Набор резольвент

В линейной алгебре и теории операторов резольвентное множество линейного оператора — это множество комплексных чисел , для которых оператор в некотором смысле « хорошо себя ведет ». Резольвентное множество играет важную роль в резольвентном формализме .

Пусть X — банахово пространство , а — линейный оператор с областью определения . Пусть id обозначает тождественный оператор на X . Для любого пусть${\displaystyle L\двоеточие D(L)\rightarrow X}$ ${\displaystyle D(L)\subseteq X}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle L_ {\lambda }=L-\lambda \,\mathrm {id} .}$

Комплексное число называется регулярным значением, если выполняются следующие три утверждения:${\displaystyle \лямбда}$

1. ${\displaystyle L_{\лямбда}}$является инъективным , то есть, ограничение на его образ имеет обратный, называемый резольвентой ; ^[1]${\displaystyle L_{\лямбда}}$ ${\displaystyle R(\lambda,L)=(L-\lambda \,\mathrm {id})^{- 1}}$
2. ${\displaystyle R(\лямбда ,L)}$— ограниченный линейный оператор ;
3. ${\displaystyle R(\лямбда ,L)}$определено на плотном подпространстве X , то есть имеет плотный диапазон.${\displaystyle L_{\лямбда}}$

Резольвентное множество L — это множество всех регулярных значений L :

${\displaystyle \rho (L)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \lambda {\mbox{ является обычным значением }}L\}.}$

Спектр является дополнением к резольвентному множеству

${\displaystyle \сигма (L)=\mathbb {C} \setminus \ро (L),}$

и подчиняются взаимно сингулярному спектральному разложению на точечный спектр (при нарушении условия 1), непрерывный спектр (при нарушении условия 2) и остаточный спектр (при нарушении условия 3).

Если — замкнутый оператор , то замкнутым является каждый из них , и условие 3 можно заменить требованием, чтобы оператор был сюръективным .${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{\лямбда}}$${\displaystyle L_{\лямбда}}$

• Резольвентное множество ограниченного линейного оператора L является открытым множеством .${\displaystyle \rho (L)\subseteq \mathbb {C} }$
• В более общем случае резольвентное множество плотно определенного замкнутого неограниченного оператора является открытым множеством.

• Рид, М.; Саймон, Б. (1980). Методы современной математической физики: Том 1: Функциональный анализ . Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт К. (2004). Введение в уравнения с частными производными . Тексты по прикладной математике 13 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. MR 2028503 (см. раздел 8.3)

• Войцеховский, М.И. (2001) [1994], "Резольвентное множество", Энциклопедия математики , Издательство EMS

• Резольвентный формализм
• Спектр (функциональный анализ)
• Разложение спектра (функциональный анализ)