Модель пути Литтельмана

В математике модель пути Литтельмана — это комбинаторный прием, предложенный Питером Литтельманном для вычисления кратностей без пересчета в теории представлений симметризуемых алгебр Каца–Муди . Наиболее важным ее применением являются комплексные полупростые алгебры Ли или эквивалентно компактные полупростые группы Ли , случай, описанный в этой статье. Кратности в неприводимых представлениях , тензорных произведениях и правилах ветвления можно вычислить с помощью цветного ориентированного графа , с метками, заданными простыми корнями алгебры Ли.

Разработанная как мост между теорией кристаллических базисов , возникшей из работы Кашивары и Люстига по квантовым группам , и стандартной мономиальной теорией CS Seshadri и Lakshmibai, модель путей Литтельмана связывает с каждым неприводимым представлением рациональное векторное пространство с базисом, заданным путями от начала координат до веса, а также парой корневых операторов, действующих на путях для каждого простого корня . Это дает прямой способ восстановления алгебраических и комбинаторных структур, ранее открытых Кашиварой и Люстигом с использованием квантовых групп.

Некоторые из основных вопросов теории представлений комплексных полупростых алгебр Ли или компактных полупростых групп Ли, восходящих к Герману Вейлю, включают: ^{[1] [2]}

• Для заданного доминирующего веса λ найдите кратности веса в неприводимом представлении L (λ) с наибольшим весом λ.
• Для двух наибольших весов λ, μ найдите разложение их тензорного произведения L (λ) L (μ) на неприводимые представления.${\displaystyle \otimes}$
• Предположим, что — компонент Леви параболической подалгебры полупростой алгебры Ли . Для заданного доминирующего старшего веса λ определите правило ветвления для разложения ограничения L ( λ ) на . ^[3]${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$

(Обратите внимание, что первая проблема, кратностей весов, является частным случаем третьей, в которой параболическая подалгебра является подалгеброй Бореля. Более того, проблема ветвления Леви может быть встроена в проблему тензорного произведения как определенный предельный случай.)

Ответы на эти вопросы были впервые предоставлены Германом Вейлем и Ричардом Брауэром как следствия явных формул характеров , ^[4] за которыми последовали более поздние комбинаторные формулы Ганса Фройденталя , Роберта Штейнберга и Бертрама Костанта ; см. Humphreys (1994). Неудовлетворительной особенностью этих формул является то, что они включали чередующиеся суммы для величин, которые были известны априори как неотрицательные. Метод Литтельмана выражает эти кратности как суммы неотрицательных целых чисел без пересчета . Его работа обобщает классические результаты, основанные на таблицах Юнга для общей линейной алгебры Ли _n или специальной линейной алгебры Ли _n : ^{[5] [6] [7] [8]}${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$

• Результат Иссаи Шура в его диссертации 1901 года заключался в том, что кратности весов можно подсчитать в терминах таблиц Юнга, строгих по столбцам (т.е. слабо возрастающих вправо по строкам и строго возрастающих вниз по столбцам).
• Знаменитое правило Литтлвуда–Ричардсона , описывающее как разложения тензорного произведения, так и ветвление от _{m + n} до _{m n} в терминах решетчатых перестановок косых таблиц.${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$ ${\displaystyle \oplus}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}}$

Попытки найти аналогичные алгоритмы без пересчета для других классических алгебр Ли были лишь частично успешными. ^[9]

Вклад Литтельмана состоял в том, чтобы дать единую комбинаторную модель, которая применима ко всем симметризуемым алгебрам Каца–Муди и предоставила явные комбинаторные формулы без вычитаний для кратностей весов, правил тензорного произведения и правил ветвления . Он добился этого, введя векторное пространство V над Q, порожденное решеткой весов подалгебры Картана ; на векторном пространстве кусочно-линейных путей в V, соединяющих начало координат с весом, он определил пару корневых операторов для каждого простого корня . Комбинаторные данные можно было закодировать в цветном ориентированном графе с метками, заданными простыми корнями.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Основной мотивацией Литтельмана ^[10] было примирение двух различных аспектов теории репрезентации:

• Стандартная мономиальная теория Лакшмибаи и Шешадри, вытекающая из геометрии многообразий Шуберта .
• Кристаллические базисы, возникающие в подходе к квантовым группам Масаки Касивары и Джорджа Люстига . Кашивара и Люстиг построили канонические базисы для представлений деформаций универсальной обертывающей алгебры в зависимости от формального параметра деформации q . В вырожденном случае, когда q = 0, они дают кристаллические базисы вместе с парами операторов, соответствующих простым корням; см. Ariki (2002).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Хотя и по-разному определенные, кристаллический базис, его корневые операторы и кристаллический граф позже были показаны эквивалентными модели пути и графу Литтельмана; см. Hong & Kang (2002, стр. xv). В случае сложных полупростых алгебр Ли существует упрощенное самодостаточное описание в Littelmann (1997), опирающееся только на свойства корневых систем ; этот подход используется здесь.

