Аналитическое кручение
Топологический инвариант многообразий, который может различать гомотопически эквивалентные многообразия

В математике кручение Рейдемейстера (или R-кручение , или кручение Рейдемейстера–Франца ) — топологический инвариант многообразий, введённый Куртом Рейдемейстером (Reidemeister 1935) для 3-многообразий и обобщённый на более высокие размерности Вольфгангом Францем  (1935) и Жоржем де Рамом  (1936). Аналитическое кручение (или кручение Рея–Зингера ) — инвариант римановых многообразий, определённый Дэниелом Б. Рэем и Изадором М. Зингером  (1971, 1973a, 1973b) как аналитический аналог кручения Рейдемейстера. Джефф Чигер  (1977, 1979) и Вернер Мюллер  (1978) доказали гипотезу Рэя и Зингера о том, что кручение Рейдемейстера и аналитическое кручение являются одним и тем же для компактных римановых многообразий.

Кручение Рейдемейстера было первым инвариантом в алгебраической топологии , который мог различать замкнутые многообразия, которые гомотопически эквивалентны , но не гомеоморфны , и, таким образом, может рассматриваться как рождение геометрической топологии как отдельного поля. Его можно использовать для классификации линзовых пространств .

Кручение Рейдемейстера тесно связано с кручением Уайтхеда ; см. (Milnor 1966). Оно также дало некоторую важную мотивацию для арифметической топологии ; см. (Mazur). Более поздние работы по кручению см. в книгах (Turaev 2002) и (Nicolaescu 2002, 2003).

Определение аналитического кручения

Если M — риманово многообразие, а E — векторное расслоение над M , то существует оператор Лапласа, действующий на k -формы со значениями в E. Если собственные значения на k -формах равны λ j , то дзета-функция ζ k определяется как

ζ к ( с ) = ∑ λ дж > 0 λ дж − с {\displaystyle \zeta _{k}(s)=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}}

для больших s , и это распространяется на все комплексные s аналитическим продолжением . Дзета-регуляризованный определитель лапласиана, действующего на k -формы, равен

Δ к = эксп ⁡ ( − ζ к ′ ( 0 ) ) {\displaystyle \Delta _{k}=\exp(-\zeta _{k}^{\prime }(0))}

что формально является произведением положительных собственных значений лапласиана, действующего на k -формы. Аналитическое кручение T ( M , E ) определяется как

Т ( М , Э ) = эксп ⁡ ( ∑ к ( − 1 ) к к ζ к ′ ( 0 ) / 2 ) = ∏ к Δ к − ( − 1 ) к к / 2 . {\displaystyle T(M,E)=\exp \left(\sum _{k}(-1)^{k}k\zeta _{k}^{\prime }(0)/2\right)=\prod _{k}\Delta _{k}^{-(-1)^{k}k/2}.}

Определение кручения Рейдемейстера

Пусть будет конечным связным CW-комплексом с фундаментальной группой и универсальным покрытием , и пусть будет ортогональным конечномерным -представлением. Предположим, что X {\displaystyle X} π := π 1 ( X ) {\displaystyle \pi :=\pi _{1}(X)} X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} U {\displaystyle U} π {\displaystyle \pi }

H n π ( X ; U ) := H n ( U ⊗ Z [ π ] C ∗ ( X ~ ) ) = 0 {\displaystyle H_{n}^{\pi }(X;U):=H_{n}(U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}}))=0}

