Оценка (геометрия)

В геометрии оценка — это конечно-аддитивная функция из набора подмножеств множества в абелеву полугруппу . Например, мера Лебега — это оценка на конечных объединениях выпуклых тел Другие примеры оценок на конечных объединениях выпуклых тел — это площадь поверхности , средняя ширина и эйлерова характеристика .${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В геометрии условия непрерывности (или гладкости ) часто накладываются на оценки, но существуют также чисто дискретные аспекты теории. Фактически, концепция оценки берет свое начало в теории рассечения многогранников и, в частности, в третьей проблеме Гильберта , которая превратилась в богатую теорию, основанную на инструментах абстрактной алгебры.

Пусть будет множеством, а пусть будет совокупностью подмножеств из Функция со значениями в абелевой полугруппе называется оценкой , если она удовлетворяет , когда и являются элементами из Если тогда всегда предполагается${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \фи}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle R}$$${\ displaystyle \ фи (А \ чашка B) + \ фи (А \ крышка B) = \ фи (А) + \ фи (B)}$$${\displaystyle А,}$ ${\displaystyle Б,}$ ${\displaystyle A\чашка B,}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {S}},}$${\displaystyle \phi (\emptyset)=0.}$

Некоторые общие примеры :${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

• выпуклые тела в${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• компактные выпуклые многогранники в${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• выпуклые конусы
• гладкие компактные многогранники в гладком многообразии${\displaystyle X}$

Пусть — множество выпуклых тел в Тогда некоторые оценки на являются${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n})}$

• характеристика Эйлера ${\displaystyle \chi :K(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {Z} }$
• Мера Лебега ограничена${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n})}$
• собственный объем (и, в более общем смысле, смешанный объем )
• карта , где есть опорная функция${\displaystyle A\mapsto h_{A},}$${\displaystyle h_{A}}$${\displaystyle А}$

Некоторые другие оценки

• перечислитель точек решетки , где — решетчатый многогранник${\displaystyle P\mapsto |\mathbb {Z} ^{n}\cap P|}$${\displaystyle P}$
• мощность , на семействе конечных множеств

Отсюда и далее пусть , пусть будет множеством выпуклых тел в , и пусть будет оценкой на .${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \фи}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$

Мы говорим, что является трансляционно-инвариантным , если для всех и имеем .${\displaystyle \фи}$${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle x\in V}$${\ displaystyle \ фи (K + x) = \ фи (K)}$

Пусть . Расстояние Хаусдорфа определяется как , где есть -окрестность относительно некоторого евклидова скалярного произведения. Оснащенное этой метрикой, есть локально компактное пространство .${\displaystyle (K,L)\in {\mathcal {K}}(V)^{2}}$ ${\displaystyle d_{H}(K,L)}$$${\displaystyle d_{H}(K,L)=\inf\{\varepsilon >0:K\subset L_{\varepsilon }{\text{ и }}L\subset K_{\varepsilon }\},}$$${\displaystyle K_{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon}$${\displaystyle К}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$

Пространство непрерывных, инвариантных к трансляции оценок из в обозначается как${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

Топология на — это топология равномерной сходимости на компактных подмножествах пространства , снабженного нормой , где — ограниченное подмножество с непустой внутренностью, — банахово пространство .${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V).}$$${\displaystyle \|\phi \|=\max\{|\phi (K)|:K\subset B\},}$$${\displaystyle B\subset V}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$

Трансляционно-инвариантная непрерывная оценка называется -однородной , если для всех и Подмножество -однородных оценок является векторным подпространством теоремы о разложении МакМаллена ^[1], которая утверждает, что${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle я}$$${\displaystyle \phi (\lambda K)=\lambda ^{i}\phi (K)}$$${\displaystyle \лямбда >0}$${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}(V).}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}(V)}$${\displaystyle я}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)=\bigoplus _{i=0}^{n}\operatorname {Val} _{i}(V),\qquad n=\dim V.}$$

В частности, степень однородной оценки всегда является целым числом между и${\displaystyle 0}$${\displaystyle n=\operatorname {dim} V.}$

