{n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots,K_{n})}$${\displaystyle \lambda,\lambda '\geq 0}$

• Смешанный объем неотрицателен и монотонно возрастает по каждой переменной: для .${\displaystyle V(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots ,K_{n})}$${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{1}'}$
• Неравенство Александрова–Фенхеля, открытое Александром Даниловичем Александровым и Вернером Фенхелем :

${\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}$

Многочисленные геометрические неравенства, такие как неравенство Брунна–Минковского для выпуклых тел и первое неравенство Минковского , являются частными случаями неравенства Александрова–Фенхеля.

Пусть будет выпуклым телом и пусть будет евклидов шар единичного радиуса. Смешанный объем${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle B=B_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle W_{j}(K)=V({\overset {n-j{\text{ times}}}{\overbrace {K,K,\ldots ,K} }},{\overset {j{\text{ times}}}{\overbrace {B,B,\ldots ,B} }})}$

называется j -м интегралом quermass . ^[1]${\displaystyle K}$

Определение смешанного объема приводит к формуле Штейнера (названной в честь Якоба Штейнера ):

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}.}$

j - й собственный объем представляет собой другую нормализацию интеграла quermass, определяемого как${\displaystyle K}$

${\displaystyle V_{j}(K)={\binom {n}{j}}{\frac {W_{n-j}(K)}{\kappa _{n-j}}},}$или другими словами${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}V_{j}(K)\,\mathrm {Vol} _{n-j}(tB_{n-j}).}$

где - объем -мерного единичного шара.${\displaystyle \kappa _{n-j}={\text{Vol}}_{n-j}(B_{n-j})}$${\displaystyle (n-j)}$

Теорема Хадвигера утверждает, что всякая оценка на выпуклых телах в , которая непрерывна и инвариантна относительно жестких движений, является линейной комбинацией интегралов квермасса (или, что эквивалентно, внутренних объемов). ^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Бураго, Ю.Д. (2001) [1994], "Теория смешанного объема", Энциклопедия математики , Издательство EMS