Кристаллическая основа

Кристаллическая база для представления квантовой группы на -векторном пространстве не является базой этого векторного пространства, а скорее -базой того , где есть -решетка в этом векторном пространстве. Кристаллические базы появились в работе Кашивары  (1990), а также в работе Люстига  (1990). Их можно рассматривать как специализации канонического базиса , определенного Люстигом  (1990).${\displaystyle \mathbb {Q} (v)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle L/vL}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {Q} (v)}$${\displaystyle v\to 0}$

Вследствие определяющих соотношений квантовую группу можно рассматривать как алгебру Хопфа над полем всех рациональных функций неопределенного q над , обозначаемую .${\displaystyle U_{q}(G)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$

Для простого корня и неотрицательного целого числа определите ${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{i}^{(0)}=f_{i}^{(0)}&=1\\e_{i}^{(n)}&={\frac {e_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\\[6pt]f_{i}^{(n)}&={\frac {f_{i}^{n}}{[n]_{q_{i}}!}}\end{aligned}}}$

В интегрируемом модуле и для веса вектор (т.е. вектор в с весом ) можно однозначно разложить на суммы${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle u\in M_{\lambda }}$${\displaystyle u}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n)}v_{n},}$

где , , только если , и только если . ${\displaystyle u_{n}\in \ker(e_{i})\cap M_{\lambda +n\alpha _{i}}}$${\displaystyle v_{n}\in \ker(f_{i})\cap M_{\lambda -n\alpha _{i}}}$${\displaystyle u_{n}\neq 0}$${\displaystyle n+{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}$${\displaystyle v_{n}\neq 0}$${\displaystyle n-{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}$

Линейные отображения могут быть определены с помощью${\displaystyle {\tilde {e}}_{i},{\tilde {f}}_{i}:M\to M}$${\displaystyle M_{\lambda }}$

${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}u=\sum _{n=1}^{\infty }f_{i}^{(n-1)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n+1)}v_{n},}$

${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n+1)}u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }e_{i}^{(n-1)}v_{n}.}$

Пусть – область целостности всех рациональных функций, в которой регулярны при ( т.е. рациональная функция является элементом тогда и только тогда, когда существуют многочлены и в кольце многочленов такие, что , и ). ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle f(q)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle g(q)}$${\displaystyle h(q)}$${\displaystyle \mathbb {Q} [q]}$${\displaystyle h(0)\neq 0}$${\displaystyle f(q)=g(q)/h(q)}$

Кристаллическая основа для представляет собой упорядоченную пару , такую, что${\displaystyle M}$${\displaystyle (L,B)}$

• ${\displaystyle L}$является свободным -подмодулем такого, что${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M=\mathbb {Q} (q)\otimes _{A}L;}$
• ${\displaystyle B}$является -базисом векторного пространства над${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle L/qL}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$
• ${\displaystyle L=\oplus _{\lambda }L_{\lambda }}$и , где и${\displaystyle B=\sqcup _{\lambda }B_{\lambda }}$${\displaystyle L_{\lambda }=L\cap M_{\lambda }}$${\displaystyle B_{\lambda }=B\cap (L_{\lambda }/qL_{\lambda }),}$
• ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}L\subset L}$и${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}L\subset L{\text{ for all }}i,}$
• ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}B\subset B\cup \{0\}}$и${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}B\subset B\cup \{0\}{\text{ for all }}i,}$
• ${\displaystyle {\text{for all }}b\in B{\text{ and }}b'\in B,{\text{ and for all }}i,\quad {\tilde {e}}_{i}b=b'{\text{ if and only if }}{\tilde {f}}_{i}b'=b.}$

Чтобы представить это в более неформальной обстановке, действия и обычно являются сингулярными в на интегрируемом модуле . Линейные отображения и на модуле вводятся так, чтобы действия и были регулярными в на модуле. Существует -базис весовых векторов для , относительно которого действия и являются регулярными в для всех i . Затем модуль ограничивается свободным -модулем , порожденным базисом, и базисными векторами, -подмодулем и действиями и оцениваются в . Кроме того, базис может быть выбран таким образом, чтобы в , для всех , и были представлены взаимными транспонированиями и отображали базисные векторы в базисные векторы или 0.${\displaystyle e_{i}f_{i}}$${\displaystyle f_{i}e_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}{\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}{\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$${\displaystyle {\tilde {B}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$

