Теорема Брунна–Минковского

В математике теорема Брунна–Минковского (или неравенство Брунна–Минковского ) — неравенство, связывающее объёмы (или, в более общем смысле, меры Лебега ) компактных подмножеств евклидова пространства . Первоначальная версия теоремы Брунна–Минковского ( Герман Брунн 1887; Герман Минковский 1896) применялась к выпуклым множествам; обобщение на компактные невыпуклые множества, изложенное здесь, принадлежит Лазарю Люстернику (1935).

Заявление

Пусть n ≥ 1 и пусть μ обозначает меру Лебега на R ⁿ . Пусть A и B — два непустых компактных подмножества R ⁿ . Тогда выполняется следующее неравенство :

[\mu (A+B)]^{1/n}\geq [\mu (A)]^{1/n}+[\mu (B)]^{1/n},

где A + B обозначает сумму Минковского :

A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.

Теорема также верна в условиях, когда предполагается, что они измеримы и непусты. ^[1] ${\textstyle А,Б,А+Б}$

Мультипликативная версия

Мультипликативная форма неравенства Брунна–Минковского утверждает, что для всех . ${\textstyle \mu (\lambda A+(1-\lambda)B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}$ ${\textstyle \lambda \in [0,1]}$

Неравенство Брунна–Минковского эквивалентно мультипликативной версии.

В одном направлении используем неравенство (экспонента выпукла), которое справедливо для . В частности, . ${\textstyle \lambda x+(1-\lambda)y\geq x^{\lambda }y^{1-\lambda }}$ ${\textstyle x,y\geq 0,\lambda \in [0,1]}$ ${\textstyle \mu (\lambda A+(1-\lambda)B)\geq (\lambda \mu (A)^{1/n}+(1-\lambda)\mu (B)^{1/n})^{n}\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}$

Наоборот, используя мультипликативную форму, находим

${\textstyle \mu (A+B)=\mu (\lambda {\frac {A}{\lambda }}+(1-\lambda ){\frac {B}{1-\lambda }})\geq {\frac {\mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}{\lambda ^{n\lambda }(1-\лямбда)^{n(1-\лямбда)}}}}$

Правая сторона максимальна при , что дает $\lambda ={\frac {1}{1+e^{C}}},C={\frac {1}{n}}\ln {\frac {\mu (A)}{\mu (B)}}$

${\textstyle \mu (A+B)\geq (\mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n})^{n}}$ .

Неравенство Прекопы –Лейндлера является функциональным обобщением этой версии неравенства Брунна–Минковского.

О гипотезе

Измеримость

Возможно быть измеримым по Лебегу и не быть таковым; контрпример можно найти в "Измерение нулевых множеств с неизмеримой суммой". С другой стороны, если являются измеримыми по Борелю, то является непрерывным образом множества Бореля , поэтому аналитично и, следовательно, измеримо. См. обсуждение в обзоре Гарднера для получения дополнительной информации по этому вопросу, а также способов избежать гипотезы измеримости. ${\textstyle А,Б}$ ${\textstyle А+Б}$ ${\textstyle А,Б}$ ${\textstyle А+Б}$ ${\textstyle А\умножить на Б}$

В случае, если A и B компактны, то также компактно и A + B , являясь образом компактного множества при отображении непрерывного сложения: , поэтому условия измеримости легко проверить. ${\textstyle А\умножить на Б}$ ${\textstyle +:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

Непустота

Условие, что оба непусты, очевидно, необходимо. Это условие не является частью мультипликативных версий BM, указанных ниже. ${\textstyle А,Б}$

Доказательства

Приведем два известных доказательства Брунна–Минковского.

Геометрическое доказательство с помощью кубоидов и теории меры

Мы приводим хорошо известный аргумент, который следует общему рецепту аргументов в теории меры; а именно, он устанавливает простой случай прямым анализом, использует индукцию для установления финитного расширения этого частного случая, а затем использует общую технику для получения общего случая в качестве предела. Обсуждение этой истории этого доказательства можно найти в теореме 4.1 в обзоре Гарднера по Брунну–Минковскому.

Мы доказываем версию теоремы Брунна–Минковского, для которой требуется только измеримость и непустота. ${\textstyle А,Б,А+Б}$

Случай, когда A и B — это выровненные по осям блоки:

В силу инвариантности объемов относительно трансляции достаточно взять . Тогда . В этом частном случае неравенство Брунна–Минковского утверждает, что . После деления обеих частей на это следует из неравенства AM–GM : . ${\textstyle A=\prod _{i=1}^{n}[0,a_{i}],B=\prod _{i=1}^{n}[0,b_{i}]}$ ${\textstyle A+B=\prod _{i=1}^{n}[0,a_{i}+b_{i}]}$ ${\textstyle \prod (a_{i}+b_{i})^{1/n}\geq \prod a_{i}^{1/n}+\prod b_{i}^{1/n}}$ ${\textstyle \prod (a_{i}+b_{i})^{1/n}}$ ${\textstyle (\prod {\frac {a_{i}}{a_{i}+b_{i}}})^{1/n}+(\prod {\frac {b_{i}}{a_{i}+b_{i}}})^{1/n}\leq \sum {\frac {1}{n}}{\frac {a_{i}+b_{i}}{a_{i}+b_{i}}}=1}$

Случай, когда A и B являются непересекающимися объединениями конечного числа таких ящиков:

Мы будем использовать индукцию по общему числу ящиков, где предыдущий расчет устанавливает базовый случай двух ящиков. Во-первых, мы замечаем, что существует выровненная по осям гиперплоскость H , такая, что каждая сторона H содержит целый ящик A. Чтобы увидеть это, достаточно свести к случаю, когда A состоит из двух ящиков, а затем вычислить, что отрицание этого утверждения подразумевает, что два ящика имеют общую точку.

