Лемма Жордана

В комплексном анализе лемма Жордана — это результат, часто используемый в сочетании с теоремой о вычетах для оценки контурных интегралов и несобственных интегралов . Лемма названа в честь французского математика Камиля Жордана .

Рассмотрим комплекснозначную непрерывную функцию f , определенную на полукруглом контуре

${\displaystyle C_{R}=\{Re^{i\theta }\mid \theta \in [0,\pi ]\}}$

положительного радиуса R, лежащей в верхней полуплоскости с центром в начале координат. Если функция f имеет вид

${\displaystyle f(z)=e^{iaz}g(z),\quad z\in C,}$

при положительном параметре a лемма Жордана устанавливает следующую верхнюю оценку для контурного интеграла:

${\displaystyle \left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\quad {\text{где}}\quad M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g\left(Re^{i\theta }\right)\right|.}$

с равенством, когда g обращается в нуль всюду, в этом случае обе стороны тождественно равны нулю. Аналогичное утверждение для полукруглого контура в нижней полуплоскости справедливо, когда a < 0 .

• Если f непрерывна на полукруглом контуре C _R для всех больших R и

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }M_{R}=0}$

*

тогда по лемме Жордана$${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{C_{R}}f(z)\,dz=0.}$$

• Для случая a = 0 см. лемму об оценке .
• По сравнению с оценочной леммой верхняя граница в лемме Жордана не зависит явно от длины контура C _R .

Лемма Жордана дает простой способ вычисления интеграла по вещественной оси функций f ( z ) = e ^{i az} g ( z ), голоморфных на верхней полуплоскости и непрерывных на замкнутой верхней полуплоскости, за исключением, возможно, конечного числа невещественных точек z ₁ , z ₂ , …, z _n . Рассмотрим замкнутый контур C , который является конкатенацией путей C ₁ и C _{2 ,} показанных на рисунке. По определению,

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{C_{1}}f(z)\,dz+\int _{C_{2}}f(z)\,dz\ ,.}$

Так как на C2 переменная z действительна, то и второй интеграл действителен _:

${\displaystyle \int _{C_{2}}f(z)\,dz=\int _{-R}^{R}f(x)\,dx\,.}$

Левую часть можно вычислить с помощью теоремы о вычетах , чтобы получить для всех R, больших максимума из | z ₁ | , | z ₂ | , …, | z _n | ,

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,,}$

где Res( f , z _k ) обозначает вычет f в сингулярности z _k . Следовательно, если f удовлетворяет условию ( * ), то, взяв предел при R, стремящемся к бесконечности, контурный интеграл по C _{1 обращается в нуль по лемме Жордана} , и мы получаем значение несобственного интеграла

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,.}$

Функция

${\displaystyle f(z)={\frac {e^{iz}}{1+z^{2}}},\qquad z\in {\mathbb {C}}\setminus \{i, -i\ },}$

удовлетворяет условию леммы Жордана с a = 1 для всех R > 0 с R ≠ 1. Заметим, что для R > 1

${\displaystyle M_{R}=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\frac {1}{|1+R^{2}e^{2i\theta }|}}={\frac {1}{R^{2}-1}}\,,}$

следовательно ( * ) выполняется. Поскольку единственная особенность f в верхней полуплоскости находится при z = i , приведенное выше применение дает

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,.}$

Так как z = i — простой полюс функции f и 1 + z ² = ( z + i )( z − i ) , то получаем

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,i)=\lim _{z\to i}(zi)f(z)=\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}} {z+i}}={\frac {e^{-1}}{2i}}}$

так что

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx=\operatorname {Re} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{e}}\,.}$

Этот результат является примером того, как некоторые интегралы, которые трудно вычислить классическими методами, легко вычисляются с помощью комплексного анализа.

Этот пример показывает, что лемму Жордана можно использовать вместо гораздо более простой леммы оценки . Действительно, леммы оценки достаточно для вычисления , а также , лемма Жордана здесь не нужна.${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx}$

По определению комплексного линейного интеграла ,

${\displaystyle \int _{C_{R}}f(z)\,dz=\int _{0}^{\pi}g(Re^{i\theta})\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta)}\,iRe^{i\theta}\,d\theta =R\int _{0}^{\pi}g(Re^{i\theta})\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta)}\,ie^{i\theta}\,d\theta \,.}$

Теперь неравенство

${\displaystyle {\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx}$

урожайность

${\displaystyle I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}$

Используя M _R , как определено в ( * ), и симметрию sin θ = sin( π − θ ) , получаем

${\displaystyle I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0} ^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.}$

Так как график sin θ вогнут на интервале θ ∈ [0, π ⁄ 2] , то график sin θ лежит выше прямой, соединяющей его конечные точки, следовательно

${\displaystyle \sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad }$

для всех θ ∈ [0, π ⁄ 2] , что далее подразумевает

${\displaystyle I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,.}$

• Оценочная лемма

• Браун, Джеймс У.; Черчилль, Руэль В. (2004). Комплексные переменные и их применение (7-е изд.). Нью-Йорк: McGraw Hill. С.  262–265 . ISBN 0-07-287252-7.