Полиномы Тушара

Полиномы Тушара , изученные Жаком Тушаром  (1939), также называемые экспоненциальными полиномами или полиномами Белла , представляют собой полиномиальную последовательность биномиального типа , определяемую формулой

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k},}$

где — число Стирлинга второго рода , т. е. число разбиений множества размера n на k непересекающихся непустых подмножеств. ^{[1] [2] [3] [4]}${\displaystyle S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}}$

Первые несколько полиномов Тушара — это

${\displaystyle T_{1}(x)=x,}$

${\displaystyle T_{2}(x)=x^{2}+x,}$

${\displaystyle T_{3}(x)=x^{3}+3x^{2}+x,}$

${\displaystyle T_{4}(x)=x^{4}+6x^{3}+7x^{2}+x,}$

${\displaystyle T_{5}(x)=x^{5}+10x^{4}+25x^{3}+15x^{2}+x.}$

Значение n- го полинома Тушара в точке 1 равно n- му числу Белла , т. е. числу разбиений множества размера n :

${\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}.}$

Если X — случайная величина с распределением Пуассона с ожидаемым значением λ, то ее n -й момент равен E( X ⁿ ) = T _n (λ), что приводит к определению:

${\displaystyle T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}} .}$

Используя этот факт, можно быстро доказать, что данная полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип , т.е. она удовлетворяет последовательности тождеств:

${\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda)T_{nk}(\mu). }$

Полиномы Тушара представляют собой единственную полиномиальную последовательность биномиального типа с коэффициентом при x, равным 1 в каждом полиноме.

Полиномы Тушара удовлетворяют формуле типа Родригеса:

${\displaystyle T_{n}\left(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\;e^{e^{x}}.}$

Полиномы Тушара удовлетворяют рекуррентному соотношению

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+{\frac {d}{dx}}\right)T_{n}(x)}$

и

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).}$

В случае x = 1 это сводится к рекуррентной формуле для чисел Белла .

Обобщением этой формулы и определения является обобщение формулы Спиви ^[5]

$${\displaystyle T_{n+m}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}k^{mj}T_{j}(x)}$$

Используя теневую нотацию T ⁿ ( x )= T _n ( x ), эти формулы принимают вид:

${\displaystyle T_ {n}(\lambda +\mu) = \left(T(\lambda)+T(\mu)\right)^{n},}$^{[ требуется разъяснение ]}

${\displaystyle T_{n+1}(x)=x\left(1+T(x)\right)^{n}.}$

Производящая функция полиномов Тушара имеет вид

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)},}$

что соответствует производящей функции чисел Стирлинга второго рода .

Полиномы Тушара имеют контурное интегральное представление:

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{x({e^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,dt.}$

Все нули полиномов Тушара действительны и отрицательны. Этот факт был обнаружен Л. Х. Харпером в 1967 году. ^[6]

Абсолютное значение самого левого нуля ограничено сверху соотношением ^[7]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}{\binom {n}{2}}+{\frac {n-1}{n}}{\sqrt {{\binom {n}{2}}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}\left({\binom {n}{3}}+3{\binom {n}{4}}\right)}},}$

хотя предполагается, что самый левый ноль растет линейно с индексом n .

Меру Малера полиномов Тушара можно оценить следующим образом: ^[8]${\displaystyle M(T_{n})}$

${\displaystyle {\frac {\lbrace \textstyle {n \atop \Omega _{n}}\rbrace }{\binom {n}{\Omega _{n}}}}\leq M(T_{n})\leq {\sqrt {n+1}}\left\{{n \atop K_{n}}\right\},}$

где и являются наименьшими из двух максимальных индексов k, таких что и являются максимальными соответственно.${\displaystyle \Омега _{n}}$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace /{\binom {n}{k}}}$${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace}$

• Полный полином Белла можно рассматривать как многомерное обобщение полинома Тушара , поскольку${\displaystyle B_{n}(x_{1},x_{2},\точки ,x_{n})}$${\displaystyle T_{n}(x)}$${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\точки,x).}$
• Полиномы Тушара (и, следовательно, числа Белла ) можно обобщить, используя действительную часть приведенного выше интеграла, до нецелого порядка:

  ${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x{\bigl (}e^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta {\bigr )}\,d\theta \,.}$

• Белловские полиномы

• Тушар, Жак (1939), «Sur les Cycles des Substitutions», Acta Mathematica , 70 (1): 243–297, doi : 10.1007/BF02547349 , ISSN  0001-5962, MR  1555449