Для тела X обозначим пересечения X с «правым» и «левым» полупространствами, определяемыми H. Снова отмечая, что утверждение Брунна–Минковского инвариантно относительно трансляции, мы затем транслируем B так, что ; такой трансляционный перенос существует по теореме о промежуточном значении, поскольку является непрерывной функцией, если v перпендикулярна H, имеет предельные значения 0 и при , поэтому в некоторой точке принимает значение . ${\textstyle X^{-},X^{+}}$ ${\textstyle {\frac {\mu (A^{+})}{\mu (B^{+})}}={\frac {\mu (A^{-})}{\mu (B^{-})}}}$ ${\textstyle т\к \му ((Б+тв)^{+})}$ ${\textstyle {\frac {\mu ((B+tv)^{+})}{\mu ((B+tv)^{-})}}}$ ${\textstyle \infty}$ $t\to -\infty ,t\to \infty$ ${\textstyle {\frac {\mu (A^{+})}{\mu (A^{-})}}}$

Теперь у нас есть все необходимое для завершения шага индукции. Во-первых, заметим, что и являются непересекающимися подмножествами , и поэтому Теперь оба имеют на один ящик меньше, чем A , в то время как каждое имеет не более того же количества ящиков, что и B. Таким образом, мы можем применить гипотезу индукции: и . ${\textstyle А^{+}+Б^{+}}$ $А^{-}+В^{-}$ ${\textstyle А+Б}$ ${\textstyle \mu (A+B)\geq \mu (A^{+}+B^{+})+\mu (A^{-}+B^{-}).}$ ${\textstyle А^{+},А^{-}}$ ${\textstyle Б^{+},Б^{-}}$ ${\textstyle \mu (A^{+}+B^{+})\geq (\mu (A^{+})^{1/n}+\mu (B^{+})^{1/n})^{n}}$ ${\textstyle \mu (A^{-}+B^{-})\geq (\mu (A^{-})^{1/n}+\mu (B^{-})^{1/n})^{n}}$

Элементарная алгебра показывает, что если , то также , поэтому мы можем вычислить: ${\textstyle {\frac {\mu (A^{+})}{\mu (B^{+})}}={\frac {\mu (A^{-})}{\mu (B^{-})}}}$ ${\textstyle {\frac {\mu (A^{+})}{\mu (B^{+})}}={\frac {\mu (A^{-})}{\mu (B^{-})}}={\frac {\mu (A)}{\mu (B)}}}$

{\begin{align}\mu (A+B)\geq \mu (A^{+}+B^{+})+\mu (A^{-}+B^{-})\geq (\mu (A^{+})^{1/n}+\mu (B^{+})^{1/n})^{n}+(\mu (A^{-})^{1/n}+\mu (B^{-})^{1/n})^{n}\\=\mu (B^{+})(1+{\frac {\mu (A^{+})^{1/n}}{\mu (B^{+})^{1/n}}})^{n}+\mu (B^{-})(1+{\frac {\mu (A^{-})^{1/n}}{\mu (B^{-})^{1/n}}})^{n}=(1+{\frac {\mu (A)^{1/n}}{\mu (B)^{1/n}}})^{n}(\mu (B^{+})+\mu (B^{-}))=(\mu (B)^{1/n}+\mu (A)^{1/n})^{n}\end{aligned}}

Случай, когда A и B — ограниченные открытые множества:

В этой ситуации оба тела могут быть аппроксимированы произвольно хорошо объединениями непересекающихся прямоугольников с выровненными осями, содержащихся в их внутренней части; это следует из общих фактов о мере Лебега открытых множеств. То есть, у нас есть последовательность тел , которые являются непересекающимися объединениями конечного числа прямоугольников с выровненными осями, где , и аналогично . Тогда мы имеем, что , так что . Правая часть сходится к как , устанавливая этот особый случай. ${\textstyle A_{k}\subseteq A}$ ${\textstyle \mu (A\setminus A_{k})\leq 1/k}$ ${\textstyle B_{k}\subseteq B}$ ${\textstyle A+B\supseteq A_{k}+B_{k}}$ ${\textstyle \mu (A+B)^{1/n}\geq \mu (A_{k}+B_{k})^{1/n}\geq \mu (A_{k})^{1/n}+\mu (B_{k})^{1/n}}$ ${\textstyle \mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n}}$ ${\textstyle к\до \infty}$

Случай, когда A и B являются компактными множествами:

Для компактного тела X , определим как -утолщение X. Здесь каждый - открытый шар радиуса , так что - ограниченное открытое множество. , так что если X компактно, то . Используя ассоциативность и коммутативность суммы Минковского, вместе с предыдущим случаем, мы можем вычислить, что . Отправка в 0 устанавливает результат. ${\textstyle X_{\epsilon }=X+B(0,\epsilon )}$ ${\textstyle \epsilon}$ ${\textstyle B(0,\epsilon )}$ ${\textstyle \epsilon }$ ${\textstyle X_{\epsilon }}$ ${\textstyle \bigcap _{\epsilon >0}X_{\epsilon }={\text{cl}}(X)}$ ${\textstyle \lim _{\epsilon \to 0}\mu (X_{\epsilon })=\mu (X)}$ ${\textstyle \mu ((A+B)_{2\epsilon })^{1/n}=\mu (A_{\epsilon }+B_{\epsilon })^{1/n}\geq \mu (A_{\epsilon })^{1/n}+\mu (B_{\epsilon })^{1/n}}$ ${\textstyle \epsilon }$

Случай ограниченных измеримых множеств:

Напомним, что по теореме о регулярности для меры Лебега для любого ограниченного измеримого множества X и для любого существует компактное множество с . Таким образом, для всех k, используя случай Брунна–Минковского, показанный для компактных множеств. Отправка устанавливает результат. ${\textstyle k>\geq }$ ${\textstyle X_{k}\subseteq X}$ ${\textstyle \mu (X\setminus X_{k})<1/k}$ ${\textstyle \mu (A+B)\geq \mu (A_{k}+B_{k})\geq (\mu (A_{k})^{1/n}+\mu (B_{k})^{1/n})^{n}}$ ${\textstyle k\to \infty }$

Случай измеримых множеств:

Допустим , и снова рассуждаем, используя предыдущий случай, что , отсюда следует результат, устремляя k к бесконечности. ${\textstyle A_{k}=[-k,k]^{n}\cap A,B_{k}=[-k,k]^{n}\cap B}$ ${\textstyle \mu (A+B)\geq \mu (A_{k}+B_{k})\geq (\mu (A_{k})^{1/n}+\mu (B_{k})^{1/n})^{n}}$

Доказательство как следствие неравенства Прекопы–Лейндлера

Мы приводим доказательство неравенства Брунна–Минковского как следствие неравенства Прекопы–Лейндлера , функциональной версии неравенства BM. Сначала мы докажем PL, а затем покажем, что PL влечет мультипликативную версию BM, затем покажем, что мультипликативный BM влечет аддитивный BM. Аргумент здесь проще, чем доказательство с помощью кубоидов, в частности, нам нужно доказать неравенство BM только в одном измерении. Это происходит потому, что более общее утверждение PL-неравенства, чем BM-неравенство, допускает индукционный аргумент.

Мультипликативная форма неравенства БМ

Во-первых, неравенство Брунна–Минковского подразумевает мультипликативную версию, использующую неравенство , которое справедливо для . В частности, . Неравенство Прекопы–Лейндлера является функциональным обобщением этой версии неравенства Брунна–Минковского. ${\textstyle \lambda x+(1-\lambda )y\geq x^{\lambda }y^{\lambda }}$ ${\textstyle x,y\geq 0,\lambda \in [0,1]}$ ${\textstyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq (\lambda \mu (A)^{1/n}+(1-\lambda )\mu (B)^{1/n})^{n}\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}$

Неравенство Прекопы–Лейндлера

Теорема ( неравенство Прекопы–Лейндлера ) : Фикс . Пусть — неотрицательные измеримые функции, удовлетворяющие для всех . Тогда . ${\textstyle \lambda \in (0,1)}$ ${\textstyle f,g,h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\textstyle h(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq f(x)^{\lambda }g(y)^{1-\lambda }}$ ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)dx\geq (\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)dx)^{\lambda }(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)dx)^{1-\lambda }}$

Доказательство (в основном после этой лекции):

Нам понадобится одномерная версия BM, а именно, если измеримы, то . Во-первых, предположив, что ограничены, мы сдвигаем так, что . Таким образом, , откуда по почти несвязности имеем, что . Затем мы переходим к неограниченному случаю, фильтруя с интервалами ${\textstyle A,B,A+B\subseteq \mathbb {R} }$ ${\textstyle \mu (A+B)\geq \mu (A)+\mu (B)}$ ${\textstyle A,B}$ ${\textstyle A,B}$ ${\textstyle A\cap B=\{0\}}$ ${\textstyle A+B\supset A\cup B}$ ${\textstyle \mu (A+B)\geq \mu (A)+\mu (B)}$ ${\textstyle [-k,k].}$

Сначала покажем случай неравенства PL. Пусть . . Таким образом, по одномерной версии Брунна–Минковского имеем, что . Напомним, что если неотрицательно, то теорема Фубини влечет . Тогда имеем, что , где на последнем шаге используем взвешенное неравенство AM–GM , которое утверждает, что для . ${\textstyle n=1}$ ${\textstyle L_{h}(t)=\{x:h(x)\geq t\}}$ ${\textstyle L_{h}(t)\supseteq \lambda L_{f}(t)+(1-\lambda )L_{g}(t)}$ ${\textstyle \mu (L_{h}(t))\geq \mu (\lambda L_{f}(t)+(1-\lambda )L_{g}(t))\geq \lambda \mu (L_{f}(t))+(1-\lambda )\mu (L_{g}(t))}$ ${\textstyle f(x)}$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }h(x)dx=\int _{t\geq 0}\mu (L_{h}(t))dt}$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }h(x)dx=\int _{t\geq 0}\mu (L_{h}(t))dt\geq \lambda \int _{t\geq 0}\mu (L_{f}(t))+(1-\lambda )\int _{t\geq 0}\mu (L_{g}(t))=\lambda \int _{\mathbb {R} }f(x)dx+(1-\lambda )\int _{\mathbb {R} }g(x)dx\geq (\int _{\mathbb {R} }f(x)dx)^{\lambda }(\int _{\mathbb {R} }g(x)dx)^{1-\lambda }}$ ${\textstyle \lambda x+(1-\lambda )y\geq x^{\lambda }y^{1-\lambda }}$ ${\textstyle \lambda \in (0,1),x,y\geq 0}$

