Масштабная инвариантность

В физике , математике и статистике масштабная инвариантность — это свойство объектов или законов, которые не изменяются, если масштабы длины, энергии или других переменных умножаются на общий множитель, и, таким образом, представляют собой универсальность .

Технический термин для этого преобразования — дилатация (также известная как дилатация ). Дилатации могут быть частью более крупной конформной симметрии .

• В математике масштабная инвариантность обычно относится к инвариантности отдельных функций или кривых . Тесно связанное понятие — самоподобие , когда функция или кривая инвариантна относительно дискретного подмножества дилатаций. Также возможно, что распределения вероятностей случайных процессов демонстрируют этот тип масштабной инвариантности или самоподобия.
• В классической теории поля масштабная инвариантность чаще всего применяется к инвариантности всей теории относительно дилатаций. Такие теории обычно описывают классические физические процессы без характерного масштаба длины.
• В квантовой теории поля масштабная инвариантность имеет интерпретацию в терминах физики частиц . В масштабно-инвариантной теории сила взаимодействия частиц не зависит от энергии участвующих частиц.
• В статистической механике масштабная инвариантность является свойством фазовых переходов . Ключевое наблюдение заключается в том, что вблизи фазового перехода или критической точки флуктуации происходят на всех масштабах длины, и поэтому следует искать явно масштабно-инвариантную теорию для описания явлений. Такие теории являются масштабно-инвариантными статистическими теориями поля и формально очень похожи на масштабно-инвариантные квантовые теории поля.
• Универсальность — это наблюдение, что совершенно разные микроскопические системы могут демонстрировать одинаковое поведение при фазовом переходе. Таким образом, фазовые переходы во многих различных системах могут быть описаны одной и той же базовой масштабно-инвариантной теорией.
• В общем случае безразмерные величины масштабно-инвариантны. Аналогичное понятие в статистике — стандартизированные моменты , которые являются масштабно-инвариантными статистиками переменной, в то время как нестандартизированные моменты таковыми не являются.

В математике можно рассматривать масштабные свойства функции или кривой f ( x ) при масштабировании переменной x . То есть, нас интересует форма f ( λ x ) для некоторого масштабного коэффициента λ , который можно принять за масштабирование длины или размера. Требование к f ( x ) быть инвариантным при всех масштабированиях обычно принимается как

${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda ^{\Delta }f(x)}$

для некоторого выбора показателя Δ и для всех дилатаций λ . Это эквивалентно тому, что f   является однородной функцией степени Δ.

Примерами масштабно-инвариантных функций являются мономы , для которых Δ = n , причем очевидно, что${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

${\displaystyle f(\lambda x)=(\lambda x)^{n}=\lambda ^{n}f(x)~.}$

Примером масштабно-инвариантной кривой является логарифмическая спираль , вид кривой, которая часто встречается в природе. В полярных координатах ( r , θ ) спираль можно записать как

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a)~.}$

Если допустить повороты кривой, она инвариантна относительно всех масштабирований λ ; то есть θ ( λr ) идентична повернутой версии θ ( r ) .

Идея масштабной инвариантности монома обобщается в высших измерениях до идеи однородного многочлена и, в более общем смысле, до однородной функции . Однородные функции являются естественными обитателями проективного пространства , а однородные многочлены изучаются как проективные многообразия в проективной геометрии . Проективная геометрия — особенно богатая область математики; в своих наиболее абстрактных формах, геометрии схем , она связана с различными темами в теории струн .

Иногда говорят, что фракталы масштабно-инвариантны, хотя точнее было бы сказать, что они самоподобны . Фрактал обычно равен себе только для дискретного набора значений λ , и даже тогда может потребоваться применение переноса и вращения, чтобы сопоставить фрактал с самим собой.

Так, например, кривая Коха масштабируется с ∆ = 1 , но масштабирование выполняется только для значений λ = 1/3 ⁿ для целого n . Кроме того, кривая Коха масштабируется не только в начале координат, но, в определенном смысле, «везде»: ее миниатюрные копии можно найти по всей кривой.

Некоторые фракталы могут иметь одновременно несколько масштабных факторов; такое масштабирование изучается с помощью мультифрактального анализа .

Периодические внешние и внутренние лучи являются инвариантными кривыми.

Если P ( f ) — средняя ожидаемая мощность на частоте f , то шум масштабируется как

${\displaystyle P(f)=\lambda ^{-\Delta }P(\lambda f)}$

где Δ = 0 для белого шума , Δ = −1 для розового шума и Δ = −2 для броуновского шума (и, в более общем смысле, броуновского движения ).

Точнее, масштабирование в стохастических системах касается вероятности выбора определенной конфигурации из множества всех возможных случайных конфигураций. Эта вероятность задается распределением вероятностей .

Примерами масштабно-инвариантных распределений являются распределение Парето и распределение Ципфа .

Распределения Твиди являются особым случаем моделей экспоненциальной дисперсии , класса статистических моделей, используемых для описания распределений ошибок для обобщенной линейной модели и характеризующихся закрытием при аддитивной и репродуктивной свертке, а также при масштабном преобразовании. ^[1] К ним относятся ряд распространенных распределений: нормальное распределение , распределение Пуассона и гамма-распределение , а также более необычные распределения, такие как составное распределение Пуассона-гамма, положительные устойчивые распределения и экстремально устойчивые распределения. Вследствие присущей им масштабной инвариантности случайные величины Твиди Y демонстрируют дисперсию var( Y ), что означает степенной закон E( Y ):

${\displaystyle {\text{var}}\,(Y)=a[{\text{E}}\,(Y)]^{p}}$,

где a и p — положительные константы. Этот закон дисперсии к средней мощности известен в литературе по физике как флуктуационное масштабирование , ^[2] а в литературе по экологии как закон Тейлора . ^[3]

Случайные последовательности, управляемые распределениями Твиди и оцениваемые методом расширяющихся бинов, демонстрируют двуусловную связь между дисперсией к среднему степенному закону и автокорреляциями степенного закона . Теорема Винера–Хинчина далее подразумевает, что для любой последовательности, которая демонстрирует дисперсию к среднему степенному закону при этих условиях, также будет проявляться шум 1/f . ^[4]

Теорема сходимости Твиди дает гипотетическое объяснение широкого проявления масштабирования флуктуации и шума 1/f . ^[5] По сути, она требует, чтобы любая модель экспоненциальной дисперсии, которая асимптотически проявляет дисперсию к среднему степенному закону, должна была выражать функцию дисперсии , которая попадает в область притяжения модели Твиди. Почти все функции распределения с конечными кумулянтными генерирующими функциями квалифицируются как модели экспоненциальной дисперсии, и большинство моделей экспоненциальной дисперсии проявляют функции дисперсии этой формы. Следовательно, многие распределения вероятностей имеют функции дисперсии, которые выражают это асимптотическое поведение , и распределения Твиди становятся фокусами сходимости для широкого диапазона типов данных. ^[4]

Подобно тому, как центральная предельная теорема требует, чтобы определенные виды случайных величин имели в качестве фокуса сходимости гауссовское распределение и выражали белый шум , теорема Твиди о сходимости требует, чтобы определенные негауссовские случайные величины выражали 1/f -шум и масштабирование флуктуаций. ^[4]

В физической космологии спектр мощности пространственного распределения космического микроволнового фона близок к тому, чтобы быть функцией, инвариантной к масштабу. Хотя в математике это означает, что спектр является степенным законом, в космологии термин «инвариантный к масштабу» указывает на то, что амплитуда, P ( k ) , первичных флуктуаций как функция волнового числа , k , приблизительно постоянна, т.е. плоский спектр. Эта модель согласуется с предложением космической инфляции .

Классическая теория поля в общем случае описывается полем или набором полей φ , которые зависят от координат x . Допустимые конфигурации поля затем определяются путем решения дифференциальных уравнений для φ , и эти уравнения известны как уравнения поля .

Чтобы теория была масштабно-инвариантной, ее полевые уравнения должны быть инвариантны относительно перемасштабирования координат в сочетании с некоторым заданным перемасштабированием полей,

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x~,}$

${\displaystyle \varphi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\varphi ~.}$

Параметр Δ известен как масштабная размерность поля, и его значение зависит от рассматриваемой теории. Масштабная инвариантность обычно сохраняется при условии, что в теории не появляется фиксированная шкала длины. И наоборот, наличие фиксированной шкалы длины указывает на то, что теория не является масштабно-инвариантной.

Следствием масштабной инвариантности является то, что, имея решение масштабно-инвариантного уравнения поля, мы можем автоматически находить другие решения, соответствующим образом масштабируя как координаты, так и поля. В технических терминах, имея решение φ ( x ), всегда есть другие решения вида

${\displaystyle \lambda ^{\Delta }\varphi (\lambda x).}$

Для того чтобы конкретная конфигурация поля φ ( x ) была масштабно-инвариантной, мы требуем, чтобы

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda ^{-\Delta }\varphi (\lambda x)}$

где Δ — это, опять же, масштабная размерность поля.

Отметим, что это условие является довольно ограничительным. В общем случае решения даже масштабно-инвариантных полевых уравнений не будут масштабно-инвариантными, и в таких случаях говорят, что симметрия спонтанно нарушена .

Примером масштабно-инвариантной классической теории поля является электромагнетизм без зарядов и токов. Полями являются электрические и магнитные поля, E ( x , t ) и B ( x , t ), а их уравнениями поля являются уравнения Максвелла .

При отсутствии зарядов и токов эти уравнения поля принимают форму волновых уравнений.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {E} = {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} {\partial t^{2}}}\\[6pt]\nabla ^{2}\mathbf {B} = {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$

где с — скорость света.

Эти уравнения поля инвариантны относительно преобразования

${\displaystyle {\begin{align}x\rightarrow \lambda x,\\[6pt]t\rightarrow \lambda t.\end{align}}}$

Более того, если даны решения уравнений Максвелла E ( x , t ) и B ( x , t ), то E ( λ x , λt ) и B ( λ x , λt ) также являются решениями.

Другим примером масштабно-инвариантной классической теории поля является безмассовое скалярное поле (обратите внимание, что название скаляр не связано с масштабной инвариантностью). Скалярное поле φ ( x , t ) является функцией набора пространственных переменных x и временной переменной t .

Рассмотрим сначала линейную теорию. Подобно уравнениям электромагнитного поля выше, уравнение движения для этой теории также является волновым уравнением,

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi =0,}$

и инвариантен относительно преобразования

${\displaystyle x\rightarrow \лямбда x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \лямбда t.}$

Название «безмассовый» относится к отсутствию члена в уравнении поля. Такой член часто называют «массовым» членом, и он нарушит инвариантность относительно вышеуказанного преобразования. В релятивистских теориях поля шкала массы m физически эквивалентна фиксированной шкале длины через${\displaystyle \propto m^{2}\varphi }$

${\displaystyle L={\frac {\hbar }{mc}},}$

и поэтому не должно вызывать удивления то, что теория массивного скалярного поля не является масштабно-инвариантной.

Уравнения поля в приведенных выше примерах все линейны по полям, что означает, что масштабная размерность , Δ, не так важна. Однако обычно требуется, чтобы скалярное действие поля было безразмерным , и это фиксирует масштабную размерность φ . В частности,

${\displaystyle \Delta = {\frac {D-2}{2}},}$

где D — совокупное число пространственных и временных измерений.

Учитывая эту масштабную размерность для φ , существуют определенные нелинейные модификации безмассовой скалярной теории поля, которые также масштабно-инвариантны. Одним из примеров является безмассовая теория φ ⁴ для D  = 4. Уравнение поля имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi +g\varphi ^{3}=0.}$

(Обратите внимание, что название φ ⁴ происходит от формы лагранжиана , который содержит четвертую степень φ .)

Когда D  = 4 (например, три пространственных измерения и одно временное измерение), масштабная размерность скалярного поля равна Δ = 1. Тогда уравнение поля инвариантно относительно преобразования

${\displaystyle x\rightarrow \лямбда x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \лямбда t,}$

${\displaystyle \varphi (x)\rightarrow \lambda ^{-1}\varphi (x).}$

Ключевым моментом является то, что параметр g должен быть безразмерным, в противном случае в теорию вводится фиксированная шкала длины: для теории φ ⁴ это имеет место только при D  = 4. Обратите внимание, что при этих преобразованиях аргумент функции φ не изменяется.

Масштабная зависимость квантовой теории поля (КТП) характеризуется тем, как ее параметры связи зависят от масштаба энергии данного физического процесса. Эта энергетическая зависимость описывается группой перенормировки и закодирована в бета-функциях теории.

Для того, чтобы КТП была масштабно-инвариантной, ее параметры связи должны быть независимыми от масштаба энергии, и это указывается исчезновением бета-функций теории. Такие теории также известны как неподвижные точки соответствующего потока ренормгруппы. ^[6]

Простым примером масштабно-инвариантной КТП является квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц. Эта теория фактически не имеет параметров связи (поскольку фотоны безмассовы и не взаимодействуют) и, следовательно, масштабно-инвариантна, как и классическая теория.

Однако в природе электромагнитное поле связано с заряженными частицами, такими как электроны . КТП, описывающая взаимодействие фотонов и заряженных частиц, — это квантовая электродинамика (КЭД), и эта теория не является масштабно-инвариантной. Мы можем видеть это из бета-функции КЭД . Это говорит нам о том, что электрический заряд (который является параметром связи в теории) увеличивается с ростом энергии. Следовательно, в то время как квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц является масштабно-инвариантным, КЭД не является масштабно-инвариантным.

Свободная, безмассовая квантованная скалярная теория поля не имеет параметров связи. Поэтому, как и классическая версия, она масштабно-инвариантна. На языке ренормгруппы эта теория известна как гауссова неподвижная точка .

Однако, хотя классическая безмассовая теория φ ⁴ масштабно-инвариантна в D  = 4, квантованная версия не масштабно-инвариантна. Мы можем видеть это из бета-функции для параметра связи g .

Несмотря на то, что квантованное безмассовое φ ⁴ не является масштабно-инвариантным, существуют масштабно-инвариантные квантованные скалярные теории поля, отличные от гауссовой фиксированной точки. Одним из примеров является фиксированная точка Вильсона–Фишера , ниже.

Масштабно-инвариантные КТП почти всегда инвариантны относительно полной конформной симметрии , и изучением таких КТП является конформная теория поля (КТП). Операторы в КТП имеют четко определенную масштабную размерность , аналогичную масштабной размерности , ∆ , классического поля, обсуждавшегося выше. Однако масштабные размерности операторов в КТП обычно отличаются от размерностей полей в соответствующей классической теории. Дополнительные вклады, появляющиеся в КТП, известны как аномальные масштабные размерности .

Пример теории φ ⁴ выше демонстрирует, что параметры связи квантовой теории поля могут зависеть от масштаба, даже если соответствующая классическая теория поля является масштабно-инвариантной (или конформно-инвариантной). Если это так, то классическая масштабная (или конформная) инвариантность называется аномальной . Классически масштабно-инвариантная теория поля, где масштабная инвариантность нарушается квантовыми эффектами, обеспечивает объяснение почти экспоненциального расширения ранней Вселенной, называемого космической инфляцией , при условии, что теория может быть изучена с помощью теории возмущений . ^[7]

В статистической механике , когда система претерпевает фазовый переход , ее флуктуации описываются масштабно-инвариантной статистической теорией поля . Для системы, находящейся в равновесии (т.е. независимой от времени) в D пространственных измерениях, соответствующая статистическая теория поля формально подобна D -мерной CFT. Масштабные измерения в таких задачах обычно называются критическими показателями , и в принципе можно вычислить эти показатели в соответствующей CFT.

Примером, связывающим воедино многие идеи в этой статье, является фазовый переход модели Изинга , простой модели ферромагнитных веществ. Это модель статистической механики, которая также имеет описание в терминах конформной теории поля. Система состоит из массива узлов решетки, которые образуют D -мерную периодическую решетку. С каждым узлом решетки связан магнитный момент , или спин , и этот спин может принимать либо значение +1, либо -1. (Эти состояния также называются вверх и вниз соответственно.)

Ключевым моментом является то, что модель Изинга имеет спин-спиновое взаимодействие, что делает энергетически выгодным для двух соседних спинов быть выровненными. С другой стороны, тепловые флуктуации обычно вносят случайность в выравнивание спинов. При некоторой критической температуре, T _c , говорят, что происходит спонтанное намагничивание . Это означает, что ниже T _c спин-спиновое взаимодействие начнет доминировать, и будет некоторое чистое выравнивание спинов в одном из двух направлений.

Примером типа физических величин, которые хотелось бы вычислить при этой критической температуре, является корреляция между спинами, разделенными расстоянием r . Это имеет общее поведение:

${\displaystyle G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},}$

для некоторого конкретного значения , что является примером критического показателя.${\displaystyle \эта}$

Флуктуации при температуре T _c масштабно-инвариантны, и поэтому ожидается, что модель Изинга при этом фазовом переходе будет описываться масштабно-инвариантной статистической теорией поля. Фактически, эта теория является фиксированной точкой Вильсона–Фишера , частной масштабно-инвариантной скалярной теорией поля .

В этом контексте G ( r ) понимается как корреляционная функция скалярных полей,

${\displaystyle \langle \phi (0)\phi (r)\rangle \propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}}.}$

Теперь мы можем объединить ряд уже рассмотренных идей.

Из вышесказанного видно, что критический показатель, η , для этого фазового перехода, также является аномальной размерностью . Это происходит потому, что классическая размерность скалярного поля,

${\displaystyle \Delta = {\frac {D-2}{2}}}$

изменено, чтобы стать

${\displaystyle \Delta = {\frac {D-2+\eta }{2}},}$

где D — число измерений решетки модели Изинга.

Таким образом, это аномальное измерение в конформной теории поля совпадает с частным критическим показателем фазового перехода модели Изинга.

Обратите внимание, что для размерности D ≡ 4− ε , η можно приблизительно рассчитать, используя разложение эпсилона , и можно найти, что

${\displaystyle \eta = {\frac {\epsilon ^{2}}{54}}+O(\epsilon ^{3})}$.

В физически интересном случае трех пространственных измерений мы имеем ε = 1, и поэтому это расширение не является строго надежным. Однако полуколичественное предсказание состоит в том, что η численно мало в трех измерениях.

С другой стороны, в двумерном случае модель Изинга точно разрешима. В частности, она эквивалентна одной из минимальных моделей , семейству хорошо изученных ККТ, и можно точно вычислить η (и другие критические показатели),

${\displaystyle \eta _{_{D=2}}={\frac {1}{4}}}$.

Аномальные измерения в некоторых двумерных CFT могут быть связаны с типичными фрактальными измерениями случайных блужданий, где случайные блуждания определяются с помощью эволюции Шрамма–Лёвнера (SLE). Как мы видели выше, CFT описывают физику фазовых переходов, и поэтому можно связать критические показатели определенных фазовых переходов с этими фрактальными измерениями. Примерами являются 2 -мерная критическая модель Изинга и более общая 2 -мерная критическая модель Поттса . Связь других 2 -мерных CFT с SLE является активной областью исследований.

Явление, известное как универсальность, наблюдается в большом разнообразии физических систем. Оно выражает идею о том, что различная микроскопическая физика может приводить к одному и тому же поведению масштабирования при фазовом переходе. Канонический пример универсальности включает следующие две системы:

• Фазовый переход модели Изинга , описанный выше.
• Переход жидкость - пар в классических жидкостях .

Несмотря на то, что микроскопическая физика этих двух систем совершенно различна, их критические показатели оказываются одинаковыми. Более того, можно вычислить эти показатели, используя одну и ту же статистическую теорию поля. Ключевое наблюдение заключается в том, что при фазовом переходе или критической точке флуктуации происходят на всех масштабах длины, и поэтому следует искать масштабно-инвариантную статистическую теорию поля для описания явлений. В некотором смысле, универсальность — это наблюдение, что существует относительно немного таких масштабно-инвариантных теорий.

Набор различных микроскопических теорий, описываемых одной и той же масштабно-инвариантной теорией, называется классом универсальности . Другие примеры систем, которые принадлежат к классу универсальности:

• Лавины в кучах песка. Вероятность схода лавины пропорциональна размеру лавины, и лавины наблюдаются во всех масштабах.
• Частота сбоев в работе сети Интернет в зависимости от размера и продолжительности.
• Частота цитирования журнальных статей, рассматриваемая в сети всех цитирований среди всех статей, как функция количества цитирований в данной статье. ^{[ необходима цитата ]}
• Образование и распространение трещин и разрывов в материалах от стали до камня и бумаги. Изменения направления разрыва или шероховатости поверхности трещины находятся в степенной зависимости от масштаба.
• Электрический пробой диэлектриков , который напоминает трещины и разрывы.
• Просачивание жидкостей через неупорядоченные среды, например, нефти через трещиноватые пласты горных пород или воды через фильтровальную бумагу, например, в хроматографии . Масштабирование по степенному закону связывает скорость потока с распределением трещин.
• Диффузия молекул в растворе и явление агрегации, ограниченной диффузией .
• Распределение камней разных размеров в смеси заполнителей, подвергаемой встряхиванию (под действием силы тяжести на камни).

Ключевым наблюдением является то, что для всех этих различных систем поведение напоминает фазовый переход и что для их описания можно применять язык статистической механики и масштабно-инвариантной статистической теории поля .

При определенных обстоятельствах механика жидкости является масштабно-инвариантной классической теорией поля. Полями являются скорость потока жидкости, , плотность жидкости, , и давление жидкости, . Эти поля должны удовлетворять как уравнению Навье-Стокса, так и уравнению непрерывности . Для ньютоновской жидкости они принимают соответствующие формы${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} {\partial t}}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =- \nabla P+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} + {\frac {1}{3}} \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right)}$$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0}$

где - динамическая вязкость .${\displaystyle \mu }$

Чтобы вывести масштабную инвариантность этих уравнений, мы задаем уравнение состояния , связывающее давление жидкости с плотностью жидкости. Уравнение состояния зависит от типа жидкости и условий, которым она подвергается. Например, мы рассматриваем изотермический идеальный газ , который удовлетворяет

${\displaystyle P=c_{s}^{2}\rho ,}$

где - скорость звука в жидкости. При этом уравнении состояния Навье-Стокса и уравнение непрерывности инвариантны относительно преобразований${\displaystyle c_{s}}$

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{2}t,}$

${\displaystyle \rho \rightarrow \lambda ^{-1}\rho ,}$

${\displaystyle \mathbf {u} \rightarrow \lambda ^{-1}\mathbf {u} .}$

Учитывая решения и , мы автоматически имеем, что и также являются решениями.${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \lambda \mathbf {u} (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$${\displaystyle \lambda \rho (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$

В компьютерном и биологическом зрении масштабные преобразования возникают из-за перспективного отображения изображения и из-за объектов, имеющих разные физические размеры в мире. В этих областях масштабная инвариантность относится к локальным дескрипторам изображения или визуальным представлениям данных изображения, которые остаются инвариантными при изменении локального масштаба в области изображения. ^[8] Обнаружение локальных максимумов по масштабам нормализованных производных ответов обеспечивает общую структуру для получения масштабной инвариантности из данных изображения. ^{[9] [10]} Примерами приложений являются обнаружение пятен , обнаружение углов , обнаружение хребтов и распознавание объектов с помощью масштабно-инвариантного преобразования признаков .

• Инвариант (математика)
• Обратный квадрат потенциала
• Закон силы
• Безмасштабная сеть

• Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления . Oxford University Press.Подробное обсуждение масштабной инвариантности в квантовых и статистических теориях поля, приложений к критическим явлениям и эпсилон-расширению, а также связанных тем.
• ДиФранческо, П.; Матье, П.; Сенешаль, Д. (1997). Конформная теория поля . Springer-Verlag.
• Муссардо, Г. (2010). Статистическая теория поля. Введение в точно решенные модели статистической физики . Oxford University Press.