Полиномы Миттаг-Леффлера

В математике полиномы Миттаг-Леффлера — это полиномы g _n ( x ) или M _n ( x ), изученные Миттаг-Леффлером  (1891).

M _n ( x ) является частным случаем полинома Мейкснера M _n ( x; b, c ) при b = 0, c = -1 .

Полиномы Миттаг-Леффлера определяются соответственно производящими функциями

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }g_{n}(x)t^{n}:={\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{x}}$и

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}:={\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{x}=(1+t)^{x}(1-t)^{-x}=\exp(2x{\text{ artanh }}t).}$

Они также имеют двумерную производящую функцию ^[1]

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }g_{n}(m)x^{m}y^{n}={\frac {xy}{(1-x)(1-x-y-xy)}}.}$

Первые несколько полиномов приведены в следующей таблице. Коэффициенты числителей можно найти в OEIS, ^[2], хотя и без каких-либо ссылок, а коэффициенты также есть в OEIS ^{[3] .}${\displaystyle g_{n}(x)}$${\displaystyle M_{n}(x)}$

н	г н ( х )	М н ( х )
0	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle x}$	${\displaystyle 2x}$
2	${\displaystyle x^{2}}$	${\displaystyle 4x^{2}}$
3	${\displaystyle {\frac {1}{3}}(x+2x^{3})}$	${\displaystyle 8x^{3}+4x}$
4	${\displaystyle {\frac {1}{3}}(2x^{2}+x^{4})}$	${\displaystyle 16x^{4}+32x^{2}}$
5	${\displaystyle {\frac {1}{15}}(3x+10x^{3}+2x^{5})}$	${\displaystyle 32x^{5}+160x^{3}+48x}$
6	${\displaystyle {\frac {1}{45}}(23x^{2}+20x^{4}+2x^{6})}$	${\displaystyle 64x^{6}+640x^{4}+736x^{2}}$
7	${\displaystyle {\frac {1}{315}}(45x+196x^{3}+70x^{5}+4x^{7})}$	${\displaystyle 128x^{7}+2240x^{5}+6272x^{3}+1440x}$
8	${\displaystyle {\frac {1}{315}}(132x^{2}+154x^{4}+28x^{6}+x^{8})}$	${\displaystyle 256x^{8}+7168x^{6}+39424x^{4}+33792x^{2}}$
9	${\displaystyle {\frac {1}{2835}}(315x+1636x^{3}+798x^{5}+84x^{7}+2x^{9})}$	${\displaystyle 512x^{9}+21504x^{7}+204288x^{5}+418816x^{3}+80640x}$
10	${\displaystyle {\frac {1}{14175}}(5067x^{2}+7180x^{4}+1806x^{6}+120x^{8}+2x^{10})}$	${\displaystyle 1024x^{10}+61440x^{8}+924672x^{6}+3676160x^{4}+2594304x^{2}}$

Полиномы связаны соотношением и для . Также .${\displaystyle M_{n}(x)=2\cdot {n!}\,g_{n}(x)}$${\displaystyle g_{n}(1)=1}$${\displaystyle n\geqslant 1}$${\displaystyle g_{2k}({\frac {1}{2}})=g_{2k+1}({\frac {1}{2}})={\frac {1}{2}}{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdots (2k-1)}{2\cdot 4\cdots (2k)}}}$

Явные формулы

${\displaystyle g_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}2^{k-1}{\binom {n-1}{n-k}}{\binom {x}{k}}=\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}{\binom {n-1}{k}}{\binom {x}{k+1}}}$

${\displaystyle g_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\binom {k+x}{n}}}$

${\displaystyle g_{n}(m)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n-1+m-k}{m-1}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\min(n,m)}{\frac {m}{n+m-k}}{\binom {n+m-k}{k,n-k,m-k}}}$

(последнее сразу показывает , своего рода формулу отражения), и${\displaystyle ng_{n}(m)=mg_{m}(n)}$

${\displaystyle M_{n}(x)=(n-1)!\sum _{k=1}^{n}k2^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {x}{k}}}$, что также можно записать как

${\displaystyle M_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}2^{k}{\binom {n}{k}}(n-1)_{n-k}(x)_{k}}$, где обозначает падающий факториал.${\displaystyle (x)_{n}=n!{\binom {x}{n}}=x(x-1)\cdots (x-n+1)}$

В терминах гипергеометрической функции Гаусса имеем ^[4]

${\displaystyle g_{n}(x)=x\!\cdot {}_{2}\!F_{1}(1-n,1-x;2;2).}$

Как указано выше, для имеем формулу отражения .${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle ng_{n}(m)=mg_{m}(n)}$

