последовательность Шеффера

В математике последовательность Шеффера или poweroid — это полиномиальная последовательность , то есть последовательность ( p _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ...) полиномов , в которой индекс каждого полинома равен его степени , удовлетворяя условиям, связанным с теневым исчислением в комбинаторике . Они названы в честь Исадора М. Шеффера .

Зафиксируем полиномиальную последовательность ( p _n ). Определим линейный оператор Q на полиномах от x с помощью$${\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x)\,.}$$

Это определяет Q для всех многочленов. Полиномиальная последовательность p _n является последовательностью Шеффера , если только что определенный линейный оператор Q является сдвигово-эквивариантным ; такой Q является тогда дельта-оператором . Здесь мы определяем линейный оператор Q для многочленов как сдвигово -эквивариантный , если всякий раз, когда f ( x ) = g ( x + a ) = T _a g ( x ) является «сдвигом» g ( x ), то ( Qf )( x ) = ( Qg )( x + a ); т. е. Q коммутирует с каждым оператором сдвига : T _a Q = QT _a .

Множество всех последовательностей Шеффера представляет собой группу относительно операции теневой композиции полиномиальных последовательностей, определяемой следующим образом. Предположим, что (  p _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) и (  q _n (x) : n = 0, 1, 2, 3, ... ) являются полиномиальными последовательностями, заданными как$${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}\ {\mbox{and}}\ q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}$$

Тогда теневая композиция представляет собой полиномиальную последовательность, n-й член которой равен (индекс n появляется в p _n , поскольку это n-й член этой последовательности, но не в q , поскольку он относится к последовательности в целом, а не к одному из ее членов).${\displaystyle p\circ q}$$${\ displaystyle (p_ {n} \ circ q) (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {n, k} q_ {k} (x) = \ sum _ {0 \ leq \ ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}$$

Элементом идентичности этой группы является стандартный мономиальный базис$${\ displaystyle e_ {n} (x) = x ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ delta _ {n, k} x ^ {k}.}$$

Две важные подгруппы — это группа последовательностей Аппеля , которые являются последовательностями, для которых оператор Q является просто дифференцированием , и группа последовательностей биномиального типа , которые являются последовательностями, которые удовлетворяют тождеству Последовательность Шеффера (  p _n ( x ): n  = 0, 1, 2, ...) имеет биномиальный тип тогда и только тогда, когда и$${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{nk}(y).}$$$${\displaystyle p_{0}(x)=1\,}$$$${\displaystyle p_{n}(0)=0{\mbox{ для }}n\geq 1.\,}$$

Группа последовательностей Аппеля абелева ; группа последовательностей биномиального типа не является. Группа последовательностей Аппеля является нормальной подгруппой ; группа последовательностей биномиального типа не является. Группа последовательностей Шеффера является полупрямым произведением группы последовательностей Аппеля и группы последовательностей биномиального типа. Из этого следует, что каждый смежный класс группы последовательностей Аппеля содержит ровно одну последовательность биномиального типа. Две последовательности Шеффера находятся в одном и том же таком смежном классе тогда и только тогда, когда оператор Q , описанный выше — называемый « дельта-оператором » этой последовательности — является одним и тем же линейным оператором в обоих случаях. (В общем случае дельта-оператор — это сдвигово-эквивариантный линейный оператор на многочленах, который уменьшает степень на единицу. Термин принадлежит Ф. Хильдебрандту.)

Если s _n ( x ) — последовательность Шеффера, а p _n ( x ) — единственная последовательность биномиального типа, которая использует один и тот же дельта-оператор, то$${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)s_{nk}(y).}$$

Иногда термин последовательность Шеффера определяется как последовательность, которая имеет это отношение к некоторой последовательности биномиального типа. В частности, если (  s _n ( x ) ) является последовательностью Аппеля, то$${\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}s_{nk}(y).}$$

Последовательность полиномов Эрмита , последовательность полиномов Бернулли и мономы ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ...) являются примерами последовательностей Аппеля.

Последовательность Шеффера p _n характеризуется своей экспоненциальной производящей функцией , где A и B являются ( формальными ) степенными рядами по t . Таким образом, последовательности Шеффера являются примерами обобщенных полиномов Аппеля и, следовательно, имеют связанное с ними рекуррентное соотношение .$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t))\,}$$

Примеры полиномиальных последовательностей, являющихся последовательностями Шеффера, включают:

• Полиномы Абеля ;
• Полиномы Бернулли ;
• Полином Эйлера ;
• Центральные факториальные полиномы;
• Полиномы Эрмита ;
• Полиномы Лагерра ;
• Одночлены ( x ⁿ  : n = 0, 1, 2, ... ) ;
• Полиномы Мотта ;
• Полиномы Бернулли второго рода ;
• Убывающие и возрастающие факториалы ;
• Полиномы Тушара ;
• Полиномы Миттаг -Леффлера ;

• Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность Шеффера». MathWorld .