Кристаллическая база может быть представлена ​​направленным графом с помеченными ребрами. Каждая вершина графа представляет элемент -базиса , а направленное ребро , помеченное i , и направленное от вершины к вершине , представляет то (и, что эквивалентно, то ), где - базисный элемент, представленный , и - базисный элемент, представленный . Граф полностью определяет действия и в . Если интегрируемый модуль имеет кристаллическую базу, то модуль неприводим тогда и только тогда, когда граф, представляющий кристаллическую базу, связен (граф называется «связным», если множество вершин не может быть разделено на объединение нетривиальных непересекающихся подмножеств и такое, что нет ребер, соединяющих любую вершину в с любой вершиной в ).${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle L/qL}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle b_{2}={\tilde {f}}_{i}b_{1}}$${\displaystyle b_{1}={\tilde {e}}_{i}b_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle q=0}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$

Для любого интегрируемого модуля с кристаллическим базисом спектр весов для кристаллического базиса совпадает со спектром весов для модуля, и, следовательно, спектр весов для кристаллического базиса совпадает со спектром весов для соответствующего модуля соответствующей алгебры Каца–Муди . Кратности весов в кристаллическом базисе также совпадают с их кратностями в соответствующем модуле соответствующей алгебры Каца–Муди.

Это теорема Кашивары, что каждый интегрируемый модуль с наибольшим весом имеет кристаллическую базу. Аналогично, каждый интегрируемый модуль с наименьшим весом имеет кристаллическую базу.

Пусть будет интегрируемым модулем с кристаллическим базисом и будет интегрируемым модулем с кристаллическим базисом . Для кристаллических базисов копроизведение , заданное как ${\displaystyle M}$${\displaystyle (L,B)}$${\displaystyle M'}$${\displaystyle (L',B')}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (k_{\lambda })&=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }\\\Delta (e_{i})&=e_{i}\otimes k_{i}^{-1}+1\otimes e_{i}\\\Delta (f_{i})&=f_{i}\otimes 1+k_{i}\otimes f_{i}\end{aligned}}}$

принимается. Интегрируемый модуль имеет кристаллическую базу , где . Для базисного вектора , определим ${\displaystyle M\otimes _{\mathbb {Q} (q)}M'}$${\displaystyle (L\otimes _{A}L',B\otimes B')}$${\displaystyle B\otimes B'=\left\{b\otimes _{\mathbb {Q} }b':b\in B,\ b'\in B'\right\}}$${\displaystyle b\in B}$

${\displaystyle \varepsilon _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {e}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}}$

${\displaystyle \varphi _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {f}}_{i}^{n}b\neq 0\right\}}$

Действия и на задаются формулой${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$${\displaystyle b\otimes b'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {e}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {e}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)\geq \varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {e}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)<\varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\\{\tilde {f}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {f}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)>\varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {f}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)\leq \varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\end{aligned}}}$

Разложение произведения двух интегрируемых модулей старшего веса на неприводимые подмодули определяется разложением графа кристаллического основания на его связные компоненты (т.е. определяются старшие веса подмодулей, а также определяется кратность каждого старшего веса).

• Jantzen, Jens Carsten (1996), Лекции по квантовым группам, Graduate Studies in Mathematics , т. 6, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0478-0, г-н  1359532
• Кашивара, Масаки (1990), «Кристаллизация q-аналога универсальных обёртывающих алгебр», Communications in Mathematical Physics , 133 (2): 249– 260, doi :10.1007/bf02097367, ISSN  0010-3616, MR  1090425, S2CID  121695684
• Люстиг, Г. (1990), «Канонические базисы, возникающие из квантованных обертывающих алгебр», Журнал Американского математического общества , 3 (2): 447– 498, doi : 10.2307/1990961 , ISSN  0894-0347, JSTOR  1990961, MR  1035415

• Кристаллическая основа в n Lab