Фундаментальные теоремы экономики благосостояния

Существуют две основные теоремы экономики благосостояния . Первая утверждает, что в экономическом равновесии , набор полных рынков , с полной информацией и в условиях совершенной конкуренции , будет оптимальным по Парето (в том смысле, что никакой дальнейший обмен не сделает одного человека лучше, не ухудшив положение другого). Требования для совершенной конкуренции следующие: ^[1]

1. Нет никаких внешних факторов , и каждый участник имеет полную информацию .
2. Фирмы и потребители воспринимают цены как данность (ни один экономический субъект или группа субъектов не имеет рыночной власти ).

Теорема иногда рассматривается как аналитическое подтверждение принципа « невидимой руки » Адама Смита , а именно, что конкурентные рынки обеспечивают эффективное распределение ресурсов . Однако нет никакой гарантии, что оптимальный по Парето рыночный результат является справедливым , поскольку существует множество возможных эффективных по Парето распределений ресурсов, различающихся по своей желательности (например, один человек может владеть всем, а все остальные — ничем). ^[2]

Вторая теорема утверждает, что любой оптимум Парето может быть поддержан как конкурентное равновесие для некоторого начального набора вкладов. Подразумевается, что любой желаемый оптимальный по Парето результат может быть поддержан; эффективность Парето может быть достигнута при любом перераспределении начального богатства. Однако попытки исправить распределение могут внести искажения, и поэтому полная оптимальность может быть недостижима при перераспределении. [ ^3]

Теоремы можно визуализировать графически для простой экономики чистого обмена с помощью диаграммы Эджворта .

При обсуждении импортных тарифов Адам Смит писал:

Каждый человек обязательно трудится, чтобы сделать годовой доход общества настолько большим, насколько он может... В этом, как и во многих других отношениях, его ведет невидимая рука к достижению цели, которая не входила в его намерения... Преследуя свои собственные интересы, он часто способствует интересам общества более эффективно, чем когда он действительно намеревается это сделать. ^[4]

Обратите внимание, что идеи Смита не были направлены конкретно на экономику благосостояния, поскольку эта область экономики не была создана в то время. Однако его аргументы были засчитаны как для создания отрасли, так и для фундаментальных теорий экономики благосостояния. ^[5]

Вальрас писал, что «обмен в условиях свободной конкуренции — это операция, посредством которой все стороны получают максимальное удовлетворение при условии купли-продажи по единой цене» ^{[6] .}

Эджворт сделал шаг к первой фундаментальной теореме в своей «Математической психике», рассматривая чистую экономику обмена без производства. Он включил несовершенную конкуренцию в свой анализ. ^[7] Его определение равновесия почти совпадает с более поздним определением оптимальности Парето: это точка, такая, что...

В каком бы направлении мы ни сделали бесконечно малый шаг, P и Π [полезности покупателя и продавца] не увеличиваются одновременно, но, в то время как одна увеличивается, другая уменьшается. ^[8]

Вместо того чтобы сделать вывод о том, что равновесие является оптимальным по Парето, Эджворт пришел к выводу, что равновесие максимизирует сумму полезностей сторон, что является частным случаем эффективности по Парето:

По-видимому, из общих динамических принципов, применяемых к этому особому случаю, следует, что равновесие достигается, когда общая энергия удовольствия контрагентов максимальна относительно или в зависимости от условий... ^[9]

Парето сформулировал первую фундаментальную теорему в своем Manuale (1906) и с большей строгостью в его французской редакции ( Manuel , 1909). ^[10] Он был первым, кто заявил об оптимальности по своему собственному критерию или поддержал это утверждение убедительными аргументами. ^{[ необходима цитата ]}

Он определяет равновесие более абстрактно, чем Эджворт, как состояние, которое будет поддерживаться бесконечно долго при отсутствии внешнего давления ^[11] и показывает, что в экономике обмена это точка, в которой общая касательная к кривым безразличия сторон проходит через запас. ^[12]

Его определение оптимальности дано в главе VI:

Мы скажем, что члены коллектива наслаждаются максимальной офелимностью [т. е. полезностью] в определенном положении, когда невозможно сделать небольшой шаг в сторону, чтобы офелимность, которой наслаждается каждый индивид в коллективе, увеличилась или уменьшилась. [Ранее он определил увеличение индивидуальной офелимности как переход на более высокую кривую безразличия.] То есть, любой небольшой шаг обязательно увеличит офелимность некоторых индивидов, уменьшив при этом офелимность других. ^[13]

Следующий абзац дает нам теорему:

Для явлений типа I [т.е. совершенной конкуренции], когда равновесие достигается в точке касания кривых безразличия, члены коллектива обладают максимальной офелитичностью.