Теперь докажем случай. Для мы выбираем и устанавливаем . Для любого c мы определяем , то есть определяем новую функцию от n-1 переменных, устанавливая последнюю переменную равной . Применяя гипотезу и не делая ничего, кроме формальной манипуляции определениями, мы получаем, что . ${\textstyle n>1}$ ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} ^{n-1},\alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ ${\textstyle \lambda \in [0,1]}$ ${\textstyle \gamma =\lambda \alpha +(1-\lambda )\beta }$ ${\textstyle h_{c}(x)=h(x,c)}$ ${\textstyle c}$ ${\textstyle h_{\gamma }(\lambda x+(1-\lambda )y)=h(\lambda x+(1-\lambda )y,\lambda \alpha +(1-\lambda )\beta ))=h(\lambda (x,\alpha )+(1-\lambda )(y,\beta ))\geq f(x,\alpha )^{\lambda }g(y,\beta )^{1-\lambda }=f_{\alpha }(x)^{\lambda }g_{\beta }(y)^{1-\lambda }}$

Таким образом, по индуктивному случаю, примененному к функциям , получаем . Аналогично определяем и . В этих обозначениях предыдущее вычисление можно переписать как: . Поскольку мы доказали это для любого фиксированного , это означает, что функция удовлетворяет гипотезе для одномерной версии теоремы PL. Таким образом, мы имеем, что , подразумевая утверждение теоремы Фубини. QED ${\textstyle h_{\gamma },f_{\alpha },g_{\beta }}$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}h_{\gamma }(z)dz\geq (\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}f_{\alpha }(z)dz)^{\lambda }(\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}g_{\beta }(z)dz)^{1-\lambda }}$ ${\textstyle H(\gamma ):=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}h_{\gamma }(z)dz}$ ${\textstyle F(\alpha ),G(\beta )}$ ${\textstyle H(\lambda \alpha +(1-\lambda )\beta )\geq F(\alpha )^{\lambda }G(\beta )^{1-\lambda }}$ ${\textstyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ ${\textstyle H,F,G}$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }H(\gamma )d\gamma \geq (\int _{\mathbb {R} }F(\alpha )d\alpha )^{\lambda }(\int _{\mathbb {R} }F(\beta )d\beta )^{1-\lambda }}$

PL подразумевает мультипликативный BM

Мультипликативная версия неравенства Брунна–Минковского следует из неравенства PL, если взять . ${\textstyle h=1_{\lambda A+(1-\lambda )B},f=1_{A},g=1_{B}}$

Мультипликативный BM подразумевает аддитивный BM

Теперь мы объясним, как вывести BM-неравенство из PL-неравенства. Во-первых, используя индикаторные функции для неравенства Прекопы–Лейндлера, быстро получаем мультипликативную версию неравенства Брунна–Минковского: . Теперь мы покажем, как мультипликативное BM-неравенство подразумевает обычную, аддитивную версию. ${\textstyle A,B,\lambda A+(1-\lambda )B}$ ${\textstyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda }}$

Мы предполагаем, что оба A,B имеют положительный объем, так как в противном случае неравенство тривиально, и нормализуем их так, чтобы они имели объем 1, установив . Мы определяем ; . С этими определениями и используя то, что , мы вычисляем с помощью мультипликативного неравенства Брунна–Минковского, что: ${\textstyle A'={\frac {A}{\mu (A)^{1/n}}},B'={\frac {B}{\mu (B)^{1/n}}}}$ ${\textstyle \lambda '={\frac {\lambda \mu (B)^{1/n}}{(1-\lambda )\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}}}}$ ${\textstyle 1-\lambda '={\frac {(1-\lambda )\mu (A)^{1/n}}{(1-\lambda )\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}}}}$ ${\textstyle \mu (A')=\mu (B')=1}$

\mu ({\frac {(1-\lambda )A+\lambda B}{(1-\lambda )\mu (A)^{1/n}+\lambda \mu (B)^{1/n}}})=\mu ((1-\lambda ')A'+\lambda 'B)\geq \mu (A')^{1-\lambda '}\mu (B')^{\lambda '}=1.

Аддитивная форма Брунна–Минковского теперь получается путем вытягивания масштабирования из самого левого вычисления объема и перестановки.

Важные следствия

Неравенство Брунна–Минковского дает много информации о геометрии многомерных выпуклых тел. В этом разделе мы набросаем некоторые из этих идей.