для всех n. Если мы фиксируем клеточный базис для и ортогональный -базис для , то является стягиваемым конечным базисным свободным -цепным комплексом. Пусть будет любой цепной контракцией D * , т.е. для всех . Мы получаем изоморфизм с , . Мы определяем кручение Рейдемейстера C ∗ ( X ~ ) {\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})} R {\displaystyle \mathbf {R} } U {\displaystyle U} D ∗ := U ⊗ Z [ π ] C ∗ ( X ~ ) {\displaystyle D_{*}:=U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}})} R {\displaystyle \mathbf {R} } γ ∗ : D ∗ → D ∗ + 1 {\displaystyle \gamma _{*}:D_{*}\to D_{*+1}} d n + 1 ∘ γ n + γ n − 1 ∘ d n = i d D n {\displaystyle d_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ d_{n}=id_{D_{n}}} n {\displaystyle n} ( d ∗ + γ ∗ ) odd : D odd → D even {\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}:D_{\text{odd}}\to D_{\text{even}}} D odd := ⊕ n odd D n {\displaystyle D_{\text{odd}}:=\oplus _{n\,{\text{odd}}}\,D_{n}} D even := ⊕ n even D n {\displaystyle D_{\text{even}}:=\oplus _{n\,{\text{even}}}\,D_{n}}

ρ ( X ; U ) := | det ( A ) | − 1 ∈ R > 0 {\displaystyle \rho (X;U):=|\det(A)|^{-1}\in \mathbf {R} ^{>0}}

где A — матрица относительно заданных базисов. Кручение Рейдемейстера не зависит от выбора клеточного базиса для , ортогонального базиса для и цепной контракции . ( d ∗ + γ ∗ ) odd {\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}} ρ ( X ; U ) {\displaystyle \rho (X;U)} C ∗ ( X ~ ) {\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})} U {\displaystyle U} γ ∗ {\displaystyle \gamma _{*}}

Пусть будет компактным гладким многообразием, и пусть будет унимодулярным представлением. имеет гладкую триангуляцию. Для любого выбора объема мы получаем инвариант . Тогда мы называем положительное действительное число кручением Рейдемейстера многообразия относительно и . M {\displaystyle M} ρ : π ( M ) → G L ( E ) {\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow GL(E)} M {\displaystyle M} μ ∈ det H ∗ ( M ) {\displaystyle \mu \in \det H_{*}(M)} τ M ( ρ : μ ) ∈ R + {\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )\in \mathbf {R} ^{+}} τ M ( ρ : μ ) {\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )} M {\displaystyle M} ρ {\displaystyle \rho } μ {\displaystyle \mu }


Краткая история кручения Рейдемейстера

Кручение Рейдемейстера было впервые использовано для комбинаторной классификации 3-мерных линзовых пространств в (Reidemeister 1935) Рейдемейстером, а в пространствах более высокой размерности Францем. Классификация включает примеры гомотопически эквивалентных 3-мерных многообразий, которые не являются гомеоморфными — в то время (1935) классификация была только с точностью до PL гомеоморфизма , но позже Э. Дж. Броди (1960) показал, что это была на самом деле классификация с точностью до гомеоморфизма .

JHC Whitehead определил "кручение" гомотопической эквивалентности между конечными комплексами. Это прямое обобщение концепции Рейдемейстера, Франца и де Рама; но это более тонкий инвариант. Кручение Уайтхеда дает ключевой инструмент для изучения комбинаторных или дифференцируемых многообразий с нетривиальной фундаментальной группой и тесно связано с концепцией "простого гомотопического типа", см. (Milnor 1966)

В 1960 году Милнор открыл соотношение двойственности инвариантов кручения многообразий и показал, что (скрученный) многочлен Александера узлов является кручением Рейдемейстера его дополнения к узлу в . (Милнор 1962) Для каждого q двойственность Пуанкаре индуцирует S 3 {\displaystyle S^{3}} P o {\displaystyle P_{o}}

P o : det ⁡ ( H q ( M ) ) ⟶ ∼ ( det ⁡ ( H n − q ( M ) ) ) − 1 {\displaystyle P_{o}\colon \operatorname {det} (H_{q}(M)){\overset {\sim }{\,\longrightarrow \,}}(\operatorname {det} (H_{n-q}(M)))^{-1}}

и тогда мы получаем

Δ ( t ) = ± t n Δ ( 1 / t ) . {\displaystyle \Delta (t)=\pm t^{n}\Delta (1/t).}

Центральную роль в них играет представление фундаментальной группы дополнения узлов, которое устанавливает связь между теорией узлов и инвариантами кручения.

