Разложение спектра (функциональный анализ)

Спектр линейного оператора , работающего в банаховом пространстве, является фундаментальным понятием функционального анализа . Спектр состоит из всех скаляров, таких, что оператор не имеет ограниченного обратного на . Спектр имеет стандартное разложение на три части: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle T-\lambda }$${\displaystyle X}$

• точечный спектр , состоящий из собственных значений ;${\displaystyle T}$
• непрерывный спектр , состоящий из скаляров, которые не являются собственными значениями, но образуют область значений собственного плотного подмножества пространства;${\displaystyle T-\lambda }$
• остаточный спектр , состоящий из всех остальных скаляров в спектре.

Это разложение имеет отношение к изучению дифференциальных уравнений и имеет приложения во многих областях науки и техники. Известным примером из квантовой механики является объяснение дискретных спектральных линий и непрерывной полосы в свете, испускаемом возбужденными атомами водорода .

Пусть X — банахово пространство , B ( X ) — семейство ограниченных операторов в X , а T ∈ B ( X ) . По определению комплексное число λ принадлежит спектру T , обозначаемому σ ( T ), если T − λ не имеет обратного в B ( X ).

Если T − λ взаимно однозначно и на , т.е. биективно , то его обратное ограничено; это следует непосредственно из теоремы об открытом отображении функционального анализа. Таким образом, λ находится в спектре T тогда и только тогда, когда T − λ не взаимно однозначно или не на . Различают три отдельных случая:

1. T − λ не является инъективным . То есть существуют два различных элемента x , y в X , такие что ( T − λ )( x ) = ( T − λ )( y ) . Тогда z = x − y — ненулевой вектор, такой что T ( z ) = λz . Другими словами, λ — собственное значение T в смысле линейной алгебры . В этом случаеговорят , что λ находится в точечном спектре T, обозначаемом σ _p ( T ) .
2. T − λ инъективен, и его область значений является плотным подмножеством R множества X ; но не является всем множеством X . Другими словами, существует некоторый элемент x в X такой, что ( T − λ )( y ) может быть скольугодно близко к x , с y в X ; но никогда не равен x . Можно доказать, что в этом случае T − λ не ограничен снизу (т. е. он помещает далеко расположенные элементы множества X слишком близко друг к другу). Эквивалентно, обратный линейный оператор ( T − λ ) ⁻¹ , который определен на плотном подмножестве R , не является ограниченным оператором и, следовательно, не может быть расширен на все множество X . Тогдаговорят, что λ находится в непрерывном спектре , σ _c ( T ) , оператора T .
3. T − λ инъективен, но не имеет плотного диапазона. То есть, существует некоторый элемент x в X и окрестность N элемента x, такие что ( T − λ )( y ) никогда не находится в N . В этом случае отображение ( T − λ ) ⁻¹ x → x может быть ограниченным или неограниченным, но в любом случае не допускает единственного расширения до ограниченного линейного отображения на всем X . Тогдаговорят, что λ находится в остаточном спектре T, σ _r ( T ) .

Итак, σ ( T ) является несвязным объединением этих трех множеств. Дополнение спектра известно как резольвентное множество , то есть .$${\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{p}(T)\cup \sigma _{c}(T)\cup \sigma _{r}(T).}$$${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)}$${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$

Кроме того, когда T − λ не имеет плотного диапазона, является ли он инъективным или нет, то говорят, что λ находится в спектре сжатия T , σ _cp ( T ). Спектр сжатия состоит из всего остаточного спектра и части точечного спектра .

Спектр неограниченного оператора можно разделить на три части так же, как и в ограниченном случае, но поскольку оператор не определен везде, определения области определения, обратного оператора и т. д. становятся более сложными.

Для данного σ-конечного мерного пространства ( S , Σ , μ ) рассмотрим банахово пространство L ^p ( μ ) . Функция h : S → C называется существенно ограниченной, если h ограничена μ -почти всюду. Существенно ограниченная h индуцирует ограниченный оператор умножения T _h на L ^p ( μ ):$${\displaystyle (T_{h}f)(s)=h(s)\cdot f(s).}$$

Операторная норма T является существенной верхней границей h . Существенная область значений h определяется следующим образом: комплексное число λ находится в существенной области значений h , если для всех ε > 0 прообраз открытого шара B _ε ( λ ) при h имеет строго положительную меру. Сначала мы покажем, что σ ( T _h ) совпадает с существенной областью значений h , а затем рассмотрим ее различные части.