Вогнутость функции радиуса (теорема Брунна)

Рассмотрим выпуклое тело . Пусть будут вертикальными срезами K. Определим как функцию радиуса; если срезы K являются дисками, то r(x) дает радиус диска K(x) , с точностью до константы. Для более общих тел эта функция радиуса , по-видимому, не имеет полностью ясной геометрической интерпретации, кроме как радиус диска, полученного путем упаковки объема среза как можно ближе к началу координат; в случае, когда K(x) не является диском, пример гиперкуба показывает, что среднее расстояние до центра масс может быть намного больше, чем r(x). Иногда в контексте выпуклой геометрии функция радиуса имеет другое значение, здесь мы следуем терминологии этой лекции. ${\textstyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle K(x)=K\cap \{x_{1}=x\}}$ ${\textstyle r(x)=\mu (K(x))^{\frac {1}{n-1}}}$

В силу выпуклости K имеем , что . Применение неравенства Брунна–Минковского дает , при условии . Это показывает, что функция радиуса вогнута на своем носителе, что соответствует интуитивному представлению о том, что выпуклое тело не погружается в себя ни по какому направлению. Этот результат иногда называют теоремой Брунна. ${\textstyle K(\lambda x+(1-\lambda )y)\supseteq \lambda K(x)+(1-\lambda )K(y)}$ ${\textstyle r(K(\lambda x+(1-\lambda )y))\geq \lambda r(K(x))+(1-\lambda )r(K(y))}$ ${\textstyle K(x)\not =\emptyset ,K(y)\not =\emptyset }$

Симметризация Брунна–Минковского выпуклого тела

Снова рассмотрим выпуклое тело . Зафиксируем некоторую линию и для каждой обозначим аффинную гиперплоскость, ортогональную к , которая проходит через . Определим, ; как обсуждалось в предыдущем разделе, эта функция вогнута. Теперь пусть . То есть получается из заменой каждого среза на диск того же -мерного объема с центром внутри . Вогнутость функции радиуса, определенной в предыдущем разделе, подразумевает, что она выпукла. Эта конструкция называется симметризацией Брунна–Минковского. ${\textstyle K}$ ${\textstyle l}$ ${\textstyle t\in l}$ ${\textstyle H_{t}}$ ${\textstyle l}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle r(t)=Vol(K\cap H_{t})}$ ${\textstyle K'=\bigcup _{t\in l,K\cap H_{t}\not =\emptyset }B(t,r(t))\cap H_{t}}$ ${\textstyle K'}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle H_{t}\cap K}$ ${\textstyle (n-1)}$ ${\textstyle l}$ ${\textstyle H_{t}}$ ${\textstyle K'}$

Теорема Грюнбаума

Теорема (теорема Грюнбаума): ^[2] Рассмотрим выпуклое тело . Пусть будет любым полупространством, содержащим центр масс ; то есть ожидаемым местоположением однородной точки, выбранной из Тогда . ${\textstyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle H}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K.}$ ${\textstyle \mu (H\cap K)\geq ({\frac {n}{n+1}})^{n}\mu (K)\geq {\frac {1}{e}}\mu (K)}$

Теорему Грюнбаума можно доказать, используя неравенство Брунна–Минковского, в частности, выпуклость симметризации Брунна–Минковского. ^[3]

Неравенство Грюнбаума имеет следующую интерпретацию справедливого разрезания торта . Предположим, что два игрока играют в игру по разрезанию объемного выпуклого торта. Игрок 1 выбирает точку на торте, а игрок 2 выбирает гиперплоскость, чтобы разрезать торт вдоль. Затем игрок 1 получает разрез торта, содержащий его точку. Теорема Грюнбаума подразумевает, что если игрок 1 выбирает центр масс, то худшее, что может сделать состязательный игрок 2, — это отдать ему кусок торта с объемом, по крайней мере, в долю от общего объема. В измерениях 2 и 3, наиболее распространенных измерениях для тортов, границы, заданные теоремой, приблизительно равны соответственно. Однако следует отметить, что в измерениях вычисление центроида является сложным ^[4], что ограничивает полезность этой стратегии разрезания торта для более многомерных, но вычислительно ограниченных существ. ${\textstyle n}$ ${\textstyle 1/e}$ ${\textstyle .444,.42}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle \#P}$

Приложения теоремы Грюнбаума также появляются в выпуклой оптимизации, в частности, при анализе сходимости метода центра тяжести. ^[5]

Изопериметрическое неравенство

Пусть обозначает единичный шар. Для выпуклого тела K определим его площадь поверхности. Это согласуется с обычным значением площади поверхности по формуле Минковского-Штайнера . Рассмотрим функцию . Изопериметрическое неравенство утверждает, что она максимизируется на евклидовых шарах. ${\textstyle B=B(0,1)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||_{2}\leq 1\}}$ ${\textstyle S(K)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\mu (K+\epsilon B)-\mu (K)}{\epsilon }}}$ ${\textstyle c(X)={\frac {\mu (K)^{1/n}}{S(K)^{1/(n-1)}}}}$

