Точка накопления

Точка кластера в топологическом пространстве

В математике предельная точка , точка накопления или точка скопления множества в топологическом пространстве — это точка , которая может быть «аппроксимирована» точками в том смысле, что каждая окрестность содержит точку из , отличную от нее самой . Предельная точка множества сама по себе не обязательно должна быть элементом из Существует также тесно связанное понятие для последовательностей . Точка скопления или точка накопления последовательности в топологическом пространстве — это точка такая, что для каждой окрестности из существует бесконечно много натуральных чисел , таких что Это определение точки скопления или накопления последовательности обобщается на сети и фильтры . $S$ $X$ $x$ $S$ $x$ $S$ $x$ $S$ $С.$ $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $X$ $x$ $V$ $x,$ $n$ $x_{n}\in В.$

Аналогично названное понятие предельной точки последовательности^[1] (соответственно, предельной точки фильтра , ^[2] предельной точки сети ) по определению относится к точке, к которой сходится последовательность (соответственно, фильтр сходится к , сеть сходится к ). Важно отметить, что хотя «предельная точка множества» является синонимом «точки кластера/накопления множества», это не относится к последовательностям (ни к сетям, ни к фильтрам). То есть термин «предельная точка последовательности» не является синонимом «точки кластера/накопления последовательности».

Предельные точки множества не следует путать с точками прилипания (также называемыми точками замыкания ), для которых каждая окрестность содержит некоторую точку . В отличие от предельных точек, точка прилипания может иметь окрестность, не содержащую точек, отличных от нее самой. Предельную точку можно охарактеризовать как точку прилипания, которая не является изолированной точкой . $x$ $S$ $x$ $S$ $x$

Предельные точки множества также не следует путать с граничными точками . Например, является граничной точкой (но не предельной) множества в со стандартной топологией . Однако является предельной точкой (хотя и не граничной) интервала в со стандартной топологией (для менее тривиального примера предельной точки см. первый заголовок). ^[3]^[4]^[5] $0$ $\{0\}$ $\mathbb {R}$ $0.5$ $[0,1]$ $\mathbb {R}$

Эта концепция выгодно обобщает понятие предела и является основой таких концепций, как замкнутое множество и топологическое замыкание . Действительно, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, а операция топологического замыкания может рассматриваться как операция, которая обогащает множество, объединяя его с его предельными точками.

{\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}{\frac {n}{n+1}}} — Относительно обычной евклидовой топологии последовательность рациональных чисел не имеет *предела* (т.е. не сходится), но имеет две точки накопления (которые здесь считаются *предельными точками* ), а именно -1 и +1. Таким образом, думая о множествах, эти точки являются предельными точками множества $x_{n}=(-1)^{n}{\frac {n}{n+1}}$ $S=\{x_{n}\}.$

Определение

Накопление очков набора

Пусть будет подмножеством топологического пространства Точка в является предельной точкой или точкой кластера или $S$ $X.$ $x$ $X$ точка накопления множества ,если каждаяокрестностьсодержит хотя бы одну точку ,отличную отсамой себя. $S$ $x$ $S$ $x$

Не имеет значения, если мы ограничим условие только открытыми окрестностями. Часто бывает удобно использовать форму определения "открытой окрестности", чтобы показать, что точка является предельной точкой, и использовать форму определения "общей окрестности", чтобы вывести факты из известной предельной точки.

Если — пространство (такое как метрическое пространство ), то является предельной точкой тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит бесконечно много точек ^[6] Фактически, пространства характеризуются этим свойством. $X$ $T_{1}$ $x\in X$ $S$ $x$ $С.$ $T_{1}$

Если — пространство Фреше–Урысона (которым являются все метрические пространства и пространства с первой аксиомой счетности ), то является предельной точкой тогда и только тогда, когда существует последовательность точек, в пределе которой есть На самом деле пространства Фреше–Урысона характеризуются этим свойством. $X$ $x\in X$ $S$ $S\setminus \{x\}$ $х.$

Множество предельных точек называется производным множеством $S$ $С.$

Специальные типы точек накопления множества

Если каждая окрестность содержит бесконечно много точек, то существует определенный тип предельной точки, называемый $x$ $S,$ $x$ ω-точка накопления $С.$

Если каждая окрестность содержит несчетное число точек, то существует определенный тип предельной точки, называемый точкой сгущения . $x$ $S,$ $x$ $С.$

Если каждая окрестность такова , что мощность равна мощности , то существует определенный тип предельной точки, называемый $U$ $x$ $U\cap S$ $S,$ $x$ полная точка накопления $С.$