Если λ не лежит в существенном диапазоне h , возьмем ε > 0, так что h ⁻¹ ( B _ε ( λ )) имеет нулевую меру. Функция g ( s ) = 1/( h ( s ) − λ ) ограничена почти всюду величиной 1/ ε . ​​Оператор умножения T _g удовлетворяет T _g · ( T _h − λ ) = ( T _h − λ ) · T _g = I . Таким образом , λ не лежит в спектре T _h . С другой стороны, если λ лежит в существенном диапазоне h , рассмотрим последовательность множеств { S _n = h ⁻¹ ( B _{1/ n} ( λ ))} . Каждое S _n имеет положительную меру. Пусть f _n будет характеристической функцией S _n . Мы можем вычислить напрямую$${\displaystyle \|(T_{h}-\lambda )f_{n}\|_{p}^{p}=\|(h-\lambda )f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{S_{n}}|h-\lambda \;|^{p}d\mu \leq {\frac {1}{n^{p}}}\;\mu (S_{n})={\frac {1}{n^{p}}}\|f_{n}\|_{p}^{p}.}$$

Это показывает, что T _h − λ не ограничена снизу, поэтому необратима.

Если λ таково, что μ ( h ⁻¹ ({ λ })) > 0, то λ лежит в точечном спектре T _h следующим образом. Пусть f — характеристическая функция измеримого множества h ⁻¹ ( λ ), тогда, рассмотрев два случая, мы находим, что λ — собственное значение T _h .$${\displaystyle \forall s\in S,\;(T_{h}f)(s)=\lambda f(s),}$$

Любое λ в существенном диапазоне h , не имеющее положительного прообраза меры, находится в непрерывном спектре T _h . Чтобы показать это, мы должны показать, что T _h − λ имеет плотный диапазон. Учитывая f ∈ L ^p ( μ ) , снова рассмотрим последовательность множеств { S _n = h ⁻¹ ( B _1/n ( λ ))} . Пусть g _n будет характеристической функцией S − S _n . Определим$${\displaystyle f_{n}(s)={\frac {1}{h(s)-\lambda }}\cdot g_{n}(s)\cdot f(s).}$$

Прямой расчет показывает, что f _n ∈ L ^p ( μ ), причем . Тогда по теореме о доминирующей сходимости в норме L ^p ( μ ).${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}\leq n\|f\|_{p}}$$${\displaystyle (T_{h}-\lambda )f_{n}\rightarrow f}$$

Следовательно, операторы умножения не имеют остаточного спектра. В частности, по спектральной теореме нормальные операторы в гильбертовом пространстве не имеют остаточного спектра.

В частном случае, когда S — множество натуральных чисел, а μ — счетная мера, соответствующее L ^p ( μ ) обозначается как l ^p . Это пространство состоит из комплекснозначных последовательностей { x _n } таких, что$${\displaystyle \sum _{n\geq 0}|x_{n}|^{p}<\infty .}$$

^Для 1 < p < ∞, l ^p рефлексивен . Определим левый сдвиг T  : l p → l ^p как $${\displaystyle T(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\dots ).}$$

T — частичная изометрия с операторной нормой 1. Таким образом, σ ( T ) лежит в замкнутом единичном круге комплексной плоскости.

T* — это сдвиг вправо (или односторонний сдвиг ), который является изометрией на l ^q , где 1/ p + 1/ q = 1:$${\displaystyle T^{*}(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots ).}$$

Для λ ∈ C с | λ | < 1 и T x = λ x . Следовательно, точечный спектр T содержит открытый единичный круг. Теперь T* не имеет собственных значений, т.е. σ _p ( T* ) пусто. Таким образом, привлекая рефлексивность и теорему в Spectrum_(functional_analysis)#Spectrum_of_the_adjoint_operator (что σ _p ( T ) ⊂ σ _r ( T *) ∪ σ _p ( T *)), мы можем вывести, что открытый единичный круг лежит в остаточном спектре T* .$${\displaystyle x=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\dots )\in l^{p}}$$

Спектр ограниченного оператора замкнут, что подразумевает единичную окружность, { | λ | = 1 } ⊂ C , лежит в σ ( T ). Опять же в силу рефлексивности l ^p и приведенной выше теоремы (на этот раз, что σ _r ( T ) ⊂ σ _p ( T *) ), мы имеем, что σ _r ( T ) также пусто. Следовательно, для комплексного числа λ с единичной нормой должно быть λ ∈ σ _p ( T ) или λ ∈ σ _c ( T ). Теперь, если | λ | = 1 и тогда , что не может быть в l ^p , противоречие. Это означает, что единичная окружность должна лежать в непрерывном спектре T .$${\displaystyle Tx=\lambda x,\qquad i.e.\;(x_{2},x_{3},x_{4},\dots )=\lambda (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ),}$$$${\displaystyle x=x_{1}(1,\lambda ,\lambda ^{2},\dots ),}$$

Таким образом , для левого сдвига T σ _p ( T ) — это открытый единичный круг, а σ _c ( T ) — это единичная окружность, тогда как для правого сдвига T* σ r ₍ T * ) — это открытый единичный круг, а σ _c ( T* ) — это единичная окружность.

Для p = 1 можно провести аналогичный анализ. Результаты не будут точно такими же, поскольку рефлексивность больше не выполняется.

Гильбертовы пространства являются банаховыми пространствами, поэтому приведенное выше обсуждение применимо и к ограниченным операторам в гильбертовых пространствах. Тонкий момент касается спектра T *. Для банахова пространства T * обозначает транспонирование и σ ( T* ) = σ ( T ). Для гильбертова пространства T * обычно обозначает сопряженный оператор T ∈ B ( H ), а не транспонирование, и σ ( T* ) не является σ ( T ), а его образом при комплексном сопряжении.

Для самосопряженного T ∈ B ( H ) функциональное исчисление Бореля дает дополнительные способы естественного разбиения спектра.

В этом подразделе кратко описывается развитие этого исчисления. Идея состоит в том, чтобы сначала установить непрерывное функциональное исчисление, а затем перейти к измеримым функциям с помощью теоремы о представлении Рисса–Маркова–Какутани . Для непрерывного функционального исчисления ключевыми ингредиентами являются следующие:

1. Если T самосопряжен, то для любого полинома P норма оператора удовлетворяет условию$${\displaystyle \|P(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|P(\lambda )|.}$$
2. Теорема Стоуна –Вейерштрасса , которая подразумевает, что семейство многочленов (с комплексными коэффициентами) плотно в C ( σ ( T )), непрерывных функциях на σ ( T ).

Семейство C ( σ ( T )) является банаховой алгеброй , если наделено равномерной нормой. Таким образом, отображение является изометрическим гомоморфизмом из плотного подмножества C ( σ ( T )) в B ( H ). Расширение отображения по непрерывности дает f ( T ) для f ∈ C( σ ( T )): пусть P _n — многочлены, такие что P _n → f равномерно, и определим f ( T ) = lim P _n ( T ). Это непрерывное функциональное исчисление.$${\displaystyle P\rightarrow P(T)}$$

Для фиксированного h ∈ H мы замечаем, что является положительным линейным функционалом на C ( σ ( T )). Согласно теореме о представлении Рисса–Маркова–Какутани существует единственная мера μ _h на σ ( T ) такая, что$${\displaystyle f\rightarrow \langle h,f(T)h\rangle }$$$${\displaystyle \int _{\sigma (T)}f\,d\mu _{h}=\langle h,f(T)h\rangle .}$$

Эту меру иногда называют спектральной мерой, связанной с h . Спектральные меры можно использовать для расширения непрерывного функционального исчисления на ограниченные функции Бореля. Для ограниченной функции g , которая измерима по Борелю, определим для предложенного g ( T )$${\displaystyle \int _{\sigma (T)}g\,d\mu _{h}=\langle h,g(T)h\rangle .}$$

С помощью тождества поляризации можно восстановить (поскольку H предполагается комплексным) и, следовательно, g ( T ) h для произвольного h .$${\displaystyle \langle k,g(T)h\rangle .}$$

В настоящем контексте спектральные меры в сочетании с результатом теории меры дают разложение σ ( T ).

