Обобщенные полиномы Аппеля

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (May 2024) (Learn how and when to remove this message)

В математике полиномиальная последовательность имеет обобщенное представление Аппеля , если производящая функция для полиномов принимает определенный вид:${\displaystyle \{p_{n}(z)\}}$

${\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

где производящая функция или ядро ​​состоит из ряда ${\displaystyle K(z,w)}$

${\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad }$с${\displaystyle a_{0}\neq 0}$

и

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}\quad }$и все${\displaystyle \Psi _{n}\neq 0}$

и

${\displaystyle g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}\quad }$с${\displaystyle g_{1}\neq 0.}$

Учитывая вышеизложенное, нетрудно показать, что является многочленом степени .${\displaystyle p_{n}(z)}$ ${\displaystyle n}$

Полиномы Боаса–Бака представляют собой несколько более общий класс полиномов.

• Выбор дает класс полиномов Бренке .${\displaystyle g(w)=w}$
• Выбор приводит к последовательности полиномов Шеффера , которая включает в себя общие разностные полиномы , такие как полиномы Ньютона .${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$
• Совместный выбор и дает последовательность многочленов Аппеля .${\displaystyle g(w)=w}$${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$

Обобщенные полиномы Аппеля имеют явное представление

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.}$

Константа равна

${\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}}$

где эта сумма распространяется на все композиции из частей ; то есть сумма распространяется на все такие, что${\displaystyle n}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle \{j\}}$

${\displaystyle j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,}$

Для полиномов Аппеля это становится формулой

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.}$

Эквивалентно, необходимым и достаточным условием того, что ядро ​​может быть записано следующим образом, является то, что${\displaystyle K(z,w)}$${\displaystyle A(w)\Psi (zg(w))}$${\displaystyle g_{1}=1}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}}$

где и имеют степенной ряд${\displaystyle b(w)}$${\displaystyle c(w)}$

${\displaystyle b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}}$

и

${\displaystyle c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}.}$

Заменяя

${\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

немедленно дает рекурсивное отношение

${\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).}$

Для частного случая полиномов Бренке имеем и, таким образом, все , что значительно упрощает рекурсивное соотношение.${\displaystyle g(w)=w}$${\displaystyle b_{n}=0}$

• q-разностные полиномы

• Ральф П. Боас-младший и Р. Крейтон Бак, Полиномиальные разложения аналитических функций (второе исправленное издание) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Номер карточки Библиотеки Конгресса 63-23263.
• Бренке, Уильям К. (1945). «О производящих функциях полиномиальных систем». American Mathematical Monthly . 52 (6): 297–301. doi :10.2307/2305289.
• Хафф, ВН (1947). «Тип полиномов, генерируемых f(xt) φ(t)». Duke Mathematical Journal . 14 (4): 1091–1104. doi :10.1215/S0012-7094-47-01483-X.

Эта статья, связанная с полиномами, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e