Стандартная теория мономов

В алгебраической геометрии стандартная теория мономов описывает сечения линейного расслоения над обобщенным многообразием флагов или многообразием Шуберта редуктивной алгебраической группы, давая явный базис элементов, называемых стандартными мономами . Многие из результатов были распространены на алгебры Каца–Муди и их группы.

Существуют монографии по стандартной мономиальной теории Лакшмибая и Рагхавана (2008) и Сешадри (2007), а также обзорные статьи В. Лакшмибая, К. Мусили и К.С. Сешадри (1979), а также В. Лакшмибая и К.С. Сешадри (1991).

Одной из важных открытых проблем является полностью геометрическая конструкция теории. ^[1]

Альфред Янг  (1928) ввел мономы, связанные со стандартными таблицами Юнга . Ходж  (1943) (см. также (Hodge & Pedoe 1994, стр. 378)) использовал мономы Юнга, которые он назвал стандартными степенными произведениями, названными в честь стандартных таблиц, чтобы дать основу для однородных координатных колец комплексных грассманианов . Сешадри  (1978) инициировал программу, называемую стандартной теорией мономов , чтобы распространить работу Ходжа на многообразия G / P , для P любая параболическая подгруппа любой редуктивной алгебраической группы в любой характеристике, дав явные базисы с использованием стандартных мономов для секций линейных расслоений над этими многообразиями. Случай грассманианов, изученный Ходжем, соответствует случаю, когда G является специальной линейной группой в характеристике 0, а P является максимальной параболической подгруппой. Вскоре к Сешадри присоединились В. Лакшмибаи и Читикила Мусили . Они разработали стандартную теорию мономов сначала для крошечных представлений G , а затем для групп G классического типа и сформулировали несколько гипотез, описывающих ее для более общих случаев. Литтельманн  (1998) доказал свои гипотезы, используя модель пути Литтельмана , в частности, дав единообразное описание стандартных мономов для всех редуктивных групп.

Лакшмибаи (2003), Мусили (2003) и Шешадри (2012) дают подробные описания раннего развития стандартной теории мономов.

• Поскольку сечения линейных расслоений над обобщенными флаговыми многообразиями имеют тенденцию образовывать неприводимые представления соответствующих алгебраических групп, наличие явного базиса стандартных мономов позволяет дать формулы характеров для этих представлений. Аналогично можно получить формулы характеров для модулей Демазюра . Явные базисы, заданные стандартной теорией мономов, тесно связаны с кристаллическими базисами и моделями путей Литтельмана представлений.
• Стандартная теория мономов позволяет описывать особенности многообразий Шуберта и, в частности, иногда доказывает, что многообразия Шуберта являются нормальными или Коэн-Маколеевыми .
• Для доказательства гипотезы Демазюра можно использовать стандартную теорию мономов .
• Стандартная теория мономов доказывает теорему Кемпфа об исчезновении и другие теоремы об исчезновении для высших когомологий эффективных линейных расслоений над многообразиями Шуберта.
• Стандартная теория мономов дает явные базисы для некоторых колец инвариантов в теории инвариантов .
• Стандартная теория мономов дает обобщения правила Литтлвуда–Ричардсона о разложениях тензорных произведений представлений на все редуктивные алгебраические группы.
• Стандартную теорию мономов можно использовать для доказательства существования хороших фильтраций на некоторых представлениях редуктивных алгебраических групп в положительной характеристике.

• Ходж, В. В. Д. (1943), «Некоторые исчислимые результаты в теории форм», Математические труды Кембриджского философского общества , 39 (1): 22– 30, Bibcode : 1943PCPS...39...22H, doi : 10.1017/S0305004100017631, MR  0007739
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994) [1952], Методы алгебраической геометрии: Том 2 Книга III: Общая теория алгебраических многообразий в проективном пространстве. Книга IV: Квадрики и многообразия Грассмана., Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46901-2, МР  0048065
• Lakshmibai, V.; Musili, C.; Seshadri, CS (1979), "Геометрия G/P", Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 1 (2): 432– 435, doi : 10.1090/S0273-0979-1979-14631-7 , ISSN  0002-9904, MR  0520081
• Lakshmibai, Venkatramani; Raghavan, Komaranapuram N. (2008), Стандартная теория мономов , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, т. 137, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-540-76757-2, ISBN 978-3-540-76756-5, г-н  2388163
• Lakshmibai, V.; Seshadri, CS (1991), "Стандартная теория мономов", в Ramanan, S.; Musili, C.; Kumar, N. Mohan (ред.), Труды Хайдарабадской конференции по алгебраическим группам (Хайдарабад, 1989) , Мадрас: Manoj Prakashan, стр.  279–322 , MR  1131317
• Лакшмибаи, В. (2003), «Развитие стандартной теории мономов. II», Посвящение CS Seshadri (Ченнаи, 2002) , Trends Math., Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр.  283–309 , ISBN 978-3-7643-0444-7, МР  2017589
• Литтельманн, Питер (1998), «Модель пути, квантовое отображение Фробениуса и стандартная теория мономов» (PDF) , в Картер, Роджер В .; Саксл, Ян (ред.), Алгебраические группы и их представления (Кембридж, 1997), NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences, т. 517, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group, стр.  175–212 , ISBN 9780792352921, МР  1670770
• Литтельманн, Питер (1998), «Сжимающие модули и стандартная мономиальная теория для симметризуемых алгебр Каца-Муди», Журнал Американского математического общества , 11 (3): 551– 567, doi : 10.1090/S0894-0347-98-00268-9 , ISSN  0894-0347, MR  1603862
• Musili, C. (2003), «Развитие стандартной теории мономов. I», Посвящение CS Seshadri (Ченнаи, 2002) , Trends Math., Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр.  385–420 , ISBN 978-3-7643-0444-7, MR  2017594
• Seshadri, CS (1978), "Геометрия теории G/PI стандартных мономов для крошечных представлений", в Ramanathan, KG (ред.), CP Ramanujam --- дань уважения , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, т. 8, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр.  207–239 , ISBN 978-3-540-08770-0, МР  0541023
• Seshadri, CS (2007), Введение в теорию стандартных мономов, Тексты и чтения по математике, т. 46, Нью-Дели: Hindustan Book Agency, ISBN 9788185931784, г-н  2347272
• Seshadri, CS (2012), "Стандартная теория мономов — исторический отчет", Сборник статей CS Seshadri. Том 2. Геометрия Шуберта и теория представлений. , Нью-Дели: Hindustan Book Agency, стр.  3–50 , ISBN 9789380250175, г-н  2905898
• Янг, Альфред (1928), «О количественном субституционном анализе», Proc. London Math. Soc. , 28 (1): 255–292 , doi :10.1112/plms/s2-28.1.255