Оценки ранжируются не только по степени однородности, но и по четности относительно отражения относительно начала координат, а именно, где при тогда и только тогда, когда для всех выпуклых тел элементы и называются четными и нечетными соответственно.$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}=\operatorname {Val} _{i}^{+}\oplus \operatorname {Val} _{i}^{-},}$$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}^{\epsilon }}$${\displaystyle \epsilon \in \{+,-\}}$${\ displaystyle \ фи (-K) = \ эпсилон \ фи (K)}$${\displaystyle К.}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}}$

Это простой факт, который является -мерным и охватывается характеристикой Эйлера , то есть состоит из постоянных оценок на${\displaystyle \operatorname {Val} _{0}(V)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \chi ,}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V).}$

В 1957 году Хадвигер ^[2] доказал, что (где ) совпадает с -мерным пространством мер Лебега на${\displaystyle \operatorname {Val} _{n}(V)}$${\displaystyle n=\dim V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V.}$

Оценка является простой , если для всех выпуклых тел с Шнайдером ^[3] в 1996 году были описаны все простые оценки на : они задаются как где — произвольная нечетная функция на единичной сфере , а — мера площади поверхности В частности, любая простая оценка является суммой - и -однородной оценки. Это, в свою очередь, подразумевает, что -однородная оценка однозначно определяется ее ограничениями на все -мерные подпространства.${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \phi (K)=0}$${\displaystyle \dim K<n.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \phi (K)=c\operatorname {vol} (K)+\int _{S^{n-1}}f(\theta )d\sigma _{K}(\theta ),}$$${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle f\in C(S^{n-1})}$${\displaystyle S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \sigma _{K}}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (i+1)}$

Вложение Клейна представляет собой линейную инъекцию пространства четных -однородных оценок в пространство непрерывных сечений канонического комплексного линейного расслоения над грассманианом -мерных линейных подпространств Его построение основано на характеризации Хадвигера ^[2] -однородных оценок. Если и то ограничение является элементом и по теореме Хадвигера оно является мерой Лебега . Следовательно, определяет непрерывное сечение линейного расслоения над со слоем над, равным -мерному пространству плотностей (мер Лебега) на${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V),}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(V)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}(V)}$${\displaystyle E\in \operatorname {Gr} _{i}(V),}$${\displaystyle \phi |_{E}}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}(E),}$$${\displaystyle \operatorname {Kl} _{\phi }(E)=\phi |_{E}}$$${\displaystyle Dens}$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(V)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {Dens} (E)}$${\displaystyle E.}$

Теорема (Клейн ^[4] ). Линейное отображение инъективно.${\displaystyle \operatorname {Kl} :\operatorname {Val} _{i}^{+}(V)\to C(\operatorname {Gr} _{i}(V),\operatorname {Dens} )}$

Другая инъекция, известная как вложение Шнайдера, существует для нечетных оценок. Она основана на описании Шнайдером простых оценок. ^[3] Это линейная инъекция пространства нечетных -однородных оценок в определенный фактор пространства непрерывных сечений линейного расслоения над частичным флаговым многообразием коориентированных пар. Ее определение напоминает вложение Клейна, но более сложное. Подробности можно найти в. ^[5]${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V),}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (F^{i}\subset E^{i+1}).}$

Вложение Гуди-Вейля представляет собой линейную инъекцию в пространство распределений на -кратном произведении -мерной сферы. Это не что иное, как ядро ​​Шварца естественной поляризации, которую допускает любое, а именно как функционал на -кратном произведении последнего пространства функций, имеющих геометрический смысл разностей опорных функций гладких выпуклых тел. Подробнее см. ^[5].${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{k}(V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{2}(S^{n-1}),}$

