Теорема выбора

В функциональном анализе , разделе математики, теорема выбора — это теорема, которая гарантирует существование однозначной функции выбора из заданного многозначного отображения . Существуют различные теоремы выбора, и они важны в теориях дифференциальных включений , оптимального управления и математической экономики . ^[1]

Дано два множества X и Y , пусть F будет функцией множества из X и Y. Эквивалентно, является функцией из X в множество мощности Y.${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$

Говорят, что функция является выбором F , если${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

${\displaystyle \forall x\in X:\,\,\,f(x)\in F(x)\,.}$

Другими словами, при заданном входе x, для которого исходная функция F возвращает несколько значений, новая функция f возвращает одно значение. Это особый случай функции выбора .

Аксиома выбора подразумевает, что функция выбора всегда существует; однако часто важно, чтобы выбор имел некоторые "хорошие" свойства, такие как непрерывность или измеримость . Вот где вступают в действие теоремы выбора: они гарантируют, что если F удовлетворяет определенным свойствам, то у него есть выбор f, который является непрерывным или имеет другие желаемые свойства.

Теорема Майкла о селекции ^{[2] гласит, что для существования} непрерывной селекции достаточны следующие условия :

• X — паракомпактное пространство;
• Y — банахово пространство ;
• F – нижний полунепрерывный ;
• для всех x из X множество F ( x ) непусто, выпукло и замкнуто .

Теорема приближенного выбора ^[3] утверждает следующее:

Предположим, что X — компактное метрическое пространство, Y — непустое компактное , выпуклое подмножество нормированного векторного пространства , а Φ: X → мультифункция, все значения которой компактны и выпуклы. Если graph(Φ) замкнут, то для любого ε > 0 существует непрерывная функция f  : X → Y с graph( f ) ⊂ [graph(Φ)] _ε .${\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}$

Здесь обозначает -дилатацию , то есть объединение радиусов -открытых шаров с центрами в точках из . Теорема подразумевает существование непрерывного приближенного выбора.${\displaystyle [S]_{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \varepsilon}$${\displaystyle S}$

Другой набор достаточных условий для существования непрерывного приближенного выбора дается теоремой Дойча–Кендерова ^[4] , условия которой являются более общими, чем условия теоремы Майкла (и, таким образом, выбор является лишь приближенным):

• X — паракомпактное пространство;
• Y — нормированное векторное пространство ;
• F почти хеминепрерывна снизу , то есть при каждом для каждой окрестности существует окрестность такая , что ;${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\ textstyle \ bigcap _ {u \ in U} \ {F (u) + V \} \ neq \emptyset }$
• для всех x из X множество F ( x ) непусто и выпукло .

В более поздней заметке Сюй доказал, что теорема Дойча–Кендерова также верна, если — локально выпуклое топологическое векторное пространство . ^[5]${\displaystyle Y}$

Теорема отбора Яннелиса -Прабхакара ^{[6] гласит, что для существования} непрерывного отбора достаточны следующие условия :

• X — паракомпактное хаусдорфово пространство ;
• Y — линейное топологическое пространство ;
• для всех x из X множество F ( x ) непусто и выпукло ;
• для всех y из Y обратное множество F ⁻¹ ( y ) является открытым множеством в X .

Теорема Куратовского и Рылль-Нардзевского об измеримом выборе гласит, что если X — польское пространство , а его борелевская σ-алгебра — множество непустых замкнутых подмножеств X , — измеримое пространство , и — слабо измеримое отображение (то есть для каждого открытого подмножества, которое у нас есть ), то существует выборка , которая является измеримой . [ ^7]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} (X)}$${\displaystyle (\Omega, {\mathcal {F}})}$${\displaystyle F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle \{\omega \in \Omega:F(\omega)\cap U\neq \emptyset \}\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {B}})}$

Другие теоремы выбора для многозначных функций включают в себя:

• Теорема Брессана–Коломбо о направленно непрерывном выборе
• Теорема о представлении Кастэнга
• Выбор разложимой карты Фришковского
• Теорема выбора Хелли
• Теорема выбора Майкла для нуль-мерного случая
• Теорема Роберта Ауманна об измеримом выборе

• Теорема отбора Блашке
• Теорема максимума