Полиномы можно определить рекурсивно с помощью ${\displaystyle M_{n}(x)}$

${\displaystyle M_{n}(x)=2xM_{n-1}(x)+(n-1)(n-2)M_{n-2}(x)}$, начиная с и .${\displaystyle M_{-1}(x)=0}$${\displaystyle M_{0}(x)=1}$

Другая рекурсивная формула, которая производит нечетное из предшествующих четных и наоборот, имеет вид

${\displaystyle M_{n+1}(x)=2x\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n!}{(n-2k)!}}M_{n-2k}(x)}$, снова начиная с .${\displaystyle M_{0}(x)=1}$

Что касается , у нас есть несколько различных формул рекурсии: ${\displaystyle g_{n}(x)}$

${\displaystyle \displaystyle (1)\quad g_{n}(x+1)-g_{n-1}(x+1)=g_{n}(x)+g_{n-1}(x)}$

${\displaystyle \displaystyle (2)\quad (n+1)g_{n+1}(x)-(n-1)g_{n-1}(x)=2xg_{n}(x)}$

${\displaystyle (3)\quad x{\Bigl (}g_{n}(x+1)-g_{n}(x-1){\Bigr )}=2ng_{n}(x)}$

${\displaystyle (4)\quad g_{n+1}(m)=g_{n}(m)+2\sum _{k=1}^{m-1}g_{n}(k)=g_{n}(1)+g_{n}(2)+\cdots +g_{n}(m)+g_{n}(m-1)+\cdots +g_{n}(1)}$

Что касается рекурсивной формулы (3), то многочлен является единственным полиномиальным решением разностного уравнения , нормализованным так, что . ^[5] Далее следует отметить, что (2) и (3) являются двойственными друг другу в том смысле, что для , мы можем применить формулу отражения к одному из тождеств, а затем поменять местами и , чтобы получить другое. (Поскольку являются многочленами, справедливость распространяется от натуральных до всех действительных значений .)${\displaystyle g_{n}(x)}$${\displaystyle x(f(x+1)-f(x-1))=2nf(x)}$${\displaystyle f(1)=1}$${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g_{n}(x)}$${\displaystyle x}$

Таблица начальных значений (эти значения также называются «фигурными числами для n-мерных крестовых многогранников» в OEIS ^[6] ) может иллюстрировать рекурсивную формулу (1), которую можно понимать так, что каждый элемент является суммой трех соседних элементов: слева от него, сверху и сверху слева, например . Она также иллюстрирует формулу отражения относительно главной диагонали, например .${\displaystyle g_{n}(m)}$${\displaystyle g_{5}(3)=51=33+8+10}$${\displaystyle ng_{n}(m)=mg_{m}(n)}$${\displaystyle 3\cdot 44=4\cdot 33}$

н м	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	9	19	33	51	73	99	129
4	4	16	44	96	180	304	476
5	5	25	85	225	501	985
6	6	36	146	456	1182
7	7	49	231	833
8	8	64	344
9	9	81
10	10

Для справедливо следующее соотношение ортогональности: ^[7]${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {g_{n}(-iy)g_{m}(iy)}{y\sinh \pi y}}dy={\frac {1}{2n}}\delta _{mn}.}$

(Обратите внимание, что это не сложный интеграл. Поскольку каждый из них является четным или нечетным многочленом, мнимые аргументы просто дают чередующиеся знаки для своих коэффициентов. Более того, если и имеют разную четность, интеграл тривиально исчезает.)${\displaystyle g_{n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

Будучи последовательностью Шеффера биномиального типа , полиномы Миттаг-Леффлера также удовлетворяют биномиальному тождеству ^[8]${\displaystyle M_{n}(x)}$

${\displaystyle M_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}M_{k}(x)M_{n-k}(y)}$.

На основе представления в виде гипергеометрической функции существует несколько способов представления для непосредственно в виде интегралов, ^[9] некоторые из них даже применимы для комплексных , например ${\displaystyle g_{n}(z)}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle (26)\qquad g_{n}(z)={\frac {\sin(\pi z)}{2\pi }}\int _{-1}^{1}t^{n-1}{\Bigl (}{\frac {1+t}{1-t}}{\Bigr )}^{z}dt}$

${\displaystyle (27)\qquad g_{n}(z)={\frac {\sin(\pi z)}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{uz}{\frac {(\tanh {\frac {u}{2}})^{n}}{\sinh u}}du}$

${\displaystyle (32)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cot ^{z}({\frac {u}{2}})\cos({\frac {\pi z}{2}})\cos(nu)du}$

${\displaystyle (33)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cot ^{z}({\frac {u}{2}})\sin({\frac {\pi z}{2}})\sin(nu)du}$

${\displaystyle (34)\qquad g_{n}(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(1+e^{it})^{z}(2+e^{it})^{n-1}e^{-int}dt}$.