Доказательство изопериметрического неравенства с помощью Брунна–Минковского

Во-первых, заметим, что Брунн–Минковский подразумевает, что в последнем неравенстве мы использовали это для . Мы используем это вычисление для нижней границы площади поверхности через Далее, мы используем тот факт , что , который следует из формулы Минковского-Штайнера , для вычисления Перестановка этого дает изопериметрическое неравенство: ${\textstyle \mu (K+\epsilon B)\geq (\mu (K)^{1/n}+\epsilon V(B)^{1/n})^{n}=\mu (K)(1+\epsilon ({\frac {\mu (B)}{\mu (K)}})^{1/n})^{n}\geq \mu (K)(1+n\epsilon ({\frac {\mu (B)}{\mu (K)}})^{1/n}),}$ ${\textstyle (1+x)^{n}\geq 1+nx}$ ${\textstyle x\geq 0}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle S(K)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\mu (K+\epsilon B)-\mu (K)}{\epsilon }}\geq n\mu (K)({\frac {\mu (B)}{\mu (K)}})^{1/n}.}$ ${\textstyle S(B)=n\mu (B)}$ ${\textstyle {\frac {S(K)}{S(B)}}={\frac {S(K)}{n\mu (B)}}\geq {\frac {\mu (K)({\frac {\mu (B)}{\mu (K)}})^{1/n}}{\mu (B)}}=\mu (K)^{\frac {n-1}{n}}\mu (B)^{\frac {1-n}{n}}.}$ ${\textstyle {\frac {\mu (B)^{1/n}}{S(B)^{1/(n-1)}}}\geq {\frac {\mu (K)^{1/n}}{S(K)^{1/(n-1)}}}.}$

Приложения к неравенствам между смешанными объемами

Неравенство Брунна–Минковского можно использовать для вывода следующего неравенства , где член является смешанным объемом . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда K,L гомотетичны. (См. теорему 3.4.3 в курсе Хуга и Вейля по выпуклой геометрии.) ${\textstyle V(K,\ldots ,K,L)^{n}\geq V(K)^{n-1}V(L)}$ ${\textstyle V(K,\ldots ,K,L)}$

Доказательство

Напомним следующие факты о смешанных объемах : , так что в частности, если , то . ${\textstyle \mu (\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,V(K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\ldots \lambda _{j_{n}}}$ ${\textstyle g(t)=\mu (K+tL)=\mu (V)+nV(K,\ldots ,K,L)t+\ldots }$ ${\textstyle g'(0)=nV(K,\ldots ,K,L)}$

Пусть . Теорема Брунна подразумевает, что это вогнуто для . Таким образом, , где обозначает правую производную. Мы также имеем, что . Отсюда получаем , где мы применили BM в последнем неравенстве. ${\textstyle f(t):=\mu (K+tL)^{1/n}}$ ${\textstyle t\in [0,1]}$ ${\textstyle f^{+}(0)\geq f(1)-f(0)=\mu (K+L)^{1/n}-V(K)^{1/n}}$ ${\textstyle f^{+}(0)}$ ${\textstyle f^{+}(0)={\frac {1}{n}}\mu (K)^{\frac {n-1}{n}}nV(K,\ldots ,K,L)}$ ${\textstyle \mu (K)^{\frac {n-1}{n}}V(K,\ldots ,K,L)\geq \mu (K+L)^{1/n}-V(K)^{1/n}\geq V(L)^{1/n}}$

Концентрация меры на сфере и других строго выпуклых поверхностях

Мы доказываем следующую теорему о концентрации меры, следуя заметкам Барвинока и заметкам Лап Чи Лау. См. также Концентрация меры#Концентрация на сфере .

Теорема : Пусть будет единичной сферой в . Пусть . Определим , где d относится к евклидову расстоянию в . Пусть обозначает площадь поверхности на сфере. Тогда для любого имеем, что . ${\textstyle S}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle X\subseteq S}$ ${\textstyle X_{\epsilon }=\{z\in S:d(z,X)\leq \epsilon \}}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle \nu }$ ${\textstyle \epsilon \in (0,1]}$ ${\textstyle {\frac {\nu (X_{\epsilon })}{\nu (S)}}\geq 1-{\frac {\nu (S)}{\nu (X)}}e^{-{\frac {n\epsilon ^{2}}{4}}}}$

Доказательство

Доказательство: Пусть , и пусть . Тогда для можно показать, используя и для , что . В частности, . ${\textstyle \delta =\epsilon ^{2}/8}$ ${\textstyle Y=S\setminus X_{\epsilon }}$ ${\textstyle x\in X,y\in Y}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}||x+y||^{2}=||x||^{2}+||y||^{2}-{\frac {1}{2}}||x-y||^{2}}$ ${\textstyle {\sqrt {1-x}}\leq 1-x/2}$ ${\textstyle x\leq 1}$ ${\textstyle ||{\frac {x+y}{2}}||\leq 1-\delta }$ ${\textstyle {\frac {x+y}{2}}\in (1-\delta )B(0,1)}$

Пусть , и мы стремимся показать, что . Пусть . Рассуждение ниже будет симметричным относительно , поэтому мы предполагаем без потери общности, что и устанавливаем . Тогда, ${\textstyle {\overline {X}}={\text{Conv}}(X,\{0\}),{\overline {Y}}={\text{Conv}}(Y,\{0\})}$ ${\textstyle {\frac {{\overline {X}}+{\overline {Y}}}{2}}\subseteq (1-\delta )B(0,1)}$ ${\textstyle x\in X,y\in Y,\alpha ,\beta \in [0,1],{\bar {x}}=\alpha x,{\bar {y}}=\alpha y}$ ${\textstyle {\bar {x}},{\bar {y}}}$ ${\textstyle \alpha \geq \beta }$ ${\textstyle \gamma =\beta /\alpha \leq 1}$

{\frac {{\bar {x}}+{\bar {y}}}{2}}={\frac {\alpha x+\beta y}{2}}=\alpha {\frac {x+\gamma y}{2}}=\alpha (\gamma {\frac {x+y}{2}}+(1-\gamma ){\frac {x}{2}})=\alpha \gamma {\frac {x+y}{2}}+\alpha (1-\gamma ){\frac {x}{2}}

.