Классические теоремы Хадвигера, Шнайдера и МакМаллена дают довольно явные описания оценок, которые являются однородными по степени и Но о степенях было известно очень мало до начала 21-го века. Гипотеза МакМаллена — это утверждение о том, что оценки охватывают плотное подпространство Гипотеза МакМаллена была подтверждена Алескером в гораздо более сильной форме, которая стала известна как теорема о неприводимости:${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle n-1,}$${\displaystyle n=\operatorname {dim} V.}$${\displaystyle 1<i<n-1}$$${\displaystyle \phi _{A}(K)=\operatorname {vol} _{n}(K+A),\qquad A\in {\mathcal {K}}(V),}$$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

Теорема (Алескер ^[6] ). Для каждого естественное действие на пространствах и неприводимо.${\displaystyle 0\leq i\leq n,}$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V)}$

Здесь действие общей линейной группы на задается выражением Доказательство теоремы о неприводимости основано на теоремах вложения предыдущего раздела и локализации Бейлинсона-Бернштейна .${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$$${\displaystyle (g\cdot \phi )(K)=\phi (g^{-1}K).}$$

Оценка называется гладкой, если отображение из в является гладким. Другими словами, является гладкой тогда и только тогда, когда является гладким вектором естественного представления на Пространство гладких оценок плотно в ; оно снабжено естественной топологией пространства Фреше, которая тоньше, чем та, что индуцирована из${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle g\mapsto g\cdot \phi }$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

Для каждой (комплекснозначной) гладкой функции на , где обозначает ортогональную проекцию, а — мера Хаара, определяет гладкую четную оценку степени Из теоремы о неприводимости в сочетании с теоремой Кассельмана-Уоллаха следует, что любая гладкая четная оценка может быть представлена ​​таким образом. Такое представление иногда называют формулой Крофтона .${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(\mathbb {R} ^{n}),}$$${\displaystyle \phi (K)=\int _{\operatorname {Gr} _{i}(\mathbb {R} ^{n})}\operatorname {vol} _{i}(P_{E}K)f(E)dE,}$$${\displaystyle P_{E}:\mathbb {R} ^{n}\to E}$${\displaystyle dE}$${\displaystyle i.}$

Для любой (комплекснозначной) гладкой дифференциальной формы , инвариантной относительно всех сдвигов и каждого числа, интегрирование по нормальному циклу определяет гладкое оценивание:${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n}\times S^{n-1})}$${\displaystyle (x,u)\mapsto (x+t,u)}$${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$

$${\displaystyle \phi (K)=c\operatorname {vol} _{n}(K)+\int _{N(K)}\omega ,\qquad K\in {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$

( 1 )

Как набор, нормальный цикл состоит из внешних единичных нормалей к Теорема о неприводимости подразумевает, что каждая гладкая оценка имеет эту форму.${\displaystyle N(K)}$${\displaystyle K.}$

Существует несколько естественных операций, определенных на подпространстве гладких оценок . Наиболее важной из них является произведение двух гладких оценок. Вместе с pullback и pushforward эта операция распространяется на оценки на многообразиях.${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\subset \operatorname {Val} (V).}$

Пусть будут конечномерными вещественными векторными пространствами. Существует билинейное отображение, называемое внешним произведением, которое однозначно характеризуется следующими двумя свойствами: ${\displaystyle V,W}$$${\displaystyle \boxtimes :\operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(W)\to \operatorname {Val} (V\times W)}$$

• он непрерывен относительно обычных топологий на и${\displaystyle \operatorname {Val} }$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }.}$
• если и где и являются выпуклыми телами с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной, а и являются плотностями на и тогда${\displaystyle \phi =\operatorname {vol} _{V}(\bullet +A)}$${\displaystyle \psi =\operatorname {vol} _{W}(\bullet +B)}$${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle B\in {\mathcal {K}}(W)}$${\displaystyle \operatorname {vol} _{V}}$${\displaystyle \operatorname {vol} _{W}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W,}$

$${\displaystyle \phi \boxtimes \psi =(\operatorname {vol} _{V}\boxtimes \operatorname {vol} _{W})(\bullet +A\times B).}$$