Он добавляет, что «строгое доказательство не может быть дано без помощи математики» и ссылается на свое Приложение. ^[14]

Виксель , ссылаясь на свое определение оптимальности, прокомментировал:

При таком определении почти самоочевидно, что этот так называемый максимум достигается в условиях свободной конкуренции, потому что если бы после того, как обмен был осуществлен, было бы возможно посредством дальнейшей серии прямых или косвенных обменов произвести дополнительное удовлетворение потребностей участников, то в этом случае такой непрерывный обмен, несомненно, имел бы место, и исходное положение не могло бы быть положением окончательного равновесия. ^[15]

Парето не нашел это таким простым. Он приводит схематический аргумент в своем тексте, применяя его исключительно к обмену, ^[16] и 32-страничный математический аргумент в Приложении ^[17], который Самуэльсон нашел «непростым для понимания». ^[18] Парето был затруднен из-за отсутствия концепции границы производственных возможностей , разработка которой была отчасти обязана его соратнику Энрико Бароне . ^[19] Его собственные «кривые безразличия для препятствий», по-видимому, были ложным путем.

Вскоре после формулировки первой фундаментальной теоремы Парето задает вопрос о распределении:

Рассмотрим коллективистское общество, которое стремится максимизировать офелитильность своих членов. Проблема делится на две части. Во-первых, у нас есть проблема распределения: как должны распределяться блага внутри общества между его членами? И, во-вторых, как должно быть организовано производство, чтобы при таком распределении благ члены общества получили максимальную офелитильность?

Его ответ является неформальным предшественником второй теоремы:

Распределив блага в соответствии с ответом на первую проблему, государство должно разрешить членам коллектива осуществлять второе распределение или осуществлять его самостоятельно, в любом случае убедившись, что оно осуществляется в соответствии с принципами свободной конкуренции. ^[20]

Бароне , коллега Парето, доказал свойство оптимальности совершенной конкуренции ^[21], а именно, что — при условии экзогенных цен — она максимизирует денежную стоимость дохода от производственной деятельности, которая представляет собой сумму стоимости досуга, сбережений и товаров для потребления, взятых в желаемых пропорциях. ^[22] Он не утверждает, что цены, выбранные рынком, сами по себе оптимальны.

Его статья была переведена на английский язык только в 1935 году. Она получила одобрительное резюме от Самуэльсона ^[23], но, по-видимому, не повлияла на развитие теорем благосостояния в их нынешнем виде.

В 1934 году Лернер переформулировал условие Эджворта для обмена, что кривые безразличия должны пересекаться как касательные, представив его как свойство оптимальности. Он сформулировал похожее условие для производства, а именно, что граница производственных возможностей ( ППФ , которой он дал альтернативное название «производственная кривая безразличия») должна быть касательной к кривой безразличия для сообщества. Он был одним из создателей ППФ, использовав ее в статье о международной торговле в 1932 году. ^[24] Он показывает, что два аргумента можно представить в тех же терминах, поскольку ППФ играет ту же роль, что и зеркальная кривая безразличия в ящике Эджворта. Он также упоминает, что нет необходимости в том, чтобы кривые были дифференцируемыми, поскольку тот же результат получается, если они касаются острыми углами.

Его определение оптимальности было эквивалентно определению Парето:

Если... возможно переместить одного человека в предпочтительное положение, не перемещая другого человека в худшее положение... мы можем сказать, что относительный оптимум не достигнут...

