Лемма Шура

В математике лемма Шура ^[1] является элементарным, но чрезвычайно полезным утверждением в теории представлений групп и алгебр . В групповом случае она гласит, что если M и N — два конечномерных неприводимых представления группы G , а φ — линейное отображение из M в N , коммутирующее с действием группы, то либо φ обратимо , либо φ = 0. Важный особый случай возникает, когда M =  N  , т. е. φ — отображение в себя; в частности, любой элемент центра группы должен действовать как скалярный оператор (скалярное кратное тождества) на M. Лемма названа в честь Иссая Шура , который использовал ее для доказательства соотношений ортогональности Шура и разработки основ теории представлений конечных групп . Лемма Шура допускает обобщения на группы Ли и алгебры Ли , наиболее распространённые из которых принадлежат Жаку Диксмье и Даниэлю Квиллену .

Теория представлений — это изучение гомоморфизмов группы G в общую линейную группу GL ( V ) векторного пространства V ; т. е. в группу автоморфизмов V . (Здесь мы ограничимся случаем, когда основным полем V является поле комплексных чисел .) Такой гомоморфизм называется представлением G в V . Представление в V является частным случаем группового действия в V , но вместо того , чтобы допускать любые произвольные биекции ( перестановки ) основного множества V , мы ограничиваемся обратимыми линейными преобразованиями.${\displaystyle \mathbb {C} }$

Пусть ρ — представление G на V . Может быть так, что V имеет подпространство W , такое, что для каждого элемента g из G обратимое линейное отображение ρ ( g ) сохраняет или фиксирует W , так что ( ρ ( g ))( w ) принадлежит W для каждого w из W , и ( ρ ( g ))( v ) не принадлежит W для любого v, не принадлежащего W . Другими словами, каждое линейное отображение ρ ( g ): V → V также является автоморфизмом W , ρ ( g ): W → W , когда его область определения ограничена W . Мы говорим, что W устойчиво относительно G , или устойчиво относительно действия G . Ясно, что если мы рассматриваем W само по себе как векторное пространство, то существует очевидное представление G на W — представление, которое мы получаем, ограничивая каждое отображение ρ ( g ) до W . Когда W обладает этим свойством, мы называем W с данным представлением подпредставлением V . Каждое представление G имеет себя и нулевое векторное пространство в качестве тривиальных подпредставлений. Представление G без нетривиальных подпредставлений называется неприводимым представлением . Неприводимые представления — как простые числа или как простые группы в теории групп — являются строительными блоками теории представлений. Многие из начальных вопросов и теорем теории представлений имеют дело со свойствами неприводимых представлений.

Так же, как мы интересуемся гомоморфизмами между группами и непрерывными отображениями между топологическими пространствами , мы также интересуемся определенными функциями между представлениями G. Пусть V и W — векторные пространства, и пусть и — представления G на V и W соответственно. Затем мы определяем G -линейное отображение f из V в W как линейное отображение из V в W , которое является эквивариантным относительно действия G ; то есть для каждого g в G , . Другими словами, мы требуем, чтобы f коммутировало с действием G. G -линейные отображения — это морфизмы в категории представлений G.${\displaystyle \rho _{V}}$${\displaystyle \rho _{W}}$${\displaystyle \rho _{W}(g)\circ f=f\circ \rho _{V}(g)}$

Лемма Шура — это теорема, описывающая, какие G - линейные отображения могут существовать между двумя неприводимыми представлениями G.

Теорема (лемма Шура) : Пусть V и W — векторные пространства; и пусть и — неприводимые представления G на V и W соответственно. ^[2]${\displaystyle \rho _{V}}$${\displaystyle \rho _{W}}$

1. Если и не изоморфны , то между ними нет нетривиальных G -линейных отображений.${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$
2. Если конечномерно над алгебраически замкнутым полем (например , ); и если , то единственными нетривиальными G -линейными отображениями являются тождество и скалярные кратные тождества. (Скалярное кратное тождества иногда называют гомотетией . )${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \rho _{V}=\rho _{W}}$

Доказательство: Предположим, что есть ненулевое G -линейное отображение из в . Докажем, что и изоморфны. Пусть будет ядром , или нулевым пространством, в , подпространством всех в , для которого . (Легко проверить, что это подпространство.) По предположению, что является G -линейным , для любого в и выбора в , . Но сказать, что то же самое, что сказать, что находится в нулевом пространстве . Так что устойчиво под действием G ; это подпредставление. Поскольку по предположению неприводимо, должно быть равно нулю; поэтому инъективно .${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))=(\rho _{W}(g))(0)=0}$${\displaystyle f(\rho _{V}(g)(x))=0}$${\displaystyle \rho _{V}(g)(x)}$${\displaystyle f:V\rightarrow W}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle f}$

Подобным же рассуждением мы покажем, что также сюръективно ; поскольку , мы можем заключить, что для произвольного выбора в образе , отправляет куда-то еще в образе ; в частности, он отправляет его в образ . Таким образом , образ является подпространством устойчивого относительно действия , поэтому он является подпредставлением и должен быть нулевым или сюръективным. По предположению он не равен нулю, поэтому он сюръективен, и в этом случае он является изоморфизмом.${\displaystyle f}$${\displaystyle f((\rho _{V}(g))(x))=(\rho _{W}(g))(f(x))}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \rho _{W}(g)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \rho _{V}(g)x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle W'}$${\displaystyle W}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$

В случае, если конечномерно над алгебраически замкнутым полем и они имеют одинаковое представление, пусть будет собственным значением . (Собственное значение существует для каждого линейного преобразования на конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем.) Пусть . Тогда если является собственным вектором , соответствующим . Ясно, что является G -линейным отображением, поскольку сумма или разность G -линейных отображений также является G -линейным . Затем мы возвращаемся к приведенному выше рассуждению, где мы использовали тот факт, что отображение было G -линейным, чтобы заключить, что ядро ​​является подпредставлением и, таким образом, либо равно нулю, либо равно всем из ; поскольку оно не равно нулю (оно содержит ), оно должно быть всем из V и, следовательно, является тривиальным, поэтому .${\displaystyle V=W}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'=f-\lambda I}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda ,f'(x)=0}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f=\lambda I}$

Важное следствие леммы Шура следует из наблюдения, что мы часто можем строить явно -линейные отображения между представлениями путем "усреднения" по действию отдельных групповых элементов на некоторый фиксированный линейный оператор. В частности, при любом неприводимом представлении такие объекты будут удовлетворять предположениям леммы Шура, следовательно, будут скалярными кратными тождества. Точнее:${\displaystyle G}$

Следствие : Используя те же обозначения из предыдущей теоремы, пусть будет линейным отображением V в W , и положим Тогда,${\displaystyle h}$$${\displaystyle h_{0}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g).}$$

1. Если и не изоморфны , то .${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle h_{0}=0}$
2. Если конечномерно над алгебраически замкнутым полем (например, ) ; и если , то , где n — размерность V . То есть, является гомотетией отношения .${\displaystyle V=W}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \rho _{V}=\rho _{W}}$${\displaystyle h_{0}=I\,\mathrm {Tr} [h]/n}$${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle \mathrm {Tr} [h]/n}$

Доказательство: Сначала покажем, что является G-линейным отображением, т.е. для всех . Действительно, рассмотрим, что${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle \rho _{W}(g)\circ h_{0}=h_{0}\circ \rho _{V}(g)}$${\displaystyle g\in G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\rho _{W}(g'))^{-1}h_{0}\rho _{V}(g')&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g'))^{-1}(\rho _{W}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)\rho _{V}(g')\\&={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}(\rho _{W}(g\circ g'))^{-1}h\rho _{V}(g\circ g')\\&=h_{0}\end{aligned}}}$

Теперь, применяя предыдущую теорему, для случая 1 следует, что , а для случая 2 следует, что является скалярным множителем единичной матрицы (т.е. ). Чтобы определить скалярный множитель , рассмотрим, что${\displaystyle h_{0}=0}$${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle h_{0}=\mu I}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mathrm {Tr} [h_{0}]={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\mathrm {Tr} [(\rho _{V}(g))^{-1}h\rho _{V}(g)]=\mathrm {Tr} [h]}$

Из этого следует, что .${\displaystyle \mu =\mathrm {Tr} [h]/n}$

Этот результат имеет многочисленные приложения. Например, в контексте квантовой информатики он используется для получения результатов о сложных проективных t-дизайнах . ^[3] В контексте теории молекулярных орбиталей он используется для ограничения атомных орбитальных взаимодействий на основе молекулярной симметрии . ^[4]

Теорема: Пусть — два простых модуля над кольцом . Тогда любой гомоморфизм — модулей либо нулевой, либо изоморфизм. ^[5] В частности, кольцо эндоморфизмов простого модуля является телом . [ ⁶ ]${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f\colon M\to N}$${\displaystyle R}$

Доказательство: Рассмотрим ядро ​​и образ : поскольку являются подмодулями простых модулей, по определению они либо равны нулю, либо равны соответственно. В частности, мы имеем, что либо , что означает, что является нулевым морфизмом, либо , что означает, что является инъективным. В последнем случае первая теорема об изоморфизме говорит нам, кроме того, что не является тривиальным и, таким образом , : это показывает, что является вдобавок сюръективным, следовательно, биективным и, таким образом, изоморфизмом -модулей . ${\displaystyle f}$${\displaystyle \ker(f)\subseteq M,\mathrm {im} (f)\subseteq N}$${\displaystyle M,N}$${\displaystyle \ker(f)=M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \ker(f)=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {im} (f)\cong M/\ker(f)\cong M}$${\displaystyle \mathrm {im} (f)=N}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R}$

Групповая версия является частным случаем модульной версии, поскольку любое представление группы G можно эквивалентно рассматривать как модуль над групповым кольцом G.

Лемма Шура часто применяется в следующем частном случае. Предположим, что R — алгебра над полем k , а векторное пространство M = N — простой модуль R. Тогда лемма Шура утверждает, что кольцо эндоморфизмов модуля M является алгеброй с делением над k . Если M конечномерно, эта алгебра с делением конечномерна. Если k — поле комплексных чисел, то единственным вариантом является то, что эта алгебра с делением является комплексными числами. Таким образом, кольцо эндоморфизмов модуля M «настолько мало, насколько это возможно». Другими словами, единственные линейные преобразования M , которые коммутируют со всеми преобразованиями, исходящими из R, являются скалярными кратными единицы.

В более общем случае, если — алгебра над алгебраически замкнутым полем и — простой -модуль, удовлетворяющий (мощность ), то . ^[7] Так, в частности, если — алгебра над несчетным алгебраически замкнутым полем и — простой модуль, который является не более чем счетномерным, то единственные линейные преобразования этого модуля, коммутирующие со всеми преобразованиями, исходящими из , являются скалярными кратными единицы. ${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \dim _{k}(M)<\#k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=k}$${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

Когда поле не является алгебраически замкнутым, случай, когда кольцо эндоморфизмов минимально возможного размера, по-прежнему представляет особый интерес. Простой модуль над -алгеброй называется абсолютно простым, если его кольцо эндоморфизмов изоморфно . Это, в общем случае , сильнее, чем неприводимость над полем , и подразумевает, что модуль неприводим даже над алгебраическим замыканием . [ ^{необходима цитата ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Определение: Пусть будет -алгеброй. Говорят, что -модуль имеет центральный характер ( здесь - центр ), если для каждого существует такое, что , т.е. если каждый является обобщенным собственным вектором с собственным значением .${\displaystyle R}$${\displaystyle k}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \chi :Z(R)\to k}$${\displaystyle Z(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle m\in M,z\in Z(R)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (z-\chi (z))^{n}m=0}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \chi (z)}$

Если , скажем, в случае, описанном выше, каждый элемент из действует на как -эндоморфизм и, следовательно, как скаляр. Таким образом, существует кольцевой гомоморфизм такой, что для всех . В частности, имеет центральный характер .${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=k}$${\displaystyle Z(R)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \chi :Z(R)\to k}$${\displaystyle (z-\chi (z))m=0}$${\displaystyle z\in Z(R),m\in M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \chi }$

Если - универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли, центральный характер также называется бесконечно малым характером , и предыдущие рассмотрения показывают, что если - конечномерен (то есть является счетномерным), то каждый простой -модуль имеет бесконечно малый характер.${\displaystyle R=U({\mathfrak {g}}),k=\mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle R=U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