Произведение двух гладких оценок определяется как , где — диагональное вложение. Произведение — непрерывное отображение, снабженное этим произведением, становится коммутативной ассоциативной градуированной алгеброй с характеристикой Эйлера в качестве мультипликативного тождества.${\displaystyle \phi ,\psi \in \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$$${\displaystyle (\phi \cdot \psi )(K)=(\phi \boxtimes \psi )(\Delta (K)),}$$${\displaystyle \Delta :V\to V\times V}$$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V).}$$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$

По теореме Алескера ограничение произведения является невырожденным спариванием. Это мотивирует определение -однородного обобщенного оценивания , обозначаемого как топологизированного слабой топологией. По двойственности Алескера-Пуанкаре существует естественное плотное включение$${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{n}^{\infty }(V)=\operatorname {Dens} (V)}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V),}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V)^{*}\otimes \operatorname {Dens} (V),}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\hookrightarrow \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V)/}$

Свертка является естественным произведением на Для простоты мы фиксируем плотность на для тривиализации второго фактора. Определим для фиксированного с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной Тогда существует уникальное расширение по непрерывности до отображения, называемого сверткой. В отличие от произведения, свертка уважает коградуировку, а именно, если то${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\otimes \operatorname {Dens} (V^{*}).}$${\displaystyle \operatorname {vol} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {K}}(V)}$$${\displaystyle \operatorname {vol} (\bullet +A)\ast \operatorname {vol} (\bullet +B)=\operatorname {vol} (\bullet +A+B).}$$$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V),}$$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{n-i}^{\infty }(V),}$ ${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} _{n-j}^{\infty }(V),}$${\displaystyle \phi \ast \psi \in \operatorname {Val} _{n-i-j}^{\infty }(V).}$

Например, пусть обозначает смешанный объем выпуклых тел Если выпуклые тела в с гладкой границей и строго положительной гауссовой кривизной фиксированы, то определяет гладкую оценку степени Свертка двух таких оценок равна где - константа, зависящая только от${\displaystyle V(K_{1},\ldots ,K_{n})}$${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n-i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \phi (K)=V(K[i],A_{1},\dots ,A_{n-i})}$${\displaystyle i.}$$${\displaystyle V(\bullet [i],A_{1},\dots ,A_{n-i})\ast V(\bullet [j],B_{1},\dots ,B_{n-j})=c_{i,j}V(\bullet [n-j-i],A_{1},\dots ,A_{n-i},B_{1},\dots ,B_{n-j}),}$$${\displaystyle c_{i,j}}$${\displaystyle i,j,n.}$

Преобразование Алескера-Фурье представляет собой естественный, -эквивариантный изоморфизм комплекснозначных оценок, открытый Алескером и обладающий многими свойствами, напоминающими классическое преобразование Фурье, что и объясняет его название.${\displaystyle GL(V)}$$${\displaystyle \mathbb {F} :\operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V^{*})\otimes \operatorname {Dens} (V),}$$

Он меняет градацию, а именно , переплетает произведение и свертку:${\displaystyle \mathbb {F} :\operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V^{*})\otimes \operatorname {Dens} (V),}$$${\displaystyle \mathbb {F} (\phi \cdot \psi )=\mathbb {F} \phi \ast \mathbb {F} \psi .}$$

Зафиксировав для простоты евклидову структуру для идентификации , мы имеем тождество Для четных оценок существует простое описание преобразования Фурье в терминах вложения Клейна: В частности, даже действительные оценки остаются действительными после преобразования Фурье.${\displaystyle V=V^{*},}$ ${\displaystyle \operatorname {Dens} (V)=\mathbb {C} ,}$$${\displaystyle \mathbb {F} ^{2}\phi (K)=\phi (-K).}$$${\displaystyle \operatorname {Kl} _{\mathbb {F} \phi }(E)=\operatorname {Kl} _{\phi }(E^{\perp }).}$

Для нечетных оценок описание преобразования Фурье существенно сложнее. В отличие от четного случая, оно уже не носит чисто геометрический характер. Например, пространство вещественных нечетных оценок не сохраняется.