Пусть P — решетка весов в двойственной подалгебре Картана полупростой алгебры Ли .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Путь Литтельмана — это кусочно-линейное отображение

${\displaystyle \pi :[0,1]\cap \mathbf {Q} \rightarrow P\otimes _ {\mathbf {Z} }\mathbf {Q} }$

такой, что π(0) = 0, а π(1) — вес .

Пусть ( H _α ) — базис, состоящий из векторов «coroot», двойственный базису *, образованному простыми корнями (α). При фиксированном α и пути π функция имеет минимальное значение M .${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle h(t)=(\пи (t),H_{\альфа})}$

Определим неубывающее самоотображение l и r из [0,1] Q как${\displaystyle \cap}$

${\displaystyle l(t)=\min _{t\leq s\leq 1}(1,h(s)-M),\,\,\,\,\,\,r(t)=1-\min _{0\leq s\leq t}(1,h(s)-M).}$

Таким образом, l ( t ) = 0 до последнего раза, когда h ( s ) = M , и r ( t ) = 1 после первого раза, когда h ( s ) = M.

Определим новые пути π _l и π _r с помощью

${\displaystyle \pi _{r}(t)=\pi (t)+r(t)\alpha ,\,\,\,\,\,\,\pi _{l}(t)=\pi (t)-l(t)\alpha }$

Корневые операторы e _α и f _α определяются на базисном векторе [π] следующим образом:

• ${\displaystyle \displaystyle {e_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{r}]}}$если r (0) = 0 и 0 в противном случае;
• ${\displaystyle \displaystyle {f_{\alpha }[\pi ]=[\pi _{l}]}}$если l (1) = 1 и 0 в противном случае.

Ключевой особенностью здесь является то, что пути образуют основу для корневых операторов, подобно мономиальному представлению : когда корневой оператор применяется к базисному элементу для пути, результатом является либо 0, либо базисный элемент для другого пути.

Пусть будет алгеброй, порожденной корневыми операторами. Пусть π( t ) будет путем, лежащим целиком внутри положительной камеры Вейля, определяемой простыми корнями. Используя результаты по модели пути CS Seshadri и Lakshmibai, Литтельманн показал, что${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• -модуль , порожденный [π], зависит только от π(1) = λ и имеет Q -базис, состоящий из путей [σ];${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• кратность веса μ в интегрируемом представлении старшего веса L (λ) равна числу путей σ с σ(1) = μ.

Также существует действие группы Вейля на путях [π]. Если α — простой корень и k = h (1), где h как и выше, то соответствующее отражение s _α действует следующим образом:

• s _α [π] = [π], если k = 0;
• s _α [π]= f _α ^k [π], если k > 0;
• s _α [π]= e _α ^{– k} [π], если k < 0.

Если π — путь, полностью лежащий внутри положительной камеры Вейля, граф Литтельмана определяется как цветной ориентированный граф, вершинами которого являются ненулевые пути, полученные последовательным применением операторов f _α к π. Существует направленная стрелка от одного пути к другому, помеченная простым корнем α, если целевой путь получен из исходного пути применением f _α .${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\pi }}$

• Графы Литтельмана двух путей изоморфны как цветные ориентированные графы тогда и только тогда, когда пути имеют одну и ту же конечную точку.

Граф Литтельмана, таким образом, зависит только от λ. Кашивара и Джозеф доказали, что он совпадает с «кристаллическим графом», определенным Кашиварой в теории кристаллических базисов.

Если π(1) = λ, то кратность веса μ в L (λ) равна числу вершин σ в графе Литтельмана с σ(1) = μ.${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\pi }}$

Пусть π и σ — пути в положительной камере Вейля с π(1) = λ и σ(1) = μ. Тогда

${\displaystyle L(\lambda )\otimes L(\mu )=\bigoplus _{\eta }L(\lambda +\tau (1)),}$

где τ пробегает пути таким образом, что π τ полностью лежит в положительной камере Вейля, а конкатенация π τ (t) определяется как π(2 t ) для t ≤ 1/2 и π(1) + τ( 2 t – 1) для t ≥ 1/2.${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\sigma }}$${\displaystyle \star }$${\displaystyle \star }$

Если — компонента Леви параболической подалгебры с решеткой весов P ₁ P , то${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \supset }$

${\displaystyle L(\lambda )|_{{\mathfrak {g}}_{1}}=\bigoplus _{\sigma }L_{{\mathfrak {g}}_{1}}(\sigma (1)),}$

где сумма пробегает все пути σ, которые целиком лежат в положительной камере Вейля для .${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\pi }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$

• Кристаллическая основа