мера Лебега

В теории мер , разделе математики , мера Лебега , названная в честь французского математика Анри Лебега , является стандартным способом назначения меры подмножествам более многомерных евклидовых n -пространств . Для меньших размерностей n = 1, 2 или 3 она совпадает со стандартной мерой длины , площади или объема . В общем случае ее также называют n -мерным объемом , n -объемом , гиперобъемом или просто объемом . [ 1 ^] Она используется в реальном анализе , в частности, для определения интегрирования Лебега . Множества, которым может быть назначена мера Лебега, называются измеримыми по Лебегу ; мера измеримого по Лебегу множества A здесь обозначается как λ ( A ).

Анри Лебег описал эту меру в 1901 году, а год спустя последовало его описание интеграла Лебега. Оба были опубликованы как часть его диссертации в 1902 году. ^[2]

Для любого интервала , или , в множестве действительных чисел, пусть обозначает его длину. Для любого подмножества внешняя мера Лебега ^[3] определяется как инфимум${\displaystyle I=[a,b]}$${\displaystyle I=(a,b)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \ell (I)=ba}$${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)}$

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ — это последовательность открытых интервалов с }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$$

Вышеприведенное определение можно обобщить на более высокие измерения следующим образом. ^[4] Для любого прямоугольного кубоида , который является декартовым произведением открытых интервалов, пусть (произведение действительных чисел) обозначает его объем. Для любого подмножества ,${\displaystyle С}$ ${\displaystyle C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}}$${\displaystyle \operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})}$${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R^{n}} }$

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of products of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.}$$

Некоторые множества удовлетворяют критерию Каратеодори , который требует, чтобы для каждого ,${\displaystyle E}$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{c}).}$$

Множества , удовлетворяющие критерию Каратеодори, называются измеримыми по Лебегу, причем их мера Лебега определяется как их внешняя мера Лебега: . Множество всех таких множеств образует σ -алгебру . ${\displaystyle E}$${\displaystyle \lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)}$${\displaystyle E}$

Множество , не удовлетворяющее критерию Каратеодори, не является измеримым по Лебегу. ZFC доказывает, что неизмеримые множества существуют; примером являются множества Витали .${\displaystyle E}$

Первая часть определения гласит, что подмножество действительных чисел сводится к его внешней мере путем покрытия множествами открытых интервалов. Каждое из этих множеств интервалов покрывает в некотором смысле, поскольку объединение этих интервалов содержит . Общая длина любого покрывающего множества интервалов может переоценивать меру , поскольку является подмножеством объединения интервалов, и поэтому интервалы могут включать точки, которые не находятся в . Внешняя мера Лебега возникает как точная нижняя граница (инфимум) длин среди всех возможных таких множеств. Интуитивно это общая длина тех множеств интервалов, которые подходят наиболее плотно и не перекрываются.${\displaystyle E}$${\displaystyle I}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

Это характеризует внешнюю меру Лебега. Переводится ли эта внешняя мера в собственно меру Лебега, зависит от дополнительного условия. Это условие проверяется путем взятия подмножеств действительных чисел, используемых в качестве инструмента для разделения на два раздела: часть из которых пересекается с , а оставшаяся часть не находится в : разность множеств и . Эти разделы подчиняются внешней мере. Если для всех возможных таких подмножеств действительных чисел, разделы , разрезанные на , имеют внешние меры, сумма которых является внешней мерой , то внешняя мера Лебега дает его меру Лебега. Интуитивно это условие означает, что множество не должно иметь некоторых любопытных свойств, которые вызывают расхождение в мере другого множества, когда используется в качестве «маски» для «обрезания» этого множества, намекая на существование множеств, для которых внешняя мера Лебега не дает меру Лебега. (Такие множества, на самом деле, не измеримы по Лебегу.)${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