В случае, когда — групповая алгебра конечной группы , следует тот же вывод. Здесь центр состоит из элементов вида , где — классовая функция , т.е. инвариантная относительно сопряжения. Поскольку множество классовых функций охватывается характерами неприводимых представлений , центральный характер определяется тем, во что он отображается (для всех ). Поскольку все являются идемпотентными, каждый из них отображается либо в 0, либо в 1, и поскольку для двух различных неприводимых представлений только одно может быть отображено в 1: то, которое соответствует модулю .${\displaystyle k=\mathbb {C} ,R=\mathbb {C} [G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \sum _{g\in G}a(g)g}$${\displaystyle a:G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \chi _{\pi }}$${\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}$${\displaystyle u_{\pi }:={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}\chi _{\pi }(g)g}$${\displaystyle \pi \in {\hat {G}}}$${\displaystyle u_{\pi }}$${\displaystyle u_{\pi }u_{\pi '}=0}$${\displaystyle u_{\pi }}$${\displaystyle M}$

Теперь опишем лемму Шура, как она обычно формулируется в контексте представлений групп Ли и алгебр Ли . Результат состоит из трех частей. ^[8]

Сначала предположим, что и являются неприводимыми представлениями группы Ли или алгебры Ли над любым полем и что является сплетающим отображением . Тогда является либо нулем, либо изоморфизмом.${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle \phi :V_{1}\rightarrow V_{2}}$${\displaystyle \phi }$

Во-вторых, если является неприводимым представлением группы Ли или алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем и является сплетающим отображением, то является скалярным кратным тождественного отображения. ${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi :V\rightarrow V}$${\displaystyle \phi }$

В-третьих, предположим , что и являются неприводимыми представлениями группы Ли или алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем и являются ненулевыми сплетающими отображениями . Тогда для некоторого скаляра .${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}:V_{1}\rightarrow V_{2}}$${\displaystyle \phi _{1}=\lambda \phi _{2}}$${\displaystyle \lambda }$

Простым следствием второго утверждения является то, что каждое комплексное неприводимое представление абелевой группы одномерно.

Предположим, что является алгеброй Ли и является универсальной обертывающей алгеброй . Пусть будет неприводимым представлением над алгебраически замкнутым полем. Универсальное свойство универсальной обертывающей алгебры гарантирует, что распространяется на представление , действующее на том же векторном пространстве. Из второй части леммы Шура следует, что если принадлежит центру , то должно быть кратным тождественному оператору. В случае, когда является комплексной полупростой алгеброй Ли , важным примером предыдущей конструкции является тот, в котором является (квадратичным) элементом Казимира . В этом случае , где является константой, которая может быть явно вычислена в терминах наибольшего веса . ^[9] Действие элемента Казимира играет важную роль в доказательстве полной приводимости для конечномерных представлений полупростых алгебр Ли. ^[10]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {End} (V)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle \pi (C)=\lambda _{\pi }I}$${\displaystyle \lambda _{\pi }}$${\displaystyle \pi }$

Одномодульная версия леммы Шура допускает обобщения для модулей , которые не обязательно являются простыми. Они выражают соотношения между модульно-теоретическими свойствами и свойствами кольца эндоморфизмов .${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Теорема (Лэм 2001, §19): Модуль называется сильно неразложимым , если его кольцо эндоморфизмов является локальным кольцом . Для модуля конечной длины следующие свойства эквивалентны: ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$неразложим ;​
• ${\displaystyle M}$является строго неразложимым;
• Каждый эндоморфизм либо нильпотентен, либо обратим.${\displaystyle M}$

Однако лемма Шура не может быть обращена в общем случае, поскольку существуют модули, которые не являются простыми, но алгебра эндоморфизмов которых является телом . Такие модули обязательно неразложимы и, таким образом, не могут существовать над полупростыми кольцами , такими как комплексное групповое кольцо конечной группы . Однако даже над кольцом целых чисел модуль рациональных чисел имеет кольцо эндоморфизмов, которое является телом, в частности, поле рациональных чисел. Даже для групповых колец существуют примеры, когда характеристика поля делит порядок группы: радикал Джекобсона проективного покрытия одномерного представления знакопеременной группы A ₅ над конечным полем с тремя элементами F ₃ имеет F ₃ в качестве своего кольца эндоморфизмов. ^{[ необходима ссылка ]}

• Шур дополняет
• Лемма Квиллена

• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. стр. 337. ISBN 0-471-36857-1.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95325-0.
• Сенгупта, Амбар (2012). «Индуцированные представления». Представление конечных групп . Нью-Йорк. С.  235–248 . doi :10.1007/978-1-4614-1231-1_8. ISBN 9781461412311. OCLC  769756134.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Штерн, А.И.; Ломоносов, В.И. (2001) [1994], «Лемма Шура», Математическая энциклопедия , EMS Press