Точка (геометрия)

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неиспользуемые материалы могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Точечная» геометрия – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2022 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Геометрия
Проекция сферы на плоскость​
Филиалы Евклидов Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантов Дифференциал риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный/Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительный Фрактал Заболеваемость Некоммутативная геометрия Некоммутативная алгебраическая геометрия
Концепции Функции Измерение Конструкции с использованием циркуля и линейки Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( Перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Область Полигон Треугольник Высота Гипотенуза Теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб ромбовидный Четырехугольник трапеция Летающий змей Круг Диаметр Окружность Область
Трёхмерный Объем Куб кубоид Цилиндр Dodecahedron Icosahedron Octahedron Pyramid Platonic Solid Sphere Tetrahedron
Four- / other-dimensional Tesseract Hypersphere
Geometers
by name Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Chern Coxeter Descartes Euclid Euler Gauss Gromov Hilbert Huygens Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang List of geometers
by period BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Huygens Minggatu Euler Sakabe Aida 1700s–1900s Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Chern Present day Atiyah Gromov
v t e

В геометрии точка — это абстрактная идеализация точного положения , без размера, в физическом пространстве , ^[1] или его обобщение на другие виды математических пространств . Как нульмерные объекты , точки обычно считаются фундаментальными неделимыми элементами, составляющими пространство, из которых состоят одномерные кривые , двумерные поверхности и многомерные объекты; наоборот, точка может быть определена пересечением двух кривых или трех поверхностей, называемым вершиной или углом .

В классической евклидовой геометрии точка является примитивным понятием , определяемым как «то, что не имеет части». Точки и другие примитивные понятия определяются не в терминах других понятий, а только посредством определенных формальных свойств, называемых аксиомами , которым они должны удовлетворять; например, «существует ровно одна прямая линия , проходящая через две различные точки» . Как физические диаграммы, геометрические фигуры создаются с помощью таких инструментов, как циркуль , чертилка или ручка, чей заостренный кончик может отметить маленькую точку или проколоть небольшое отверстие, представляющее точку, или может быть нарисован на поверхности, представляющей кривую.

С появлением аналитической геометрии точки часто определяются или представляются в терминах числовых координат . В современной математике пространство точек обычно рассматривается как множество , множество точек .

Изолированная точка — это элемент некоторого подмножества точек, имеющий некоторую окрестность , не содержащую других точек подмножества.

Точки, рассматриваемые в рамках евклидовой геометрии , являются одними из самых фундаментальных объектов. Евклид изначально определил точку как «то, что не имеет части». ^[2] В двумерной евклидовой плоскости точка представлена ​​упорядоченной парой ( x ,  y ) чисел, где первое число условно представляет горизонталь и часто обозначается как x , а второе число условно представляет вертикаль и часто обозначается как y . Эта идея легко обобщается на трехмерное евклидово пространство , где точка представлена ​​упорядоченной тройкой ( x ,  y ,  z ) с дополнительным третьим числом, представляющим глубину и часто обозначаемым как z . Дальнейшие обобщения представлены упорядоченным кортежем из n членов, ( a1 ,  a2 , _… ,  an ), где n — размерность пространства _{, в} котором расположена точка. ^[3]

Многие конструкции в евклидовой геометрии состоят из бесконечного набора точек, которые соответствуют определенным аксиомам. Обычно это представлено набором точек ; Например, линия — это бесконечный набор точек вида , где c ₁ через c _n и d — константы, а n — размерность пространства. Существуют похожие конструкции, которые определяют плоскость , отрезок прямой и другие связанные понятия. ^[4] Отрезок прямой, состоящий только из одной точки, называется вырожденным отрезком прямой. ^{[ требуется ссылка ]}$${\displaystyle L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})\mid a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace ,}$$

В дополнение к определению точек и конструкций, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею о точках, что любые две точки могут быть соединены прямой линией. ^[5] Это легко подтверждается в современных расширениях евклидовой геометрии и имело долгосрочные последствия при ее введении, позволяя строить почти все геометрические концепции, известные в то время. Однако постулирование Евклидом точек не было ни полным, ни окончательным, и он иногда предполагал факты о точках, которые не следовали напрямую из его аксиом, такие как порядок точек на прямой или существование определенных точек. Несмотря на это, современные расширения системы служат для устранения этих предположений. ^[6]

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (March 2022) (Learn how and when to remove this message)

В математике существует несколько неэквивалентных определений размерности . Во всех общих определениях точка имеет 0 измерений.

Размерность векторного пространства — это максимальный размер линейно независимого подмножества. В векторном пространстве, состоящем из одной точки (которая должна быть нулевым вектором 0 ), нет линейно независимого подмножества. Нулевой вектор сам по себе не является линейно независимым, поскольку существует нетривиальная линейная комбинация, делающая его нулевым: .${\displaystyle 1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }$

Топологическая размерность топологического пространства определяется как минимальное значение n , такое, что каждое конечное открытое покрытие допускает конечное открытое покрытие , в котором ни одна точка не включена в более чем n +1 элемент. Если такого минимального n не существует, то говорят, что пространство имеет бесконечную размерность покрытия.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Точка является нульмерной относительно измерения покрытия, поскольку каждое открытое покрытие пространства имеет детализацию, состоящую из одного открытого множества.

Пусть X — метрическое пространство . Если S ⊂ X и d ∈ [0, ∞) , d -мерное содержание Хаусдорфа пространства S является инфимумом множества чисел δ ≥ 0, таких, что существует некоторый (индексированный) набор шаров, покрывающих S с r _i > 0 для каждого i ∈ I , который удовлетворяет условию${\displaystyle \{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}}$$${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta .}$$

Хаусдорфова размерность X определяется как$${\displaystyle \operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$$

Точка имеет размерность Хаусдорфа равную 0, поскольку ее можно покрыть одним шаром сколь угодно малого радиуса.

Хотя понятие точки обычно считается фундаментальным в основной геометрии и топологии, есть некоторые системы, которые отказываются от него, например, некоммутативная геометрия и бесточечная топология . «Бесточечное» или «точечно-свободное» пространство определяется не как множество , а через некоторую структуру ( алгебраическую или логическую соответственно), которая выглядит как хорошо известное функциональное пространство на множестве: алгебра непрерывных функций или алгебра множеств соответственно. Точнее, такие структуры обобщают хорошо известные пространства функций таким образом, что операция «принять значение в этой точке» может быть не определена. ^[7] Дальнейшая традиция берет начало в некоторых книгах А. Н. Уайтхеда , в которых понятие области предполагается как примитивное вместе с понятием включения или соединения . ^[8]

Часто в физике и математике полезно думать о точке как о имеющей ненулевую массу или заряд (это особенно распространено в классическом электромагнетизме , где электроны идеализируются как точки с ненулевым зарядом). Дельта-функция Дирака , или δ -функция , является (неформально) обобщенной функцией на действительной числовой прямой, которая равна нулю везде, кроме нуля, с интегралом единица по всей действительной прямой. ^[9] Дельта-функция иногда рассматривается как бесконечно высокий, бесконечно тонкий шип в начале координат, с общей площадью единица под шипом, и физически представляет собой идеализированную точечную массу или точечный заряд . ^[10] Она была введена физиком-теоретиком Полем Дираком . В контексте обработки сигналов ее часто называют символом (или функцией) единичного импульса . ^[11] Ее дискретным аналогом является дельта-функция Кронекера , которая обычно определяется в конечной области и принимает значения 0 и 1.

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Точки (математика)» .

• «Точка». PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. "Точка". MathWorld .