Точки накопления последовательностей и сетей

В топологическом пространстве точка называется $X,$ $x\in X$ точка кластера илиточка накопления последовательности , если для каждойокрестностисуществуетбесконечно многотаких, что Это эквивалентно утверждению, что для каждой окрестностиидля каждогосуществует такое, что Еслиявляетсяметрическим пространствомилипространством с первой аксиомой счетности(или, в более общем смысле,пространством Фреше–Урысона), тоявляется точкой скопления ,если и только еслиявляется пределом некоторой подпоследовательности . Множество всех точек скопления последовательности иногда называютпредельным множеством. $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ $V$ $x,$ $n\in \mathbb {N}$ $x_{n}\in В.$ $V$ $x$ $n_{0}\in \mathbb {N} ,$ $n\geq n_{0}$ $x_{n}\in В.$ $X$ $x$ $x_{\bullet }$ $x$ $x_{\bullet }.$

Обратите внимание, что уже существует понятие предела последовательности , означающее точку, к которой сходится последовательность (то есть каждая окрестность содержит все элементы последовательности, кроме конечного числа). Вот почему мы не используем термин предельная точка последовательности как синоним точки накопления последовательности. $x$ $x$

Понятие сети обобщает идею последовательности . Сеть — это функция , где — направленное множество , а — топологическое пространство. Точка называется $f:(P,\leq )\to X,$ $(P,\leq)$ $X$ $x\in X$ точка кластера илиточка накопления сети , если для каждойокрестностии для каждойсуществуетнекотораятакая , чтоэквивалентно, еслиимеетподсеть, которая сходится кТочки кластеризации в сетях охватывают идею как точек конденсации, так и точек ω-накопления.Кластеризацияипредельные точкитакже определены дляфильтров. $f$ $V$ $x$ $p_{0}\in P,$ $p\geq p_{0}$ $f(p)\in V,$ $f$ $х.$

Связь между точкой накопления последовательности и точкой накопления множества

Каждая последовательность по определению является просто картой , поэтому ее изображение можно определить обычным способом. $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ $X$ $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ $\operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}$

Если существует элемент , который встречается в последовательности бесконечно много раз, является точкой накопления последовательности. Но не обязательно является точкой накопления соответствующего множества Например, если последовательность является постоянной последовательностью со значением мы имеем и является изолированной точкой и не является точкой накопления $x\in X$ $x$ $x$ $\operatorname {Я} x_{\bullet }.$ $x,$ $\operatorname {Я} x_{\bullet }=\{x\}$ $x$ $\operatorname {Я} x_{\bullet }$ $\operatorname {Я} x_{\bullet }.$

Если ни один элемент не встречается в последовательности бесконечно много раз, например, если все элементы различны, то любая точка накопления последовательности является точкой накопления соответствующего множества. $\омега$ $\operatorname {Я} x_{\bullet }.$

Наоборот, если задано счетное бесконечное множество в , мы можем перечислить все элементы множеством способов, даже с повторениями, и таким образом связать с ним множество последовательностей , которые будут удовлетворять $A\subseteq X$ $X,$ $А$ $x_{\bullet }$ $A=\operatorname {Я} x_{\bullet }.$

Любая точка накопления является точкой накопления любой из соответствующих последовательностей (поскольку любая окрестность точки будет содержать бесконечно много элементов и, следовательно, также бесконечно много членов в любой связанной последовательности). $\омега$ $А$ $А$

Точка , которая не является точкой накопления , не может быть точкой накопления любой из связанных последовательностей без бесконечных повторений (поскольку имеет окрестность, содержащую только конечное число (возможно, даже ни одной) точек , и эта окрестность может содержать только конечное число членов таких последовательностей). $x\in X$ $\омега$ $А$ $x$ $А$

Характеристики

Каждый предел непостоянной последовательности является точкой накопления последовательности. И по определению каждая предельная точка является точкой присоединения .

Замыкание множества — это непересекающееся объединение его предельных точек и изолированных точек , то есть, $\operatorname {cl} (S)$ $S$ $L(S)$ $Я(С)$ $\operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S)\quad {\text{and}}\quad L(S)\cap I(S)=\emptyset .$

Точка является предельной точкой тогда и только тогда , когда она находится в замыкании $x\in X$ $S\subseteq X$ $S\setminus \{x\}.$

Доказательство

Мы используем тот факт, что точка находится в замыкании множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность точки соответствует множеству. Теперь, является предельной точкой тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит точку, отличную от тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит точку тогда и только тогда, когда находится в замыкании $x$ $S,$ $x$ $S$ $x,$ $x$ $S\setminus \{x\},$ $x$ $S\setminus \{x\}.$

Если мы используем для обозначения множества предельных точек , то мы имеем следующую характеристику замыкания : Замыкание равно объединению и Этот факт иногда принимается за определение замыкания . $L(S)$ $S,$ $S$ $S$ $S$ $L(S).$