Условие оптимальности для производства эквивалентно паре требований, что (i) цена должна быть равна предельным издержкам и (ii) выпуск должен быть максимизирован при условии (i). Таким образом, Лернер сводит оптимальность к касанию как для производства, так и для обмена, но не говорит, почему подразумеваемая точка на PPF должна быть условием равновесия для свободного рынка. Возможно, он считал это уже достаточно хорошо установленным. ^[25]

Лернер приписывает своему коллеге из LSE Виктору Эдельбергу заслугу в предложении использовать кривые безразличия. Самуэльсон предположил, что Лернер получил свои результаты независимо от работы Парето. ^[26]

Хотеллинг выдвинул новый аргумент, чтобы показать, что «продажи по предельным издержкам являются условием максимального общего благосостояния» (согласно определению Парето). Он признал, что это условие выполняется при совершенной конкуренции, но в результате утверждал, что совершенная конкуренция не может быть оптимальной, поскольку некоторые выгодные проекты не смогут возместить свои фиксированные издержки, взимая плату по этой ставке (например, в естественной монополии ). ^[27]

Статья Ланге «Основы экономики благосостояния» является источником традиционного сейчас сопряжения двух теорем, одна из которых управляет рынками, а другая распределением. Он обосновал определение оптимальности по Парето для первой теоремы ссылкой на отказ Лайонела Роббинса от сравнений межличностной полезности ^[28] и предложил различные способы повторного введения межличностных сравнений для второй теоремы, такие как решения демократически избранного Конгресса. Ланге считал, что такой конгресс может действовать аналогично капиталисту: устанавливая векторы цен, он может достичь любого оптимального плана производства, чтобы достичь эффективности и социального равенства. ^[29]

Его рассуждения являются математическим переводом (в множители Лагранжа ) графического аргумента Лернера. Вторая теорема не принимает привычную форму в его руках; скорее, он просто показывает, что условия оптимизации для подлинной функции общественной полезности аналогичны условиям для оптимальности по Парето.

Самуэльсон (отдавая должное Абраму Бергсону за содержание своих идей) довел вторую теорему Ланге о благосостоянии примерно до ее современной формы. ^[30] Он следует за Ланге в выводе набора уравнений, необходимых для оптимальности по Парето, а затем рассматривает, какие дополнительные ограничения возникают, если экономика должна удовлетворять истинной функции общественного благосостояния, находя еще один набор уравнений, из которого следует, «что все действия, необходимые для достижения заданного этического желания, могут принимать форму единовременных налогов или премий» . ^[31]

В этом разделе не указаны источники . Помогите улучшить этот раздел , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены . ( Май 2023 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Две статьи Эрроу и Дебре ^[32] (написанные независимо и опубликованные почти одновременно) пытались улучшить строгость первой теоремы Ланге. Их отчеты относятся как к (краткосрочному) производству, так и к обмену, выражая условия для обоих через линейные функции.

Равновесие для производства выражается ограничением, что стоимость чистого выпуска производителя, т.е. скалярное произведение вектора производства на вектор цен, должно быть максимизировано по всему производственному набору производителя . Это интерпретируется как максимизация прибыли .

Равновесие для обмена интерпретируется как то, что полезность индивида должна быть максимизирована по сравнению с позициями, которые можно получить из запаса посредством обмена, то есть по позициям, стоимость которых не превышает стоимости его запаса, где стоимость распределения является его скалярным произведением на вектор цен.

Эрроу мотивировал свою статью ссылкой на необходимость расширения доказательств для покрытия равновесий на краю пространства, а Дебре — возможностью недифференцируемости кривых безразличия. Современные тексты следуют их стилю доказательства.

В своей статье 1986 года «Внешние эффекты в экономиках с несовершенной информацией и неполными рынками» Брюс Гринвальд и Джозеф Стиглиц показали, что фундаментальные теоремы благосостояния не выполняются, если существуют неполные рынки или несовершенная информация. ^[33] В статье установлено, что конкурентное равновесие экономики с асимметричной информацией в общем случае даже не ограничено Парето-эффективностью. Правительство, сталкивающееся с теми же информационными ограничениями, что и частные лица в экономике, тем не менее может найти политические вмешательства, улучшающие Парето. ^[34]

Гринвальд и Стиглиц отметили несколько соответствующих ситуаций, включая то, как моральный риск может сделать ситуацию неэффективной (например, налог на алкоголь может быть улучшением по Парето, поскольку он снижает количество автомобильных аварий). ^[35]

В принципе, есть две общепринятые версии фундаментальных теорем, одна из которых относится к экономике обмена, в которой наделы задаются экзогенно, а другая относится к экономике, в которой происходит производство. Производственная экономика более общая и влечет за собой дополнительные предположения. Все предположения основаны на стандартном учебнике по микроэкономике для выпускников. ^[36]

Основные теоремы, как правило, не гарантируют ни существования, ни единственности равновесий.

