Резонансы при рассеянии от потенциалов

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Октябрь 2022 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

В квантовой механике сечение резонанса встречается в контексте квантовой теории рассеяния , которая занимается изучением рассеяния квантовых частиц от потенциалов. Задача рассеяния связана с вычислением распределения потока рассеянных частиц/волн как функции потенциала и состояния (характеризуемого сохранением импульса/энергии ) падающей частицы. Для свободной квантовой частицы, падающей на потенциал, решение плоской волны для не зависящего от времени волнового уравнения Шредингера имеет вид:

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})=e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}})}}$

Для одномерных задач интерес представляет коэффициент пропускания, который определяется как:${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\frac {|{\vec {J}}_{\mathrm {trans} }|}{|{\vec {J}}_{\mathrm {inc} }|}}}$

где — плотность тока вероятности. Это дает долю падающего пучка частиц, которая проходит через потенциал. Для трехмерных задач можно было бы вычислить поперечное сечение рассеяния , которое, грубо говоря, является полной площадью падающего пучка, который рассеивается. Другая важная величина — это парциальное сечение , , которое обозначает поперечное сечение рассеяния для парциальной волны определенного собственного состояния углового момента. Эти величины, естественно, зависят от , волнового вектора падающей волны, который связан с ее энергией следующим образом:${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma _{\text{l}}}$${\displaystyle {\vec {k}}}$

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}|{\vec {k}}|^{2}}{2m}}}$

Значения этих интересующих нас величин, коэффициента пропускания (в случае одномерных потенциалов) и парциального сечения показывают пики в их изменении с падающей энергией . Эти явления называются резонансами.${\displaystyle T}$${\displaystyle \sigma _{\text{l}}}$${\displaystyle E}$

Одномерный конечный квадратный потенциал задается выражением

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}},}$

Знак определяет, является ли квадратный потенциал ямой или барьером . Для изучения явлений резонанса решается не зависящее от времени уравнение Шредингера для стационарного состояния массивной частицы с энергией :${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle E>V_{0}}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi }$

Решения волновой функции для трех областей следующие:${\displaystyle x<0,0<x<L,x>L}$

${\displaystyle \psi _{1}(x)={\begin{cases}A_{1}e^{ik_{1}x}+B_{1}e^{-ik_{1}x},&x<0,\\A_{2}e^{ik_{2}x}+B_{2}e^{-ik_{2}x},&0<x<L,\\A_{3}e^{ik_{1}x}+B_{3}e^{-ik_{1}x},&x>L,\end{cases}}}$

Здесь и — волновые числа в беспотенциальной области и в потенциальной области соответственно:${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$

${\displaystyle k_{1}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},}$

${\displaystyle k_{2}={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }},}$

Для вычисления коэффициент в волновой функции задается как , что соответствует тому, что на потенциал справа не падает волна. Накладывая условие непрерывности волновой функции и ее производной на границах яма/барьер и , находятся соотношения между коэффициентами, что позволяет найти как:${\displaystyle T}$${\displaystyle B_{3}=0}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle {\frac {d\psi }{dx}}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=L}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\frac {|A_{3}|^{2}}{|A_{1}|^{2}}}={\frac {4E(E-V_{0})}{4E(E-V_{0})+V_{0}^{2}\sin ^{2}\left[{\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\frac {L}{\hbar }}\right]}}}$

Отсюда следует, что коэффициент пропускания достигает максимального значения 1, когда:${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sin ^{2}\left[{\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\frac {L}{\hbar }}\right]=0{\text{, or }}{\sqrt {2m(E-V_{0})}}={\frac {n\pi \hbar }{L}}}$

для любого целого значения . Это условие резонанса , которое приводит к достижению пика к его максимуму, называемому резонансом .${\displaystyle n}$${\displaystyle T}$

Из приведенного выше выражения следует, что резонанс возникает, когда расстояние, пройденное частицей при прохождении ямы и обратно ( ), является целым кратным длины волны Де Бройля частицы внутри потенциальной ямы ( ). Для отражения на разрывах потенциала не сопровождаются изменением фазы. ^[1] Таким образом, резонансы соответствуют образованию стоячих волн внутри потенциального барьера/ямы. При резонансе волны, падающие на потенциал при , и волны, отражающиеся между стенками потенциала, находятся в фазе и усиливают друг друга. Вдали от резонансов стоячие волны не могут образовываться. Тогда волны, отражающиеся между обеими стенками потенциала (при и ), и волна, прошедшая через, находятся в противофазе и уничтожают друг друга интерференцией. Физика аналогична физике прохождения в интерферометре Фабри–Перо в оптике, где условие резонанса и функциональная форма коэффициента прохождения одинаковы.${\displaystyle 2L}$${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}}$${\displaystyle E>V_{0}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=L}$${\displaystyle x=0}$

Коэффициент пропускания колеблется между своим максимумом 1 и минимумом как функция длины квадратной ямы ( ) с периодом . Минимумы пропускания стремятся к в пределе большой энергии , что приводит к более мелким резонансам, и обратно стремятся к в пределе низкой энергии , что приводит к более острым резонансам. Это демонстрируется на графиках коэффициента пропускания против энергии падающей частицы для фиксированных значений коэффициента формы, определяемого как${\displaystyle \left[1+{\frac {V_{0}^{2}}{4E(E-V_{0})}}\right]^{-1}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\frac {\pi }{k_{2}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle E>>V_{0}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle E<<V_{0}}$${\displaystyle {\sqrt {\frac {2mV_{0}L^{2}}{\hbar ^{2}}}}}$

• Резонанс (физика элементарных частиц)
• Теорема Левинсона
• Разбиение Фешбаха-Фано

• Мерцбахер Юджин. Квантовая механика . John Wiley and Sons.
• Коэн-Тануджи Клод. Квантовая механика . Wiley-VCH.