• Любой замкнутый интервал [ a , b ] действительных чисел измерим по Лебегу, и его мера Лебега равна длине b − a . Открытый интервал ( a , b ) имеет ту же меру, поскольку разность между двумя множествами состоит только из конечных точек a и b , каждая из которых имеет меру ноль .
• Любое декартово произведение интервалов [ a , b ] и [ c , d ] измеримо по Лебегу, и его мера Лебега равна ( b − a )( d − c ) , площади соответствующего прямоугольника .
• Более того, каждое борелевское множество измеримо по Лебегу. Однако существуют измеримые по Лебегу множества, которые не являются борелевскими множествами. ^{[5] [6]}
• Любое счетное множество действительных чисел имеет меру Лебега 0. В частности, мера Лебега множества алгебраических чисел равна 0, даже если множество плотно в .${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Множество Кантора и множество чисел Лиувилля являются примерами несчетных множеств , имеющих меру Лебега 0.
• Если аксиома определенности верна, то все множества действительных чисел измеримы по Лебегу. Однако определенность несовместима с аксиомой выбора .
• Множества Витали являются примерами множеств, неизмеримых относительно меры Лебега. Их существование опирается на аксиому выбора .
• Кривые Осгуда — это простые плоские кривые с положительной мерой Лебега ^[7] (ее можно получить небольшим изменением конструкции кривой Пеано ). Кривая дракона — еще один необычный пример.
• Любая линия в , для , имеет нулевую меру Лебега. В общем случае каждая правильная гиперплоскость имеет нулевую меру Лебега в окружающем ее пространстве .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$
• Объем n -шара можно рассчитать с помощью гамма-функции Эйлера.

Мера Лебега на R ⁿ обладает следующими свойствами:

1. Если A является декартовым произведением интервалов I ₁ × I _{2 ×} ⋯ × I n , то A измеримо по Лебегу и${\displaystyle \lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.}$
2. Если A является объединением счетного числа попарно непересекающихся измеримых по Лебегу множеств, то A само измеримо по Лебегу и λ ( A ) равно сумме (или бесконечному ряду ) мер вовлеченных измеримых множеств.
3. Если A измеримо по Лебегу, то и его дополнение измеримо по Лебегу .
4. λ ( A ) ≥ 0 для любого измеримого по Лебегу множества A .
5. Если A и B измеримы по Лебегу и A является подмножеством B , то λ ( A ) ≤ λ ( B ). (Следствие 2.)
6. Счетные объединения и пересечения множеств, измеримых по Лебегу, измеримы по Лебегу. (Не является следствием 2 и 3, поскольку семейство множеств, замкнутое относительно дополнений и непересекающихся счетных объединений, не обязательно должно быть замкнутым относительно счетных объединений: .)${\displaystyle \{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}}$
7. Если A — открытое или замкнутое подмножество R ⁿ (или даже множество Бореля , см. метрическое пространство ), то A измеримо по Лебегу.
8. Если A — измеримое по Лебегу множество, то оно «приблизительно открыто» и «приблизительно замкнуто» в смысле меры Лебега.
9. Измеримое по Лебегу множество может быть «втиснуто» между содержащим открытым множеством и содержащимся замкнутым множеством. Это свойство использовалось как альтернативное определение измеримости по Лебегу. Точнее, является измеримым по Лебегу тогда и только тогда, когда для каждого существуют открытое множество и замкнутое множество, такие что и . ^[8]${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\subset E\subset G}$${\displaystyle \lambda (G\setminus F)<\varepsilon }$
10. Измеримое по Лебегу множество может быть «втиснуто» между содержащим множеством G _δ и содержащимся в нем множеством F _σ . То есть, если A измеримо по Лебегу, то существуют множество G _δ G и F _σ F такие, что G  ⊇  A  ⊇  F и λ ( G  \  A ) =  λ ( A  \  F ) = 0.
11. Мера Лебега является как локально конечной , так и внутренне регулярной , и поэтому она является мерой Радона .
12. Мера Лебега строго положительна на непустых открытых множествах, поэтому ее носителем является все R ⁿ .
13. Если A — измеримое по Лебегу множество с λ( A ) = 0 ( нулевое множество ), то каждое подмножество A также является нулевым множеством. Тем более , каждое подмножество A измеримо.
14. Если A измерим по Лебегу и x является элементом R ⁿ , то перенос A на x , определяемый формулой A + x = { a + x  : a ∈ A }, также измерим по Лебегу и имеет ту же меру, что и A .
15. Если A измеримо по Лебегу и , то расширение по , определенное по , также измеримо по Лебегу и имеет меру${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta A=\{\delta x:x\in A\}}$${\displaystyle \delta ^{n}\lambda \,(A).}$
16. В более общем случае, если T — линейное преобразование , а A — измеримое подмножество R ⁿ , то T ( A ) также измеримо по Лебегу и имеет меру .${\displaystyle \left|\det(T)\right|\lambda (A)}$

Все вышесказанное можно кратко резюмировать следующим образом (хотя последние два утверждения нетривиально связаны со следующим):

Измеримые по Лебегу множества образуют σ -алгебру, содержащую все произведения интервалов, а λ — единственная полная инвариантная относительно трансляции мера на этой σ-алгебре с${\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.}$

Мера Лебега также обладает свойством σ -конечности .