Пусть h ∈ H и μ _h — его соответствующая спектральная мера на σ ( T ) ⊂ R. Согласно уточнению теоремы Лебега о разложении , μ _h можно разложить на три взаимно сингулярные части: где μ _ac абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, μ _sc сингулярна относительно меры Лебега и безатомна, а μ _pp — чисто точечная мера. ^{[1] [2]}$${\displaystyle \mu _{h}=\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }}$$

Все три типа мер инвариантны относительно линейных операций. Пусть H _ac — подпространство, состоящее из векторов, спектральные меры которых абсолютно непрерывны относительно меры Лебега . Определим H _pp и H _sc аналогичным образом. Эти подпространства инвариантны относительно T . Например, если h ∈ H _ac и k = T h . Пусть χ — характеристическая функция некоторого борелевского множества в σ ( T ), то So и k ∈ H _ac . Кроме того, применение спектральной теоремы дает$${\displaystyle \langle k,\chi (T)k\rangle =\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\cdot \lambda ^{2}d\mu _{h}(\lambda )=\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\;d\mu _{k}(\lambda ).}$$$${\displaystyle \lambda ^{2}d\mu _{h}=d\mu _{k}}$$$${\displaystyle H=H_{\mathrm {ac} }\oplus H_{\mathrm {sc} }\oplus H_{\mathrm {pp} }.}$$

Это приводит к следующим определениям:

1. Спектр T , ограниченный H _ac, называется абсолютно непрерывным спектром T , σ ac ₍ T ) .
2. Спектр T , ограниченный H _sc, называется его сингулярным спектром , σ _sc ( T ).
3. Множество собственных значений T называется чистым точечным спектром T , σ _pp ( T ) .

Замыкание собственных значений представляет собой спектр T , ограниченный H _pp . ^{[3] [nb 1]} Таким образом,$${\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)\cup {{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}.}$$

Ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве является, a fortiori, ограниченным оператором в банаховом пространстве. Следовательно, к T можно также применить разложение спектра, которое было достигнуто выше для ограниченных операторов в банаховом пространстве. В отличие от формулировки для банахова пространства, ^{[ необходимо разъяснение ]} объединение не обязательно должно быть дизъюнктным. Оно дизъюнктно, когда оператор T имеет равномерную кратность, скажем, m , т. е. если T унитарно эквивалентно умножению на λ на прямой сумме для некоторых борелевских мер . Когда в приведенном выше выражении появляется более одной меры, мы видим, что объединение трех типов спектров может не быть дизъюнктным. Если λ ∈ σ _ac ( T ) ∩ σ _pp ( T ) , λ иногда называют собственным значением, вложенным в абсолютно непрерывный спектр.$${\displaystyle \sigma (T)={{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}\cup \sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)}$$$${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{m}L^{2}(\mathbb {R} ,\mu _{i})}$$${\displaystyle \mu _{i}}$

Когда T унитарно эквивалентно умножению на λ при разложении σ ( T ) из борелевского функционального исчисления, это уточнение случая банахова пространства.$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mu ),}$$

Предыдущие комментарии можно распространить на неограниченные самосопряженные операторы, поскольку теорема Рисса-Маркова справедлива для локально компактных хаусдорфовых пространств .

В квантовой механике наблюдаемые величины представляют собой (часто неограниченные) самосопряженные операторы , а их спектры — возможные результаты измерений.

Чистый точечный спектр соответствует связанным состояниям следующим образом:

• Квантовое состояние является связанным состоянием тогда и только тогда, когда оно конечно нормализуемо для всех времен . ^[4]${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$
• Наблюдаемая имеет чисто точечный спектр тогда и только тогда, когда ее собственные состояния образуют ортонормированный базис . [ ^5]${\displaystyle H}$

Говорят, что частица находится в связанном состоянии, если она остается «локализованной» в ограниченной области пространства. ^[6] Поэтому интуитивно можно подумать, что «дискретность» спектра тесно связана с «локализацией» соответствующих состояний. Однако тщательный математический анализ показывает, что в общем случае это неверно. ^[7] Например, рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}n&{\text{if }}x\in \left[n,n+{\frac {1}{n^{4}}}\right]\\0&{\text{else}}\end{cases}},\quad \forall n\in \mathbb {N} .}$

Эта функция нормализуется (т.е. ) как${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \int _{n}^{n+{\frac {1}{n^{4}}}}n^{2}\,dx={\frac {1}{n^{2}}}\Rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$

Известный как проблема Базеля , этот ряд сходится к . Однако, увеличивается как , т. е. состояние «убегает в бесконечность». Явления локализации Андерсона и динамической локализации описывают, когда собственные функции локализованы в физическом смысле. Локализация Андерсона означает, что собственные функции экспоненциально затухают как . Динамическая локализация более тонка для определения.${\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\to \infty }$${\displaystyle x\to \infty }$