Существует несколько семейств интегралов с замкнутыми выражениями в терминах дзета-значений , где коэффициенты полиномов Миттаг-Леффлера встречаются как коэффициенты. Все эти интегралы можно записать в форме, содержащей либо множитель , либо , а степень полинома Миттаг-Леффлера меняется с . Один из способов вычисления этих интегралов — получить для них соответствующие рекурсивные формулы, как для полиномов Миттаг-Леффлера, используя интегрирование по частям. ${\displaystyle \tan ^{\pm n}}$${\displaystyle \tanh ^{\pm n}}$${\displaystyle n}$

1. Например, ^[10] определить для${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 2}$

${\displaystyle I(n,m):=\int _{0}^{1}{\dfrac {{\text{artanh}}^{n}x}{x^{m}}}dx=\int _{0}^{1}\log ^{n/2}{\Bigl (}{\dfrac {1+x}{1-x}}{\Bigr )}{\dfrac {dx}{x^{m}}}=\int _{0}^{\infty }z^{n}{\dfrac {\coth ^{m-2}z}{\sinh ^{2}z}}dz.}$

Эти интегралы имеют замкнутую форму

${\displaystyle (1)\quad I(n,m)={\frac {n!}{2^{n-1}}}\zeta ^{n+1}~g_{m-1}({\frac {1}{\zeta }})}$

в теневой нотации, что означает, что после разложения полинома в , каждая степень должна быть заменена значением дзета . Например, из мы получаем для .${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \zeta ^{k}}$ ${\displaystyle \zeta (k)}$${\displaystyle g_{6}(x)={\frac {1}{45}}(23x^{2}+20x^{4}+2x^{6})\ }$${\displaystyle \ I(n,7)={\frac {n!}{2^{n-1}}}{\frac {23~\zeta (n-1)+20~\zeta (n-3)+2~\zeta (n-5)}{45}}\ }$${\displaystyle n\geqslant 7}$

2. Аналогично возьмите для${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 2}$

${\displaystyle J(n,m):=\int _{1}^{\infty }{\dfrac {{\text{arcoth}}^{n}x}{x^{m}}}dx=\int _{1}^{\infty }\log ^{n/2}{\Bigl (}{\dfrac {x+1}{x-1}}{\Bigr )}{\dfrac {dx}{x^{m}}}=\int _{0}^{\infty }z^{n}{\dfrac {\tanh ^{m-2}z}{\cosh ^{2}z}}dz.}$

В теневой нотации, где после расширения необходимо заменить на функцию Дирихле эта , они имеют замкнутую форму${\displaystyle \eta ^{k}}$ ${\displaystyle \eta (k):=\left(1-2^{1-k}\right)\zeta (k)}$

${\displaystyle (2)\quad J(n,m)={\frac {n!}{2^{n-1}}}\eta ^{n+1}~g_{m-1}({\frac {1}{\eta }})}$.

3. Следующее ^[11] справедливо для с той же теневой нотацией для и , и дополняется по непрерывности .${\displaystyle n\geqslant m}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta (1):=\ln 2}$

${\displaystyle (3)\quad \int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m}x}}dx=\cos {\Bigl (}{\frac {m}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {(\pi /2)^{n+1}}{n+1}}+\cos {\Bigl (}{\frac {m-n-1}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {n!~m}{2^{n}}}\zeta ^{n+2}g_{m}({\frac {1}{\zeta }})+\sum \limits _{v=0}^{n}\cos {\Bigl (}{\frac {m-v-1}{2}}\pi {\Bigr )}{\frac {n!~m~\pi ^{n-v}}{(n-v)!~2^{n}}}\eta ^{n+2}g_{m}({\frac {1}{\eta }}).}$

Обратите внимание, что для это также дает замкнутую форму для интегралов${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 2}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\arctan ^{n}x}{x^{m}}}dx=\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m}x}}dx+\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {x^{n}}{\tan ^{m-2}x}}dx.}$

4. Для определим ^[12] . ${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 2}$ ${\displaystyle \quad K(n,m):=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}}}dx}$

Если четно и мы определяем , то в теневой записи, т.е. заменив на , имеем${\displaystyle n+m}$${\displaystyle h_{k}:=(-1)^{\frac {k-1}{2}}{\frac {(k-1)!(2^{k}-1)\zeta (k)}{2^{k-1}\pi ^{k-1}}}}$${\displaystyle h^{k}}$${\displaystyle h_{k}}$

${\displaystyle (4)\quad K(n,m):=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}}}dx={\dfrac {n\cdot 2^{m-1}}{(m-1)!}}(-h)^{m-1}g_{n}(h).}$

Обратите внимание, что здесь встречаются только нечетные значения дзета (odd ) (если только знаменатели не представлены как четные значения дзета), например ${\displaystyle k}$