При наличии линейного отображения существуют индуцированные операции pullback и pushforward. Pullback является более простой из двух, заданной как Он, очевидно, сохраняет четность и степень однородности оценки. Обратите внимание, что pullback не сохраняет гладкость, когда не является инъективным.${\displaystyle f:U\to V,}$${\displaystyle f^{*}:\operatorname {Val} (V)\to \operatorname {Val} (U)}$${\displaystyle f_{*}:\operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*}\to \operatorname {Val} (V)\otimes \operatorname {Dens} (V)^{*}.}$${\displaystyle f^{*}\phi (K)=\phi (f(K)).}$${\displaystyle f}$

Pushforward сложнее определить формально. Для простоты зафиксируем меры Лебега на и Pushforward можно однозначно охарактеризовать, описав его действие на оценки вида для всех и затем распространив непрерывность на все оценки с помощью теоремы о неприводимости. Для сюръективного отображения Для включения выберем расщепление Тогда Неформально pushforward является двойственным к pullback относительно спаривания Алескера-Пуанкаре: для и Однако это тождество должно быть тщательно интерпретировано, поскольку спаривание хорошо определено только для гладких оценок. Более подробную информацию см. в ^[7].${\displaystyle U}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle \operatorname {vol} (\bullet +A),}$${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(U),}$${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle f_{*}\operatorname {vol} (\bullet +A)=\operatorname {vol} (\bullet +f(A)).}$$${\displaystyle f:U\hookrightarrow V,}$${\displaystyle V=U\oplus W.}$$${\displaystyle f_{*}\operatorname {vol} (\bullet +A)(K)=\int _{W}\operatorname {vol} (K\cap (U+w)+A)dw.}$$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*},}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\phi ,\psi \rangle =\langle \phi ,f_{*}\psi \rangle .}$$

В серии статей, начавшихся в 2006 году, Алескер заложил основы теории оценок на многообразиях, которая расширяет теорию оценок на выпуклых телах. Ключевое наблюдение, приводящее к этому расширению, заключается в том, что посредством интегрирования по нормальному циклу ( 1 ) гладкая трансляционно-инвариантная оценка может быть оценена на множествах, гораздо более общих, чем выпуклые. Также ( 1 ) предлагает определять гладкие оценки в общем виде, отбрасывая требование, чтобы форма была трансляционно-инвариантной, и заменяя трансляционно-инвариантную меру Лебега произвольной гладкой мерой.${\displaystyle \omega }$

Пусть будет n-мерным гладким многообразием и пусть будет расслоением ко-сферы , то есть ориентированной проективизацией кокасательного расслоения. Пусть обозначает набор компактных дифференцируемых многогранников в Нормальный цикл которого состоит из внешних ко-нормалей к , является естественным липшицевым подмногообразием размерности${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} _{X}=\mathbb {P} _{+}(T^{*}X)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle N(A)\subset \mathbb {P} _{X}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X),}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle n-1.}$

Для простоты изложения мы в дальнейшем предполагаем, что ориентировано, хотя понятие гладких оценок на самом деле не зависит от ориентируемости. Пространство гладких оценок на состоит из функций вида где и может быть произвольным. Было показано Алескером, что гладкие оценки на открытых подмножествах образуют мягкий пучок над${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \phi :{\mathcal {P}}(X)\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle \phi (A)=\int _{A}\mu +\int _{N(A)}\omega ,\qquad A\in {\mathcal {P}}(X),}$$${\displaystyle \mu \in \Omega ^{n}(X)}$${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n-1}(\mathbb {P} _{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Ниже приведены примеры гладких оценок на гладком многообразии :${\displaystyle X}$