Это означает, что . (Используя это для любого выпуклого тела K и , .) ${\textstyle {\frac {{\bar {x}}+{\bar {y}}}{2}}\in \alpha \gamma (1-\delta )B+\alpha (1-\gamma )(1-\delta )B=\alpha (1-\delta )B\subseteq (1-\delta )B}$ ${\textstyle \gamma \in [0,1]}$ ${\textstyle \gamma K+(1-\gamma )K=K}$

Таким образом, мы знаем, что , поэтому . Применяем мультипликативную форму неравенства Брунна–Минковского, чтобы оценить первый член снизу с помощью , что дает нам . ${\textstyle {\frac {{\overline {X}}+{\overline {Y}}}{2}}\subseteq (1-\delta )B(0,1)}$ ${\textstyle \mu ({\frac {{\overline {X}}+{\overline {Y}}}{2}})\leq (1-\delta )^{n}\mu (B(0,1))}$ ${\textstyle {\sqrt {\mu ({\bar {X}})\mu ({\bar {Y}})}}}$ ${\textstyle (1-\delta )^{n}\mu (B)\geq \mu ({\bar {X}})^{1/2}\mu ({\bar {Y}})^{1/2}}$

$1-{\frac {\nu (X_{\epsilon })}{\nu (S)}}={\frac {\nu (Y)}{\nu (S)}}={\frac {\mu ({\bar {Y}})}{\mu (B)}}\leq (1-\delta )^{2n}{\frac {\mu (B)}{\mu ({\bar {X}})}}\leq (1-\delta )^{2n}{\frac {\nu (S)}{\nu (X)}}\leq e^{-2n\delta }{\frac {\nu (S)}{\nu (X)}}=e^{-n\epsilon ^{2}/4}{\frac {\nu (S)}{\nu (X)}}$ . ЧТЭК

Версия этого результата справедлива также для так называемых строго выпуклых поверхностей, где результат зависит от модуля выпуклости . Однако понятие площади поверхности требует модификации, см.: вышеупомянутые заметки о концентрации меры от Барвинка.

Замечания

Доказательство теоремы Брунна–Минковского устанавливает, что функция

A\mapsto [\mu (A)]^{1/n}

является вогнутым в том смысле, что для каждой пары непустых компактных подмножеств A и B пространства R ⁿ и каждого 0 ≤ t ≤ 1,

\left[\mu (tA+(1-t)B)\right]^{1/n}\geq t[\mu (A)]^{1/n}+(1-t)[\mu (B)]^{1/n}.

Для выпуклых множеств A и B положительной меры неравенство в теореме является строгим при 0 < t < 1, если только A и B не являются положительно гомотетичными , т.е. равны с точностью до переноса и растяжения на положительный множитель.

Примеры

Округлые кубики

Поучительно рассмотреть случай, когда квадрат на плоскости, а шар радиусом . В этом случае, является скругленным квадратом, и его объем может быть учтен как четыре скругленных четверти окружности радиусом , четыре прямоугольника размеров вдоль сторон и исходный квадрат. Таким образом, ${\textstyle A}$ ${\textstyle l\times l}$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle \epsilon }$ ${\textstyle A+B}$ ${\textstyle \epsilon }$ ${\textstyle l\times \epsilon }$

{\begin{aligned}\mu (A+B)&=l^{2}+4\epsilon l+{\frac {4}{4}}\pi \epsilon ^{2}=\mu (A)+4\epsilon l+\mu (B)\geq \mu (A)+2{\sqrt {\pi }}\epsilon l+\mu (B)\\&=\mu (A)+2{\sqrt {\mu (A)\mu (B)}}+\mu (B)=(\mu (A)^{1/2}+\mu (B)^{1/2})^{2}.\end{aligned}}

Этот пример также намекает на теорию смешанных объемов , поскольку члены, которые появляются в разложении объема, соответствуют разноразмерным частям A. В частности, если мы перепишем Брунна–Минковского как , мы увидим, что можем думать о перекрестных членах биномиального разложения последнего как об учете, в некотором роде, смешанного представления объема . Это же явление можно увидеть и для суммы n -мерного ящика и шара радиуса , где перекрестные члены в , с точностью до констант, учитывают смешанные объемы. Это уточняется для первого смешанного объема в разделе выше о приложениях к смешанным объемам. ${\textstyle A+B}$ ${\textstyle \mu (A+B)\geq (\mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n})^{n}}$ ${\textstyle \mu (A+B)=V(A,\ldots ,A)+nV(B,A,\ldots ,A)+\ldots +{n \choose j}V(B,\ldots ,B,A,\ldots ,A)+\ldots nV(B,\ldots ,B,A)+\mu (B)}$ ${\textstyle l\times l}$ ${\textstyle \epsilon }$ ${\textstyle (\mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n})^{n}}$

Примеры, где нижняя граница неопределенна

Левая часть неравенства BM может быть в общем случае намного больше правой. Например, мы можем взять X за ось x, а Y за ось y внутри плоскости; тогда каждый из них будет иметь нулевую меру, но сумма будет иметь бесконечную меру. Другой пример дает множество Кантора. Если обозначает среднее третье множество Кантора, то это упражнение по анализу, чтобы показать, что . ${\textstyle C}$ ${\textstyle C+C=[0,2]}$