• Отношение предпочтения локально ненасыщаемо для каждого потребителя i.${\displaystyle \geq _{i}}$
• Агенты (потребители и, в производственной экономике, фирмы) принимают цены как данность.
• Рынки заполнены .
• Совершенная информация .
• Агенты ведут себя рационально .
• Никаких внешних эффектов .

Вторая фундаментальная теорема имеет более жесткие условия.

• Все предположения первой теоремы; кроме того:
• Отношение предпочтения локально ненасыщаемо и выпукло для каждого потребителя i${\displaystyle \geq _{i}}$
• Производственное множество является выпуклым для каждой фирмы j.${\displaystyle Y_{j}}$
• Для перехода от ценового квазиравновесия к ценовому равновесию с трансфертами: начальный вклад каждого агента строго положителен.

Ниже приводится неполный список распространенных ошибок в предположениях, лежащих в основе фундаментальных теорем.

• Поведение ценообразования: в игровых взаимодействиях, например, когда фирмы обладают монопольной властью , результирующее равновесие не является Парето-эффективным.
• Внешние эффекты: Во многих случаях, особенно в случае загрязнения и климатических воздействий, это предположение нарушается. В некоторых случаях налог Пигу может восстановить распределение, эффективное по Парето.
• Ненасыщение: Хотя ненасыщение является очень слабым предположением, существуют два основных случая, в которых оно не выполняется. Во-первых, если предпочтения имеют точку насыщения (например, центральные банки, которые таргетируют инфляцию, имеют точку насыщения на уровне инфляции, на который они нацеливаются). Во-вторых, если товары можно покупать только дискретными порциями, это предположение может быть нарушено.
• Рациональность: В области поведенческой экономики зафиксировано множество нарушений экономической рациональности.
• Выпуклость: При наличии возрастающей отдачи от масштаба выпуклость не выполняется. Обратите внимание, что это предположение не является необходимым для первой фундаментальной теоремы.

Другой пример, в котором теоремы о благосостоянии не выполняются, — это каноническая модель перекрывающихся поколений (OLG). Еще одно предположение, которое подразумевается в формулировке теоремы, заключается в том, что стоимость совокупных запасов в экономике (некоторые из которых могут быть преобразованы в другие товары посредством производства) конечна. ^[37] В модели OLG конечность запасов не выполняется, что приводит к проблемам, аналогичным описанным парадоксом Гильберта о Гранд-отеле .

Являются ли предположения, лежащие в основе фундаментальных теорем, адекватным описанием рынков, — это, по крайней мере, частично эмпирический вопрос, и он может различаться в каждом конкретном случае.

Первая фундаментальная теорема справедлива при общих условиях. ^[38] Формальное утверждение выглядит следующим образом: если предпочтения локально ненасыщены, и если есть ценовое равновесие с трансфертами, то распределение является оптимальным по Парето.${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} ,\mathbf {p} )}$${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$ Равновесие в этом смысле относится только к экономике обмена или предполагает, что фирмы являются эффективными в плане распределения и производства, что можно показать из совершенно конкурентных рынков факторов и производства. ^[38]

Учитывая набор типов товаров, мы работаем в реальном векторном пространстве над и используем жирный шрифт для векторных переменных. Например, если то будет трехмерным векторным пространством, а вектор будет представлять собой набор товаров, содержащий 1 единицу масла, 2 единицы печенья и 3 единицы молока.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle G=\lbrace {\text{butter}},{\text{cookies}},{\text{milk}}\rbrace }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle \langle 1,2,3\rangle }$

Предположим, что потребитель i обладает таким богатством , что где — совокупный запас товаров (т. е. сумма всех запасов потребителей и производителей), а — производство фирмы j .${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {e} +\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {y_{j}^{*}} }$

Максимизация предпочтений (из определения ценового равновесия с трансфертами) подразумевает (используя для обозначения отношения предпочтений для потребителя i ):${\displaystyle >_{i}}$

если тогда${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\mathbf {w_{i}} }$

Другими словами, если набор товаров строго предпочтителен, он должен быть недоступным по цене . Локальная ненасыщенность дополнительно подразумевает:${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

если тогда${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq \mathbf {w_{i}} }$

Чтобы понять почему, представьте, что но . Тогда с помощью локальной ненасыщенности мы могли бы найти произвольно близко к (и поэтому все еще доступное) но , которое строго предпочтительнее . Но является результатом максимизации предпочтений, так что это противоречие.${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} <w_{i}}$${\displaystyle \mathbf {x'_{i}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{i}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{i}^{*}} }$

