Группа Селмера

В арифметической геометрии группа Сельмера , названная в честь работы Эрнста Сейерстеда Сельмера  (1951) Джоном Уильямом Скоттом Касселсом  (1962), представляет собой группу, построенную из изогении абелевых многообразий .

Группа Сельмера абелева многообразия A относительно изогении f  :  A  →  B абелевых многообразий может быть определена в терминах когомологий Галуа как

${\displaystyle \operatorname {Sel} ^{(f)}(A/K)=\bigcap _{v}\ker(H^{1}(G_{K},\ker(f))\rightarrow H^ {1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\operatorname {im} (\kappa _{v}))}$

где A _v [ f ] обозначает f - кручение A v и является локальным отображением Куммера . Заметим, что изоморфно . Геометрически главные однородные пространства, происходящие от элементов группы Сельмера, имеют K _v -рациональные точки для всех точек v из K . Группа Сельмера _{конечна} . Это означает, что часть группы Тейта–Шафаревича, убитая f , конечна из-за следующей точной последовательности${\displaystyle \каппа _{v}}$ ${\displaystyle B_{v}(K_{v})/f(A_{v}(K_{v}))\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f] )}$${\displaystyle H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f])/\operatorname {im} (\kappa _{v})}$${\displaystyle H^{1}(G_{K_{v}},A_{v})[f]}$

0 → B ( K )/ f ( A ( K )) → Выб ^(f) ( A / K ) → Ш( A / K )[ f ] → 0.

Группа Сельмера в середине этой точной последовательности конечна и эффективно вычислима. Это подразумевает слабую теорему Морделла–Вейля о том, что ее подгруппа B ( K )/ f ( A ( K )) конечна. Существует известная проблема о том, можно ли эффективно вычислить эту подгруппу: существует процедура ее вычисления, которая завершится с правильным ответом, если существует некоторое простое число p такое, что p -компонента группы Тейта–Шафаревича конечна. Предполагается, что группа Тейта–Шафаревича на самом деле конечна, и в этом случае подойдет любое простое число p . Однако, если (что кажется маловероятным) группа Тейта–Шафаревича имеет бесконечную p -компоненту для каждого простого числа p , то процедура может никогда не закончиться.

Ральф Гринберг  (1994) обобщил понятие группы Сельмера до более общих p -адических представлений Галуа и p -адических вариаций мотивов в контексте теории Ивасавы .

В более общем смысле можно определить группу Сельмера конечного модуля Галуа M (такого как ядро ​​изогении) как элементы H ¹ ( G _K , M ), которые имеют образы внутри некоторых заданных подгрупп H ¹ ( G _{K v} , M ).

• Касселс, Джон Уильям Скотт (1962), «Арифметика на кривых рода 1. III. Группы Тейта–Шафаревича и Сельмера», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 12 : 259–296, doi :10.1112/plms/s3-12.1.259, ISSN  0024-6115, MR  0163913
• Касселс, Джон Уильям Скотт (1991), Лекции по эллиптическим кривым, Лондонское математическое общество, студенческие тексты, т. 24, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, г-н  1144763
• Гринберг, Ральф (1994), «Теория Ивасавы и p-адическая деформация мотивов», в Serre, Jean-Pierre ; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L. (ред.), Motives , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1637-0, МР  1265554
• Сельмер, Эрнст С. (1951), «Диофантово уравнение ax ³  +  by ³  +  cz ³   = 0», Acta Mathematica , 85 : 203–362, doi : 10.1007/BF02395746 , ISSN  0001-5962, MR  0041871

• Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма