Длина веревки

В теории физических узлов каждая реализация звена или узла имеет связанную с ним длину веревки . Интуитивно это минимальная длина идеально гибкой веревки, которая необходима для связывания данного звена или узла. Узлы и звенья, которые минимизируют длину веревки, называются идеальными узлами и идеальными звеньями соответственно.

Длина каната завязанной кривой определяется как отношение , где — длина , а — толщина узла .${\displaystyle С}$${\displaystyle L(C)=\operatorname {Len} (C)/\tau (C)}$${\displaystyle \operatorname {Лен} (С)}$${\displaystyle С}$${\displaystyle \тау (С)}$${\displaystyle С}$

Длину веревки можно превратить в инвариант узла , определив длину веревки узла как минимальную длину веревки среди всех кривых, реализующих .${\displaystyle К}$${\displaystyle К}$

Один из самых ранних вопросов теории узлов был сформулирован следующим образом:

В терминах длины веревки это спрашивает, существует ли узел с длиной веревки . Ответ — нет: аргумент с использованием квадрисекантов показывает, что длина веревки любого нетривиального узла должна быть не менее . ^[1] Однако поиск ответа подстегнул исследования как на теоретической, так и на вычислительной основе. Было показано, что для каждого типа связи существует минимизатор длины веревки, хотя он может иметь только класс дифференцируемости . ^{[2] [3]} Для простейшего нетривиального узла, узла-трилистника, компьютерное моделирование показало, что его минимальная длина веревки составляет не более 16,372. ^[1]${\displaystyle 12}$${\displaystyle 15.66}$ ${\displaystyle С^{1}}$

Обширный поиск был посвящен выявлению связей между длиной веревки и другими инвариантами узлов, такими как число пересечений узла. Для каждого узла длина веревки по крайней мере пропорциональна , где обозначает число пересечений. ^[4] Существуют узлы и связи, а именно торические узлы и - связи Хопфа , для которых эта нижняя граница является жесткой. То есть, для этих узлов (в нотации большого О ), ^[3]${\displaystyle К}$${\displaystyle К}$${\displaystyle \operatorname {Cr} (K)^{3/4}}$${\displaystyle \operatorname {Cr} (К)}$${\displaystyle (к,к-1)}$ ${\displaystyle к}$$${\displaystyle L(K)=O(\operatorname {Cr} (K)^{3/4}).}$$

С другой стороны, существуют также узлы, длина веревки которых больше и пропорциональна самому числу пересечений, а не его меньшей степени. ^[5] Это почти точно, как и для любого узла. Доказательство этой почти линейной верхней границы использует аргумент «разделяй и властвуй», чтобы показать, что минимальные проекции узлов могут быть встроены в качестве планарных графов в кубической решетке. ^[6] Однако никто еще не наблюдал семейство узлов с суперлинейной зависимостью длины от числа пересечений, и предполагается, что точная верхняя граница должна быть линейной. ^[7]$${\displaystyle L(K)=O(\operatorname {Cr} (K)\log ^{5}(\operatorname {Cr} (K))).}$$