Распределение — это пара , где и , то есть это «матрица» (допускающая потенциально бесконечные строки/столбцы), чей i- й столбец — это набор товаров, распределенных потребителю i , а — «матрица», чей j -й столбец — это продукция фирмы j . Мы ограничиваем наше внимание возможными распределениями, которые являются теми распределениями, в которых ни один потребитель не продает, а производитель не потребляет товары, которых у них нет, то есть для каждого товара и каждого потребителя начальный запас потребителей плюс их чистый спрос должны быть положительными, аналогично для производителей.${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$${\displaystyle \mathbf {X} \in \Pi _{i\in I}\mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle \mathbf {Y} \in \Pi _{j\in J}\mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

Теперь рассмотрим распределение , которое Парето доминирует . Это означает, что для всех i и для некоторых i . Согласно вышесказанному, мы знаем для всех i и для некоторых i . Суммируя, находим:${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,Y^{*})}$${\displaystyle \mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq w_{i}}$${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}}$

${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{i}w_{i}=\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$.

Поскольку максимизирует прибыль, мы знаем , поэтому . Но товары должны сохраняться, поэтому . Следовательно, невыполнимо. Поскольку все распределения, доминирующие по Парето, невыполнимы, само должно быть оптимальным по Парето. ^[38]${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$${\displaystyle \Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot y_{j}^{*}\geq \Sigma _{j}p\cdot y_{j}}$${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}} }$${\displaystyle \Sigma _{i}\mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {y_{j}} }$${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$${\displaystyle (\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )}$

Обратите внимание, что хотя тот факт, что максимизация прибыли просто предполагается в формулировке теоремы, результат полезен/интересен только в той степени, в которой возможно такое распределение производства, максимизирующее прибыль. К счастью, для любого ограничения распределения производства и цены на замкнутое подмножество, на котором предельная цена отделена от 0, например, для любого разумного выбора непрерывных функций для параметризации возможных производств, такой максимум существует. Это следует из того факта, что минимальная предельная цена и конечное богатство ограничивают максимально возможное производство (0 ограничивает минимум), а теорема Тихонова гарантирует, что произведение этих компактных пространств компактно, обеспечивая нам максимум любой желаемой непрерывной функции.${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$${\displaystyle \mathbf {Y^{*}} }$

Вторая теорема формально утверждает, что при предположениях о том, что каждое производственное множество является выпуклым , а каждое отношение предпочтения является выпуклым и локально ненасыщаемым , любое желаемое Парето-эффективное распределение может быть поддержано как ценовое квазиравновесие с трансфертами. ^[38] Для доказательства этого утверждения для ценовых равновесий с трансфертами необходимы дополнительные предположения.${\displaystyle Y_{j}}$${\displaystyle \geq _{i}}$

Доказательство проводится в два этапа: во-первых, мы доказываем, что любое распределение, эффективное по Парето, может поддерживаться как ценовое квазиравновесие с трансфертами; затем мы приводим условия, при которых ценовое квазиравновесие также является ценовым равновесием.

Давайте определим ценовое квазиравновесие с трансфертами как распределение , вектор цен p и вектор уровней богатства w (достигаемых единовременными трансфертами) с (где — совокупный запас товаров, а — производство фирмы j ) такими, что:${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$${\displaystyle \Sigma _{i}w_{i}=p\cdot \omega +\Sigma _{j}p\cdot y_{j}^{*}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle y_{j}^{*}}$

i. для всех (фирмы максимизируют прибыль, производя )${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$${\displaystyle y_{j}\in Y_{j}}$${\displaystyle y_{j}^{*}}$

ii. Для всех i , если , то (если строго предпочтительнее , то оно не может стоить меньше )${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$

iii. (бюджетное ограничение выполнено)${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$

Единственное различие между этим определением и стандартным определением ценового равновесия с трансфертами заключается в утверждении ( ii ). Неравенство здесь слабое ( ), что делает его ценовым квазиравновесием. Позже мы усилим это, чтобы создать ценовое равновесие. ^[38] Определим как множество всех потребительских наборов, строго предпочитаемых потребителем i , и пусть V будет суммой всех . является выпуклым из-за выпуклости отношения предпочтения . V является выпуклым, потому что каждое является выпуклым. Аналогично , объединение всех производственных наборов плюс совокупный запас является выпуклым, потому что каждое является выпуклым. Мы также знаем, что пересечение V и должно быть пустым, потому что если бы это было не так, это означало бы, что существует набор, который строго предпочитаем всеми и также доступен по цене. Это исключается Парето-оптимальностью .${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle \geq _{i}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle Y+\{\omega \}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle Y+\{\omega \}}$${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$${\displaystyle (x^{*},y^{*})}$