^{Иногда при выполнении квантово -} механических измерений встречаются « собственные состояния », которые не локализованы, например, квантовые состояния, которые не лежат в L2 ( R ). Это свободные состояния, принадлежащие абсолютно непрерывному спектру. В спектральной теореме для неограниченных самосопряженных операторов эти состояния называются «обобщенными собственными векторами» наблюдаемой с «обобщенными собственными значениями», которые не обязательно принадлежат ее спектру. В качестве альтернативы, если настаивать на том, что понятия собственных векторов и собственных значений выживают при переходе к строгому, можно рассматривать операторы на оснащенных гильбертовых пространствах . ^[8]

Примером наблюдаемой, спектр которой является чисто абсолютно непрерывным, является оператор положения свободной частицы, движущейся по всей вещественной прямой. Кроме того, поскольку оператор импульса унитарно эквивалентен оператору положения, посредством преобразования Фурье , он также имеет чисто абсолютно непрерывный спектр.

Сингулярный спектр соответствует физически невозможным результатам. Некоторое время считалось, что сингулярный спектр является чем-то искусственным. Однако примеры, такие как оператор почти Матье и случайные операторы Шредингера, показали, что все типы спектров возникают естественным образом в физике. ^{[9] [10]}

Пусть — замкнутый оператор, определенный на области , плотной в X. Тогда существует разложение спектра A в несвязное объединение , ^[11] где${\displaystyle A:\,X\to X}$${\displaystyle D(A)\subset X}$$${\displaystyle \sigma (A)=\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\sqcup \sigma _{\mathrm {d} }(A),}$$

1. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$— пятый тип существенного спектра оператора A (если A — самосопряженный оператор , то для всех );${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A)=\sigma _{\mathrm {ess} }(A)}$${\displaystyle 1\leq k\leq 5}$
2. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$— это дискретный спектр A , состоящий из нормальных собственных значений , или, что эквивалентно, из изолированных точек , таких, что соответствующий проектор Рисса имеет конечный ранг. Это собственное подмножество точечного спектра , т. е. , поскольку множество собственных значений A не обязательно должно быть изолированными точками спектра.${\displaystyle \sigma (A)}$${\displaystyle \sigma _{d}(A)\subset \sigma _{p}(A)}$

• Точечный спектр , множество собственных значений.
• Существенный спектр , спектр оператора по модулю компактных возмущений.
• Дискретный спектр (математика) , множество нормальных собственных значений .
• Спектральная теория нормальных C*-алгебр
• Спектр (функциональный анализ)

• Бланшар, Филипп; Брюнинг, Эрвин (2015). Математические методы в физике . Биркхойзер. ISBN 978-3-319-14044-5.
• Данфорд, Н.; Шварц, Дж. Т. (1988). Линейные операторы, часть 1: Общая теория . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60848-3.
• Житомирская, С.; Саймон, Б. (1994). «Операторы с сингулярным непрерывным спектром: III. Почти периодические операторы Шредингера». Сообщения по математической физике . 165 (1): 201–205. doi :10.1007/BF02099743. ISSN  0010-3616.
• de la Madrid Modino, R. (2001). Квантовая механика на языке оснастки гильбертова пространства (диссертация на соискание степени доктора философии). Universidad de Valladolid.
• Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: I: Функциональный анализ . Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Рюэль, Д. (1969). "Замечание о связанных состояниях в теории потенциального рассеяния" (PDF) . Il Nuovo Cimento A. 61 ( 4). Springer Science and Business Media LLC. doi :10.1007/bf02819607. ISSN  0369-3546.
• Саймон, Б. (1978). «Обзор строгой теории рассеяния».
• Simon, B.; Stolz, G. (1996). "Операторы с сингулярным непрерывным спектром, V. Разреженные потенциалы". Труды Американского математического общества . 124 (7): 2073–2080. doi : 10.1090/S0002-9939-96-03465-X . ISSN  0002-9939.
• Саймон, Барри (2005). Ортогональные многочлены на единичной окружности. Часть 1. Классическая теория . Публикации коллоквиума Американского математического общества. Том 54. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3446-6. МР  2105088.
• Тешль, Г. (2014). Математические методы в квантовой механике . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-1704-8.