Теорема Чигера–Мюллера

Пусть — ориентируемое компактное риманово многообразие размерности n и представление фундаментальной группы на вещественном векторном пространстве размерности N. Тогда мы можем определить комплекс де Рама ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} ρ : π ( M ) → G L ⁡ ( E ) {\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow \mathop {GL} (E)} M {\displaystyle M}

Λ 0 ⟶ d 0 Λ 1 ⟶ d 1 ⋯ ⟶ d n − 1 Λ n {\displaystyle \Lambda ^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{n}}

и формальное сопряженное и из-за плоскостности . Как обычно, мы также получаем лапласиан Ходжа на p-формах d p {\displaystyle d_{p}} δ p {\displaystyle \delta _{p}} E q {\displaystyle E_{q}}

Δ p = δ p + 1 d p + d p − 1 δ p . {\displaystyle \Delta _{p}=\delta _{p+1}d_{p}+d_{p-1}\delta _{p}.}

Если предположить, что , то Лапласиан является симметричным положительным полуположительным эллиптическим оператором с чисто точечным спектром ∂ M = 0 {\displaystyle \partial M=0}

0 ≤ λ 0 ≤ λ 1 ≤ ⋯ → ∞ . {\displaystyle 0\leq \lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \cdots \rightarrow \infty .}

Как и прежде, мы можем определить дзета-функцию, связанную с лапласианом, следующим образом: Δ q {\displaystyle \Delta _{q}} Λ q ( E ) {\displaystyle \Lambda ^{q}(E)}

ζ q ( s ; ρ ) = ∑ λ j > 0 λ j − s = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s − 1 Tr ( e − t Δ q − P q ) d t ,       Re ( s ) > n 2 {\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}{\text{Tr}}(e^{-t\Delta _{q}}-P_{q})dt,\ \ \ {\text{Re}}(s)>{\frac {n}{2}}}

где — проекция на пространство ядер лапласиана . Более того, было показано (Seeley 1967), что продолжается до мероморфной функции , которая голоморфна при . P {\displaystyle P} L 2 Λ ( E ) {\displaystyle L^{2}\Lambda (E)} H q ( E ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}(E)} Δ q {\displaystyle \Delta _{q}} ζ q ( s ; ρ ) {\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )} s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbf {C} } s = 0 {\displaystyle s=0}

Как и в случае ортогонального представления, мы определяем аналитическое кручение как T M ( ρ ; E ) {\displaystyle T_{M}(\rho ;E)}

T M ( ρ ; E ) = exp ⁡ ( 1 2 ∑ q = 0 n ( − l ) q q d d s ζ q ( s ; ρ ) | s = 0 ) . {\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\exp {\biggl (}{\frac {1}{2}}\sum _{q=0}^{n}(-l)^{q}q{\frac {d}{ds}}\zeta _{q}(s;\rho ){\biggl |}_{s=0}{\biggr )}.}

В 1971 году DB Ray и IM Singer предположили, что для любого унитарного представления . Эта гипотеза Рэя–Зингера была в конечном итоге независимо доказана Чигером (1977, 1979) и Мюллером (1978). Оба подхода фокусируются на логарифме кручений и их следах. Это проще для нечетномерных многообразий, чем в четномерном случае, который влечет за собой дополнительные технические трудности. Эта теорема Чигера–Мюллера (о том, что два понятия кручения эквивалентны), наряду с теоремой Атьи–Патоди–Зингера , позже легла в основу теории возмущений Черна–Саймонса . T M ( ρ ; E ) = τ M ( ρ ; μ ) {\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\tau _{M}(\rho ;\mu )} ρ {\displaystyle \rho }

Доказательство теоремы Чигера-Мюллера для произвольных представлений было позднее дано Дж. М. Бисмутом и Вейпином Чжаном. Их доказательство использует деформацию Виттена.

Ссылки

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Analytic_torsion&oldid=1238132623"