Эти два выпуклых, непересекающихся множества позволяют нам применить теорему о разделяющей гиперплоскости . Эта теорема утверждает, что существует вектор цен и число r, такие, что для каждого и для каждого . Другими словами, существует вектор цен, который определяет гиперплоскость, идеально разделяющую два выпуклых множества.${\displaystyle p\neq 0}$${\displaystyle p\cdot z\geq r}$${\displaystyle z\in V}$${\displaystyle p\cdot z\leq r}$${\displaystyle z\in Y+\{\omega \}}$

Далее мы утверждаем, что если для всех i то . Это происходит из-за локальной ненасыщенности: должен быть пучок, произвольно близкий к , который строго предпочтителен и, следовательно, является частью , так что . Взятие предела как не меняет слабое неравенство, поэтому также. Другими словами, находится в замыкании V .${\displaystyle x_{i}\geq _{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$${\displaystyle x'_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x'_{i})\geq r}$${\displaystyle x'_{i}\rightarrow x_{i}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$${\displaystyle x_{i}}$

Используя это соотношение, мы видим, что само по себе . Мы также знаем, что , поэтому также. Объединяя их, мы находим, что . Мы можем использовать это уравнение, чтобы показать, что соответствует определению квазиравновесия цен с трансфертами.${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\geq r}$${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}\in Y+\{\omega \}}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\leq r}$${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$${\displaystyle (x^{*},y^{*},p)}$

Потому что мы знаем, что для любой фирмы j:${\displaystyle p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r}$${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}}$

${\displaystyle p\cdot (\omega +y_{j}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})\leq r=p\cdot (\omega +y_{j}^{*}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})}$для${\displaystyle h\neq j}$

что подразумевает . Аналогично мы знаем:${\displaystyle p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}}$

${\displaystyle p\cdot (x_{i}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})\geq r=p\cdot (x_{i}^{*}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})}$для${\displaystyle k\neq i}$

что подразумевает . Эти два утверждения, наряду с осуществимостью распределения при оптимуме Парето, удовлетворяют трем условиям для ценового квазиравновесия с трансфертами, поддерживаемыми уровнями богатства для всех i .${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq p\cdot x_{i}^{*}}$${\displaystyle w_{i}=p\cdot x_{i}^{*}}$

Теперь обратимся к условиям, при которых ценовое квазиравновесие также является ценовым равновесием, другими словами, к условиям, при которых утверждение «если то » подразумевает «если то ». Чтобы это было верно, нам теперь нужно предположить, что множество потребления выпукло, а отношение предпочтения непрерывно . Тогда, если существует вектор потребления такой, что и , ценовое квазиравновесие является ценовым равновесием .${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot x_{i}\geq w_{i}}$${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot x_{i}>w_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \geq _{i}}$${\displaystyle x'_{i}}$${\displaystyle x'_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle p\cdot x'_{i}<w_{i}}$

Чтобы понять, почему, предположим обратное и , и существует. Тогда из-за выпуклости у нас есть пакет с . Из-за непрерывности для близкого к 1 мы имеем . Это противоречие, потому что этот пакет предпочтительнее и стоит меньше, чем .${\displaystyle x_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle p\cdot x_{i}=w_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle x''_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle p\cdot x''_{i}<w_{i}}$${\displaystyle \geq _{i}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}>_{i}x_{i}^{*}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle w_{i}}$

Следовательно, для того, чтобы ценовые квазиравновесия были ценовыми равновесиями, достаточно, чтобы множество потребления было выпуклым, отношение предпочтения было непрерывным, и чтобы всегда существовал «более дешевый» потребительский набор . Один из способов гарантировать существование такого набора — потребовать, чтобы уровни богатства были строго положительными для всех потребителей i . ^[38]${\displaystyle x'_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$

• Выпуклые предпочтения
• Теоремы Вариана – конкурентное равновесие является как эффективным по Парето, так и свободным от зависти .
• Теория общего равновесия