Первое неравенство Минковского для выпуклых тел

В математике первое неравенство Минковского для выпуклых тел — геометрический результат немецкого математика Германа Минковского . Неравенство тесно связано с неравенством Брунна–Минковского и изопериметрическим неравенством .

Пусть K и L — два n - мерных выпуклых тела в n -мерном евклидовом пространстве R ⁿ . Определим величину V ₁ ( K ,  L ) как

${\displaystyle nV_{1}(K,L)=\lim _ {\varepsilon \downarrow 0}{\frac {V(K+\varepsilon L)-V(K)}{\varepsilon }},}$

где V обозначает n -мерную меру Лебега , а + обозначает сумму Минковского . Тогда

${\displaystyle V_{1}(K,L)\geq V(K)^{(n-1)/n}V(L)^{1/n},}$

с равенством тогда и только тогда, когда K и L гомотетичны , т.е. равны с точностью до переноса и растяжения .

• V ₁ — это всего лишь один пример класса величин, известных как смешанные объемы .
• Если L — это n -мерный единичный шар B , то n  V ₁ ( K ,  B ) — это ( n  − 1)-мерная поверхностная мера K , обозначаемая S ( K ).

Можно показать, что неравенство Брунна–Минковского для выпуклых тел в ^Rn влечет первое неравенство Минковского для выпуклых тел в Rn , а равенство в неравенстве Брунна–Минковского влечет равенство в первом неравенстве Минковского ^.

Взяв L  =  B , n -мерный единичный шар, в первом неравенстве Минковского для выпуклых тел, получаем изопериметрическое неравенство для выпуклых тел в R ⁿ : если K - выпуклое тело в R ⁿ , то

${\displaystyle \left({\frac {V(K)}{V(B)}}\right)^{1/n}\leq \left({\frac {S(K)}{S(B)}}\right)^{1/(n-1)},}$

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда K — шар некоторого радиуса.

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна–Минковского». Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (электронный). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .

Эта статья, связанная с гиперболической геометрией, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е