Теорема Левинсона

Теорема Левинсона — важная теорема теории рассеяния. В нерелятивистской квантовой механике она связывает число связанных состояний в каналах с определенным орбитальным импульсом с разностью фаз рассеянной волны при бесконечном и нулевом импульсах. Она была опубликована Норманом Левинсоном в 1949 году. [1] Теорема применима к широкому диапазону потенциалов, которые ограниченно увеличиваются на нулевом расстоянии и достаточно быстро уменьшаются с ростом расстояния.

Формулировка теоремы

Разница в фазовом сдвиге -волны рассеянной волны при бесконечном импульсе, , и нулевом импульсе, , для сферически симметричного потенциала связана с числом связанных состояний соотношением: ℓ {\displaystyle \ell } φ ( + ∞ ) {\displaystyle \varphi (+\infty)} φ ( 0 ) {\displaystyle \varphi (0)} В ( г ) {\displaystyle V(r)} н б {\displaystyle n_{b}}

φ ( + ∞ ) − φ ( 0 ) = − π ( 1 2 н 0 + н б ) {\displaystyle \varphi (+\infty)-\varphi (0)=-\pi ({\frac {1}{2}}n_{0}+n_{b})} ,

где или . Сценарий необычен и может возникнуть только при -волновом рассеянии, если существует связанное состояние с нулевой энергией. Следующие условия достаточны для гарантии теоремы: [2] н 0 = 0 {\displaystyle n_{0}=0} 1 {\displaystyle 1} н 0 = 1 {\displaystyle n_{0}=1} с {\displaystyle с}

В ( г ) {\displaystyle V(r)} непрерывен, за исключением конечного числа конечных разрывов, ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty)}
В ( г ) = О ( г − 3 / 2 + ε )    как    г → 0 ,     ε > 0 , {\displaystyle V(r)=O(r^{-3/2+\varepsilon })~{\text{ как }}~r\rightarrow 0,~~\varepsilon >0,}
В ( г ) = О ( г − 3 − ε )    как    г → ∞ ,     ε > 0. {\displaystyle V(r)=O(r^{-3-\varepsilon })~{\text{ как }}~r\rightarrow \infty ,~~\varepsilon >0.}

Обобщения теоремы Левинсона включают тензорные силы, нелокальные потенциалы и релятивистские эффекты.

В релятивистской теории рассеяния существенная информация о системе содержится в функции Йоста , аналитические свойства которой хорошо определены и могут быть использованы для доказательства и обобщения теоремы Левинсона. Наличие полюсов Кастильехо, Далитца и Дайсона (CDD) [3] и примитивов Джаффе и Лоу [4] , которые соответствуют нулям функции Йоста на унитарном сечении, изменяет теорему. В общем случае разность фаз при бесконечных и нулевых импульсах частиц определяется числом связанных состояний, , числом примитивов, , и числом полюсов CDD, : [5] н б {\displaystyle n_{b}} н п {\displaystyle n_{p}} н CDD {\displaystyle n_{\text{CDD}}}

φ ( + ∞ ) − φ ( 0 ) = − π ( 1 2 н 0 + н б + н п − н CDD ) {\displaystyle \varphi (+\infty)-\varphi (0)=-\pi ({\frac {1}{2}}n_{0}+n_{b}+n_{p}-n_{\text {CDD}})} .

Связанные состояния и примитивы дают отрицательный вклад в фазовую асимптотику, тогда как полюса CDD дают положительный вклад. В контексте потенциального рассеяния уменьшение (увеличение) сдвига фазы рассеяния из-за большего импульса частицы интерпретируется как действие отталкивающего (притягивающего) потенциала. Следующие универсальные свойства функции Йоста, , являются существенными для гарантии обобщенной теоремы: ω Дж. ( с ) {\displaystyle \omega _{J}(s)}

ω Дж. ( с ) {\displaystyle \omega _{J}(s)} аналитическая функция квадрата энергии, , в системе центра масс рассеянных частиц с разрезом от порога до бесконечности, простыми нулями ниже порога, простыми нулями выше порога и простыми полюсами на действительной оси. Нули соответствуют связанным состояниям и примитивам в фиксированном канале с полным угловым моментом . с {\displaystyle с} н б {\displaystyle n_{b}} н п {\displaystyle n_{p}} н CDD {\displaystyle n_{\text{CDD}}} Дж. {\displaystyle J}

Ссылки

  1. ^ Левинсон, Н. (1949). «О единственности потенциала в уравнении Шредингера для заданной асимптотической фазы». Danske Vid. Selsk., Mat.-Fys. Medd . 25 (9): 29.
  2. ^ А. Галиндо и П. Паскуаль, Квантовая механика II (Springer-Verlag, Берлин, Германия, 1990).
  3. ^ Кастильехо, Л.; Далитц, Р. Х.; Дайсон, Ф. Дж. (1956). «Уравнение рассеяния Лоу для заряженных и нейтральных скалярных теорий». Phys. Rev. 101 ( 1): 453-458. doi :10.1103/physrev.101.453.
  4. ^ Джаффе, Р. Л.; Лоу , Ф. Э. (1979). «Связь между собственными состояниями кварковой модели и низкоэнергетическим рассеянием». Phys. Rev. D. 19 ( 7): 2105. Bibcode :1979PhRvD..19.2105J. doi :10.1103/PhysRevD.19.2105.
  5. ^ Криворученко, МИ; Тырин, КС (2021). «Обобщение теоремы Левинсона об асимптотическом значении фазового сдвига амплитуды рассеяния». Физика атомного ядра . 84 (1): 29-33. arXiv : 2006.09366 . doi :10.1134/S1063778821010130.
  • Ларри Спруч, «Теорема Левинсона», http://physical.nyu.edu/LarrySpruch/LevinsonsTheorem.PDF#Levinson_theorem.
  • М. Уэллнер, «Теорема Левинсона (элементарный вывод)», Исследовательский центр атомной энергии, Харвелл, Англия. Март 1964 г.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Levinson%27s_theorem&oldid=1266103150"