• Плавные меры на${\displaystyle X.}$
• Характеристика Эйлера ; это следует из работы Черна ^[8] по теореме Гаусса-Бонне , где такие и были построены для представления характеристики Эйлера. В частности, тогда является интегрантом Черна-Гаусса-Бонне , который является пфаффианом тензора кривизны Римана.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mu }$
• Если — риманово, то оценки Липшица-Киллинга или внутренние объемы являются гладкими оценками. Если — любое изометрическое погружение в евклидово пространство, то где обозначает обычные внутренние объемы на (см. ниже определение отката). Существование этих оценок является сутью формулы трубки Вейля. ^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle V_{0}^{X}=\chi ,V_{1}^{X},\ldots ,V_{n}^{X}=\mathrm {vol} _{X}}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle V_{i}^{X}=f^{*}V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}},}$${\displaystyle V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
• Пусть — комплексное проективное пространство , а обозначим грассманиан всех комплексных проективных подпространств фиксированной размерности. Функция${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle k.}$

$${\displaystyle \phi (A)=\int _{\mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} }}\chi (A\cap E)dE,\qquad A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {C} P^{n}),}$$где интегрирование происходит относительно меры вероятности Хаара на является гладкой оценкой. Это следует из работы Фу. ^[10]${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} },}$

Пространство в общем случае не допускает естественной градуировки, однако оно несет каноническую фильтрацию. Здесь оно состоит из гладких мер на и задается формами в идеале, порожденном где — каноническая проекция.${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)=W_{0}\supset W_{1}\supset \cdots \supset W_{n}.}$$${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle W_{j}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \pi ^{*}\Omega ^{j}(X),}$${\displaystyle \pi :\mathbb {P} _{X}\to X}$

Ассоциированное градуированное векторное пространство канонически изоморфно пространству гладких сечений , где обозначает векторное расслоение над таким образом, что слой над точкой является пространством -однородных гладких трансляционно-инвариантных оценок на касательном пространстве${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}W_{i}/W_{i+1}}$$${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}C^{\infty }(X,\operatorname {Val} _{i}^{\infty }(TX)),}$$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(TX)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(T_{x}X),}$${\displaystyle i}$${\displaystyle T_{x}X.}$

Пространство допускает естественное произведение. Это произведение непрерывно, коммутативно, ассоциативно, совместимо с фильтрацией: и имеет эйлерову характеристику в качестве единичного элемента. Оно также коммутирует с ограничением на вложенные подмногообразия и группу диффеоморфизмов действует на автоморфизмами алгебры.${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$$${\displaystyle W_{i}\cdot W_{j}\subset W_{i+j},}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$

Например, если является римановым, оценки Липшица-Киллинга удовлетворяют ${\displaystyle X}$$${\displaystyle V_{i}^{X}\cdot V_{j}^{X}=V_{i+j}^{X}.}$$

Двойственность Алескера-Пуанкаре все еще сохраняется. Для компакта она говорит, что спаривание невырождено. Как и в случае инвариантности трансляции, эта двойственность может быть использована для определения обобщенных оценок. В отличие от случая инвариантности трансляции, для оценок на многообразиях не существует хорошего определения непрерывных оценок.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\times {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle (\phi ,\psi )\mapsto (\phi \cdot \psi )(X)}$

Произведение оценок близко отражает геометрическую операцию пересечения подмножеств. Неформально, рассмотрим обобщенную оценку Произведение задается как Теперь можно получить гладкие оценки, усреднив обобщенные оценки вида точнее является гладкой оценкой, если является достаточно большим измеренным семейством диффеоморфизмов. Тогда можно увидеть. ^[11]${\displaystyle \chi _{A}=\chi (A\cap \bullet ).}$${\displaystyle \chi _{A}\cdot \chi _{B}=\chi _{A\cap B}.}$${\displaystyle \chi _{A},}$${\displaystyle \phi (X)=\int _{S}\chi _{s(A)}ds}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \int _{S}\chi _{s(A)}ds\cdot \int _{S'}\chi _{s'(B)}ds'=\int _{S\times S'}\chi _{s(A)\cap s'(B)}dsds',}$$