${\displaystyle K(5,3)=-{\frac {2}{3}}(3h_{3}+10h_{5}+2h_{7})=-7{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{2}}}+310{\frac {\zeta (5)}{\pi ^{4}}}-1905{\frac {\zeta (7)}{\pi ^{6}}},}$

${\displaystyle K(6,2)={\frac {4}{15}}(23h_{3}+20h_{5}+2h_{7}),\quad K(6,4)={\frac {4}{45}}(23h_{5}+20h_{7}+2h_{9}).}$

5. Если нечетно, то тот же интеграл гораздо сложнее оценить, включая начальный . Тем не менее, оказывается, что шаблон сохраняется, если мы определим ^[13] , эквивалентно . Тогда имеет следующую замкнутую форму в теневой нотации, заменив на :${\displaystyle n+m}$${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{3}(x)}{x^{2}}}dx}$ ${\displaystyle s_{k}:=\eta '(-k)=2^{k+1}\zeta (-k)\ln 2-(2^{k+1}-1)\zeta '(-k)}$${\displaystyle s_{k}={\frac {\zeta (-k)}{\zeta '(-k)}}\eta (-k)+\zeta (-k)\eta (1)-\eta (-k)\eta (1)}$${\displaystyle K(n,m)}$${\displaystyle s^{k}}$${\displaystyle s_{k}}$

${\displaystyle (5)\quad K(n,m)=\int \limits _{0}^{\infty }{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{m}}}dx={\frac {n\cdot 2^{m}}{(m-1)!}}(-s)^{m-2}g_{n}(s)}$, например

${\displaystyle K(5,4)={\frac {8}{9}}(3s_{3}+10s_{5}+2s_{7}),\quad K(6,3)=-{\frac {8}{15}}(23s_{3}+20s_{5}+2s_{7}),\quad K(6,5)=-{\frac {8}{45}}(23s_{5}+20s_{7}+2s_{9}).}$

Отметим, что в силу логарифмической производной функционального уравнения Римана , взятой после применения формулы отражения Эйлера , ^[14] эти выражения в терминах можно записать в терминах , например${\displaystyle {\frac {\zeta '}{\zeta }}(s)+{\frac {\zeta '}{\zeta }}(1-s)=\log \pi -{\frac {1}{2}}{\frac {\Gamma '}{\Gamma }}\left({\frac {s}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\Gamma '}{\Gamma }}\left({\frac {1-s}{2}}\right)}$${\displaystyle s_{k}}$${\displaystyle {\frac {\zeta '(2j)}{\zeta (2j)}}}$

${\displaystyle K(5,4)={\frac {8}{9}}(3s_{3}+10s_{5}+2s_{7})={\frac {1}{9}}\left\{{\frac {1643}{420}}-{\frac {16}{315}}\ln 2+3{\frac {\zeta '(4)}{\zeta (4)}}-20{\frac {\zeta '(6)}{\zeta (6)}}+17{\frac {\zeta '(8)}{\zeta (8)}}\right\}.}$

6. Для тот же интеграл расходится, поскольку подынтегральное выражение ведет себя как для . Но разность двух таких интегралов с соответствующими разностями степеней хорошо определена и демонстрирует очень похожие закономерности, например ${\displaystyle n<m}$${\displaystyle K(n,m)}$${\displaystyle x^{n-m}}$${\displaystyle x\searrow 0}$

${\displaystyle (6)\quad K(n-1,n)-K(n,n+1)=\int \limits _{0}^{\infty }\left({\dfrac {\tanh ^{n-1}(x)}{x^{n}}}-{\dfrac {\tanh ^{n}(x)}{x^{n+1}}}\right)dx=-{\frac {1}{n}}+{\frac {(n+1)\cdot 2^{n}}{(n-1)!}}s^{n-2}g_{n}(s)}$.

• Многочлены Бернулли второго рода
• Полиномы Стерлинга
• Число Поли-Бернулли

• Бейтман, Х. (1940), «Многочлен Миттаг-Леффлера» (PDF) , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 26 (8): 491– 496, Bibcode : 1940PNAS...26..491B, doi : 10.1073/pnas.26.8.491 , ISSN  0027-8424, JSTOR  86958, MR  0002381, PMC  1078216 , PMID  16588390
• Миттаг-Леффлер, Г. (1891), «Sur la représentasion analytique des intégrales et des invariants d'une équation différentielle lineaire et homogène», Acta Mathematica (на французском языке), XV : 1–32 , doi : 10.1007/BF02392600 , ISSN  0001-5962, ЖФМ  23.0327.01
• Станкович, Миомир С.; Маринкович, Сладжана Д.; Райкович, Предраг М. (2010), Деформированные полиномы Миттаг-Леффлера , arXiv : 1007.3612