Подмножество R ⁿ является нулевым множеством , если для любого ε > 0 его можно покрыть счетным числом произведений n интервалов, общий объем которых не превышает ε. Все счетные множества являются нулевыми множествами.

Если подмножество R ⁿ имеет размерность Хаусдорфа меньше n , то оно является нулевым множеством относительно n -мерной меры Лебега. Здесь размерность Хаусдорфа относительна к евклидовой метрике на R ⁿ (или любой эквивалентной ей метрике Липшица ). С другой стороны, множество может иметь топологическую размерность меньше n и иметь положительную n -мерную меру Лебега. Примером этого является множество Смита–Вольтерра–Кантора , которое имеет топологическую размерность 0, но имеет положительную 1-мерную меру Лебега.

Чтобы показать, что заданное множество A измеримо по Лебегу, обычно пытаются найти «более хорошее» множество B , которое отличается от A только нулевым множеством (в том смысле, что симметрическая разность ( A − B ) ∪ ( B − A ) является нулевым множеством), а затем показать, что B можно получить с помощью счетных объединений и пересечений открытых или замкнутых множеств.

Современная конструкция меры Лебега представляет собой применение теоремы Каратеодори о расширении . Она осуществляется следующим образом.

Зафиксируем n ∈ N. Ящик в R ⁿ — это множество вида

$${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,}$$

где b _i ≥ a _i , а символ произведения здесь представляет декартово произведение. Объем этого ящика определяется как

$${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.}$$

Для любого подмножества A из R ⁿ мы можем определить его внешнюю меру λ *( A ) следующим образом:

$${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }}A\right\}.}$$

Затем мы определяем множество A как измеримое по Лебегу, если для каждого подмножества S из R ⁿ ,

$${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.}$$

Эти измеримые по Лебегу множества образуют σ -алгебру , а мера Лебега определяется как λ ( A ) = λ *( A ) для любого измеримого по Лебегу множества A .

Существование множеств, не измеримых по Лебегу, является следствием теоретико-множественной аксиомы выбора , которая независима от многих обычных систем аксиом теории множеств . Теорема Витали , которая следует из аксиомы, утверждает, что существуют подмножества R , не измеримые по Лебегу. Предполагая аксиому выбора, были продемонстрированы неизмеримые множества со многими удивительными свойствами, такими как свойства парадокса Банаха–Тарского .

В 1970 году Роберт М. Соловей показал, что существование множеств, не измеримых по Лебегу, невозможно доказать в рамках теории множеств Цермело–Френкеля при отсутствии аксиомы выбора (см. модель Соловея ). ^[9]

Мера Бореля согласуется с мерой Лебега на тех множествах, для которых она определена; однако, существует гораздо больше множеств, измеримых по Лебегу, чем множеств, измеримых по Борелю. В то время как мера Лебега на R ⁿ автоматически является локально конечной мерой Бореля, не каждая локально конечная мера Бореля на R ⁿ обязательно является мерой Лебега. Мера Бореля инвариантна относительно трансляции, но не полна .

Мера Хаара может быть определена на любой локально компактной группе и является обобщением меры Лебега ( Rn ^с добавлением является локально компактной группой).

Мера Хаусдорфа является обобщением меры Лебега, которая полезна для измерения подмножеств R ⁿ меньших размерностей, чем n , таких как подмногообразия , например, поверхности или кривые в R ³ и фрактальные множества. Меру Хаусдорфа не следует путать с понятием размерности Хаусдорфа .

Можно показать, что не существует бесконечномерного аналога меры Лебега .

• 4-томный
• Эдисон Фарах
• Теорема плотности Лебега
• Мера Лебега множества чисел Лиувилля
• Неизмеримое множество
  • Виталий сет
• Мера Пеано–Джордана