Каждое гладкое погружение гладких многообразий индуцирует отображение обратного протягивания Если это вложение, то Обратное протягивание является морфизмом фильтрованных алгебр. Каждое гладкое собственное погружение определяет отображение прямого протягивания с помощью Прямое протягивание также совместимо с фильтрацией: Для общих гладких отображений можно определить обратное протягивание и прямое протягивание для обобщенных оценок при некоторых ограничениях.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {V}}^{\infty }(Y)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(X).}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle (f^{*}\phi )(A)=\phi (f(A)),\qquad A\in {\mathcal {P}}(X).}$$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(Y)}$$${\displaystyle (f_{*}\phi )(A)=\phi (f^{-1}(A)),\qquad A\in {\mathcal {P}}(Y).}$$${\displaystyle f_{*}:W_{i}(X)\to W_{i-(\dim X-\dim Y)}(Y).}$

Пусть — риманово многообразие и пусть — группа Ли изометрий , действующих транзитивно на расслоении сфер При этих предположениях пространство -инвариантных гладких нормирований на конечномерно; пусть — базис. Пусть — дифференцируемые многогранники в Тогда интегралы вида выражаются в виде линейных комбинаций с коэффициентами , не зависящими от и :${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle SM.}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{m}}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}(M)}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle \int _{G}\phi _{i}(A\cap gB)dg}$${\displaystyle \phi _{k}(A)\phi _{l}(B)}$${\displaystyle c_{i}^{kl}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \int _{G}\phi _{i}(A\cap gB)dg=\sum _{k,l=1}^{m}c_{i}^{kl}\phi _{k}(A)\phi _{l}(B),\qquad A,B\in {\mathcal {P}}(M).}$$

( 2 )

Формулы такого типа называются кинематическими формулами . Их существование в этой общности было доказано Фу. ^[10] Для трех односвязных форм вещественного пространства, то есть сферы, евклидова пространства и гиперболического пространства, они восходят к Блашке , Сантало , Черну и Федереру .

Явное описание кинематических формул обычно является сложной проблемой. Фактически, уже на этапе от действительных к комплексным пространственным формам возникают значительные трудности, и они были разрешены лишь недавно Бернигом, Фу и Соланесом. ^{[12] [13]} Ключевое понимание, ответственное за этот прогресс, заключается в том, что кинематические формулы содержат ту же информацию, что и алгебра инвариантных оценок Для точного утверждения пусть будет кинематическим оператором, то есть отображением, определяемым кинематическими формулами ( 2 ). Пусть обозначает двойственность Алескера-Пуанкаре, которая является линейным изоморфизмом. Наконец, пусть будет сопряженным к отображению произведения Основная теорема алгебраической интегральной геометрии, связывающая операции над оценками с интегральной геометрией, утверждает, что если двойственность Пуанкаре используется для идентификации с , то :${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}.}$$${\displaystyle k_{G}:{\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\otimes {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$$$${\displaystyle \operatorname {pd} :{\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G*}}$$${\displaystyle m_{G}^{*}}$$${\displaystyle m_{G}:{\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\otimes {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}.}$$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G*},}$${\displaystyle k_{G}=m_{G}^{*}}$

.

• Теорема Хадвигера  – Теорема интегральной геометрии
• Интегральная геометрия  – теория мер на геометрическом пространстве, инвариантная относительно группы симметрии этого пространства.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Смешанный объем
• Модульная функция набора  – Функция отображенияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Функция множества  – Функция преобразования множеств в числа
• Оценка (теория меры)  – отображение в теории меры или областиPages displaying wikidata descriptions as a fallback

• S. Alesker (2018). Введение в теорию оценок . Серия региональных конференций CBMS по математике, 126. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN 978-1-4704-4359-7.
• S. Alesker ; JHG Fu (2014). Интегральная геометрия и оценки . Продвинутые курсы по математике. CRM Barcelona. Birkhäuser/Springer, Базель. ISBN 978-1-4704-4359-7.
• Д.А. Клайн; Г.-К. Рота (1997). Введение в геометрическую вероятность . Лециони Линси. [Линчеи Лекции]. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-59362-X.
• Р. Шнайдер (2014). Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского . Энциклопедия математики и ее приложений, 151. Cambridge University Press, Кембридж, Род-Айленд. ISBN 978-1-107-60101-7.