Связи с другими разделами математики

Неравенство Брунна–Минковского продолжает быть актуальным для современной геометрии и алгебры. Например, существуют связи с алгебраической геометрией, ^[6]^[7] и комбинаторными версиями о подсчете множеств точек внутри целочисленной решетки. ^[8]

Смотрите также

Ссылки

Брунн, Х. (1887). Über Ovale und Eiflächen . Инаугурационная диссертация, Мюнхен.
Фенхель, Вернер ; Боннесен, Томми (1934). Теория выпуклости Корпера . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Том. 3. Берлин: 1. Верлаг фон Юлиуса Шпрингера.
Фенхель, Вернер ; Боннесен, Томми (1987). Теория выпуклых тел . Москва, Айдахо: Л. Борон, К. Кристенсон и Б. Смит. BCS Associates. ISBN 9780914351023.
Дакоронья, Бернард (2004). Введение в вариационное исчисление . Лондон: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2.
Генрих Гуггенхаймер (1977) Применимая геометрия , стр. 146, Кригер, Хантингтон ISBN 0-88275-368-1 .
Люстерник, Лазарь Александрович (1935). «Die Brunn – Minkowskische Ungleichnung für beliebige беспорядки Mengen». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de l'URSS . Новая серия. III : 55–58 .
Минковский, Герман (1896). Геометрия дер Зален . Лейпциг: Тойбнер.
Ружа, Имре З. (1997). «Неравенство Брунна–Минковского и невыпуклые множества». Geometriae Dedicata . 67 (3): 337– 348. doi :10.1023/A:1004958110076. MR 1475877. S2CID 117749981.
Рольф Шнайдер , Выпуклые тела: теория Брунна–Минковского, Cambridge University Press, Кембридж, 1993.

Ссылки

^ Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна–Минковского». Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 39 (3): стр. 355–405 (электронный). doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979.
^ Грюнбаум, Б. (1960). «Разбиения распределений масс и выпуклых тел гиперплоскостями». Pacific Journal of Mathematics . 10 (4): 1257– 1261. doi :10.2140/pjm.1960.10.1257. MR 0124818.
^ Смотрите эти заметки лекций для наглядного наброска.
^ Радемахер, Луис (2007). «Аппроксимация центроида — это сложно». В Эриксоне, Джефф (ред.). Труды 23-го симпозиума ACM по вычислительной геометрии, Кёнджу, Южная Корея, 6–8 июня 2007 г. С. 302–305 . doi :10.1145/1247069.1247123. ISBN 978-1-59593-705-6.
^ См. теорему 2.1 в этих примечаниях.
^ ГРОМОВ, М. (1990). "ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И КЭЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ". Успехи дифференциальной геометрии и топологии . WORLD SCIENTIFIC. стр. 1– 38. doi :10.1142/9789814439381_0001. ISBN 978-981-02-0494-5.
^ Нееб, Карл-Германн (12.10.2015). «Геометрия Кэлера, отображения импульса и выпуклые множества». arXiv : 1510.03289v1 [math.SG].
^ Эрнандес Сифре, Мария А.; Иглесиас, Дэвид; Николас, Хесус Йепес (2018). «О дискретном неравенстве типа Брунна-Минковского». SIAM Journal по дискретной математике . 32 (3). Общество промышленной и прикладной математики (SIAM): 1840–1856 . doi : 10.1137/18m1166067. ISSN 0895-4801.

[1] Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна–Минковского». Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 39 (3): стр. 355–405 (электронный). doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2. ISSN 0273-0979.

[2] Грюнбаум, Б. (1960). «Разбиения распределений масс и выпуклых тел гиперплоскостями». Pacific Journal of Mathematics . 10 (4): 1257– 1261. doi :10.2140/pjm.1960.10.1257. MR 0124818.

[3] Смотрите эти заметки лекций для наглядного наброска.

[4] Радемахер, Луис (2007). «Аппроксимация центроида — это сложно». В Эриксоне, Джефф (ред.). Труды 23-го симпозиума ACM по вычислительной геометрии, Кёнджу, Южная Корея, 6–8 июня 2007 г. С. 302–305 . doi :10.1145/1247069.1247123. ISBN 978-1-59593-705-6.

[5] См. теорему 2.1 в этих примечаниях.

[GROMOV_1990_pp._1–38-6] ГРОМОВ, М. (1990). "ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА И КЭЛЕРОВЫ МНОГООБРАЗИЯ". Успехи дифференциальной геометрии и топологии . WORLD SCIENTIFIC. стр. 1– 38. doi :10.1142/9789814439381_0001. ISBN 978-981-02-0494-5.

[Neeb_2015-7] Нееб, Карл-Германн (12.10.2015). «Геометрия Кэлера, отображения импульса и выпуклые множества». arXiv : 1510.03289v1 [math.SG].

[Hernández_Cifre_Iglesias_Nicolás_2018_pp._1840–1856-8] Эрнандес Сифре, Мария А.; Иглесиас, Дэвид; Николас, Хесус Йепес (2018). «О дискретном неравенстве типа Брунна-Минковского». SIAM Journal по дискретной математике . 32 (3). Общество промышленной и прикладной математики (SIAM): 1840–1856 . doi : 10.1137/18m1166067. ISSN 0895-4801.