Доказательство

("Левое подмножество") Предположим, что находится в замыкании Если находится в, то все готово. Если не находится в , то каждая окрестность содержит точку и эта точка не может быть Другими словами, является предельной точкой и находится в $x$ $С.$ $x$ $S,$ $x$ $S,$ $x$ $S,$ $х.$ $x$ $S$ $x$ $L(S).$

(«Правое подмножество») Если принадлежит , то каждая окрестность из очевидно пересекается , поэтому принадлежит замыканию Если принадлежит , то каждая окрестность из содержит точку (отличную от ), поэтому принадлежит замыканию Это завершает доказательство. $x$ $S,$ $x$ $S,$ $x$ $С.$ $x$ $L(S),$ $x$ $S$ $x$ $x$ $С.$

Следствие этого результата дает нам характеристику замкнутых множеств: множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки. $S$

Доказательство

Доказательство 1: замкнуто тогда и только тогда, когда равно своему замыканию тогда и только тогда, когда и только тогда, когда содержится в $S$ $S$ $S=S\чашка L(S)$ $L(S)$ $С.$

Доказательство 2: Пусть будет замкнутым множеством и предельной точкой для Если не входит в то дополнение к содержит открытую окрестность для Поскольку является предельной точкой любой открытой окрестности для должно иметь нетривиальное пересечение с Однако множество не может иметь нетривиального пересечения со своим дополнением. Обратно, предположим, что содержит все свои предельные точки. Мы покажем, что дополнение к является открытым множеством. Пусть будет точкой в дополнении к По предположению не является предельной точкой, и, следовательно, существует открытая окрестность для , которая не пересекается и, таким образом, целиком лежит в дополнении к Поскольку это рассуждение справедливо для произвольного в дополнение к дополнению к можно выразить как объединение открытых окрестностей точек в дополнении к Следовательно, дополнение к открыто. $S$ $x$ $С.$ $x$ $S,$ $S$ $х.$ $x$ $S,$ $x$ $С.$ $S$ $S$ $x$ $С.$ $x$ $U$ $x$ $S,$ $U$ $С.$ $x$ $S,$ $S$ $С.$ $S$

Ни одна изолированная точка не является предельной точкой какого-либо множества.

Доказательство

Если — изолированная точка, то — окрестность , не содержащая точек, отличных от $x$ $\{x\}$ $x$ $х.$

Пространство дискретно тогда и только тогда , когда ни одно подмножество не имеет предельной точки. $X$ $X$

Доказательство

Если является дискретным, то каждая точка изолирована и не может быть предельной точкой любого множества. Наоборот, если не является дискретным, то существует синглтон, который не является открытым. Следовательно, каждая открытая окрестность содержит точку и, следовательно, является предельной точкой $X$ $X$ $\{x\}$ $\{x\}$ $y\neq x,$ $x$ $X.$

Если пространство имеет тривиальную топологию и является подмножеством с более чем одним элементом, то все элементы являются предельными точками Если пространство является синглетоном, то каждая точка является предельной точкой $X$ $S$ $X$ $X$ $С.$ $S$ $X\setminus S$ $С.$

Доказательство

Пока непусто, его замыкание будет Оно пусто только тогда, когда пусто или является уникальным элементом $S\setminus \{x\}$ $X.$ $S$ $x$ $С.$

Смотрите также

Точка присоединения – точка, принадлежащая замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
Точка конденсации – более сильный аналог предельной точки.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
Конвергентный фильтр – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.Pages displaying short descriptions of redirect targets
Производное множество (математика) – множество всех предельных точек множества.
Фильтры в топологии – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
Изолированная точка – точка подмножества S, вокруг которой нет других точек S.
Предел функции – точка, к которой сходятся функции при анализе.
Предел последовательности – значение, к которому стремится бесконечная последовательность.
Последующий предел – предел некоторой подпоследовательности

Цитаты

↑ Дугунджи 1966, стр. 209–210.
↑ Бурбаки 1989, стр. 68–83.
^ "Разница между граничной точкой и предельной точкой". 2021-01-13.
^ "Что такое предельная точка". 2021-01-13.
^ "Примеры накопления баллов". 2021-01-13. Архивировано из оригинала 2021-04-21 . Получено 2021-01-14 .
↑ Манкрес 2000, стр. 97–102.

Ссылки

Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
«Предельная точка множества», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[FOOTNOTEDugundji1966209–210-1] Дугунджи 1966, стр. 209–210.

[FOOTNOTEBourbaki198968–83-2] Бурбаки 1989, стр. 68–83.

[3] "Разница между граничной точкой и предельной точкой". 2021-01-13.

[4] "Что такое предельная точка". 2021-01-13.

[5] "Примеры накопления баллов". 2021-01-13. Архивировано из оригинала 2021-04-21 . Получено 2021-01-14 .

[FOOTNOTEMunkres200097–102-6] Манкрес 2000, стр. 97–102.